崔乃剛*,黃榮傅瑜,韓鵬鑫

1.哈爾濱工業(yè)大學 航天學院,哈爾濱 150001 2.北京宇航系統(tǒng)工程研究所,北京 100076 3.中國運載火箭技術(shù)研究院 研究發(fā)展中心,北京 100076

隨著中國探月工程的逐步深入,2014年10月,探月工程三期再入返回飛行試驗的返回器采用半彈道跳躍式再入返回技術(shù),成功返回并著陸在內(nèi)蒙古四子王旗回收區(qū)[1]。選擇內(nèi)陸地區(qū)為著陸區(qū)主要是因為目前中國還不能全球布站,測控能力有限,且著陸場的約束較強,因此要求探月飛船必須具有較大的航程能力。對于低升阻比返回艙(例如:神舟飛船和嫦娥衛(wèi)星),要想執(zhí)行長航程再入返回飛行任務(wù),最好的方法就是采用跳躍式再入技術(shù),即探測器在進入大氣層后依靠氣動力再次躍出大氣層飛行一段時間后,第2次再入大氣層并最終著陸[2]。由于再入返回過程速度大、航程長、高動態(tài)、姿態(tài)與彈道耦合強烈,這就要求飛行制導系統(tǒng)必須能夠提供快速、精確的跳躍再入制導指令。

大氣跳躍再入軌跡最初是為阿波羅登月任務(wù)設(shè)計的[3],現(xiàn)在再次考慮將其用于類似的低升阻比飛行器[4]。一個跳躍再入軌跡起始于再入點,具有較大的再入速度(近似第二宇宙速度)和較小的飛行路徑角。進入大氣層后,氣動升力連續(xù)調(diào)整飛行速度矢量直至飛行器跳出稠密大氣層。跳出大氣層以后,飛行器進行開普勒飛行直至再次進入大氣層。本文主要是通過規(guī)劃大氣跳出點的速度和飛行路徑角來控制飛行器的總航程。

再入過程中的傾側(cè)角是唯一控制變量,它通過繞速度矢量旋轉(zhuǎn)飛行器以改變氣動升力的垂直分量[5]。阿波羅再入制導系統(tǒng)采用閉環(huán)軌跡解預(yù)測跳出點速度和路徑角,使用的方程為非線性運動方程的簡化近似?？偤匠掏ㄟ^拼接初始大氣跳躍段、開普勒段和再次進入大氣段的估計航程獲得,當預(yù)測航程等于剩余航程時再調(diào)整傾側(cè)角。

盡管事實證明了阿波羅再入制導方法的成功性,但其航程預(yù)測能力有限(最大為4 630 km,對應(yīng)41°航程角)[6]。針對新型低升阻比飛行器的設(shè)計目標(包括擴展、中止和其他意外情況下的航程能力),Bairstow[7]、Brunner和Lu[8]開發(fā)了數(shù)值積分預(yù)測制導方法,通過數(shù)值積分使整個非線性運動方程組向前推進跳躍軌跡,并通過迭代方式對傾側(cè)角進行調(diào)整直至預(yù)測航程等于剩余航程。文獻[9]中的預(yù)測校正制導律分別成功獲得了10 006.2 km(90°航程角)和79 679 km(72°航程角)的航程,但其計算量相對較大,對機載計算機提出了較高的要求。

本文基于匹配漸進展開法[10-13],提出了一種解析預(yù)測-校正再入制導方法。根據(jù)跳躍再入飛行過程中不同階段飛行器的受力情況不同,該方法將運動方程的解分為以重力作用為主導的外解和以氣動力作用為主導的內(nèi)解,采用匹配漸進展開法獲得統(tǒng)一的封閉解析表達式。通過解析解不斷預(yù)測剩余航程,通過落點偏差不斷迭代修正升阻比垂直分量和傾側(cè)角指令,最終獲得滿足射程要求和落點精度的大氣跳躍再入軌跡。

1 跳躍再入運動模型

1.1 運動方程

質(zhì)點飛行器在地心慣性坐標系下的平面運動方程[14]為

式中:r為飛行器到地球中心的距離；t、V 和γ分別為飛行器的飛行時間、飛行速度和飛行路徑角(沿當?shù)厮矫嫦蛏蠟檎?；ρ為大氣密度；CL和CD分別為升力系數(shù)和阻力系數(shù)；S為特征面積；m為飛行器質(zhì)量；μ為中心天體的引力系數(shù)。同時,假設(shè)大氣密度為指數(shù)形式,即

式中:H=7.9 km為密度模型的勻質(zhì)大氣高度值；rref為參考半徑,取高度為61.8 km(跳躍機動的拉起高度附近)處的地心矢徑值。參考半徑處的大氣密度ρ(rref)取為2.467×10-4kg/m3。若飛行器在大氣層外飛行時,大氣密度為零,則式(1)表示開普勒運動。

為了獲得近似解析解,式(1)被轉(zhuǎn)變?yōu)橐愿叨葹樽宰兞康?個方程,并引入以下無量綱化過程:

1.2 跳躍再入軌跡

類似阿波羅再入制導,大氣跳躍段軌跡規(guī)劃是制導律設(shè)計的基礎(chǔ)。圖1為縱程約為8 338.5 km的跳躍再入軌跡各個制導階段的示意圖,共包括下降段、上升段、開普勒段和末段4個階段。從圖1中可以看出,下降段為從再入點(Entry Interface,EI)處到跳躍再入最小高度處(飛行路徑角γ=0°),上升段為從最小高度處到躍出大氣處(在第2次再入大氣前為開普勒段),末段為從二次大氣再入到開傘著陸。注意到,開普勒段的高度邊界并非必須在EI上,而是在某個阻力加速度充分小的高度上(如阿波羅制導中定義“躍出”在阻力加速度小于0.2g時的點上)。由于高度為匹配漸進展開法中的自變量,所以它是開普勒段開始的“觸發(fā)器”。對于縱程小于4 632 km的情況,開普勒段的開始高度可以定在65 km；對于縱程大于4 632 km的跳躍軌跡,開普勒段的開始高度可以定在85 km。采用較大的躍出高度時,大氣阻力的影響會隨之變小,從而能夠提高大航程跳躍軌跡預(yù)測精度。

圖1 跳躍再入飛行軌跡剖面及制導分段Fig.1 Trajectory profile and guidance section of skip entry flight

2 基于匹配漸進展開的解析跳躍軌跡

跳躍軌跡起始于重力為主的區(qū)域(外部區(qū)域),然后進入空氣動力為主的區(qū)域(內(nèi)部區(qū)域),最后再到達重力為主的區(qū)域。參考式(3),2個等式等號右邊的第1項表示重力起主要作用,第2項表示空氣動力起主要作用。直接獲得式(3)解析解的困難之處在于沒有2個區(qū)域都適合的易于獲得的解析解的近似形式,而解決此困難的一種方式為先在每個區(qū)域獲得獨立的解(外部區(qū)域?qū)?yīng)的解稱為外解,內(nèi)部區(qū)域?qū)?yīng)的解稱為內(nèi)解),然后再將其匹配融合成統(tǒng)一的形式(統(tǒng)一解)。匹配漸進展開法為一種奇異攝動技術(shù)[15-16],可實現(xiàn)此目標。

2.1 外解與內(nèi)解的漸進展開

高度h和高度比ε的數(shù)值決定了跳躍軌跡上的某個特定點是在內(nèi)部區(qū)域還是外部區(qū)域。當h相對于ε很大時,式(3)中的空氣動力項趨于零,此時的運動軌跡可近似為開普勒軌道。因此在外部區(qū)域,空氣動力項的影響被看作小階擾動。而當h和ε相當時,空氣動力項不能再被看作是小量,并且可認為空氣動力遠大于重力,此時的運動軌跡無法被近似為開普勒軌道。因此在內(nèi)部區(qū)域內(nèi),會將重力項作為一個低階的攝動項。

匹配漸進展開法的一個關(guān)鍵特征為不同區(qū)域的近似方程來自于對同一方程組的限制處理,并且此限制過程都需要小量趨于零。因此在內(nèi)區(qū)域,將式(3)表示成擴展變量的形式:

式中:vi和γi(i=0,1,2,…)分別為速度和飛行路徑角關(guān)于高度h的第i階展開項。

式中:hi、vi和γi分別為高度、速度和飛行路徑角在外部區(qū)域的初始條件。定義速度和飛行路徑角的復(fù)合常值為

因此,式(4)和式(5)的首項即為精確的外部解。實際上,式(6)和式(7)為開普勒運動積分,分別表示能量守恒和角動量守恒。

式中:～表示內(nèi)解對應(yīng)的相應(yīng)變量。

式中:λ=(CL/CD)cosσ為升阻比的豎直分量,σ為傾側(cè)角和為積分常數(shù),并與內(nèi)部區(qū)域高度、速度和飛行路徑角的初始 條 件()有關(guān),即

由式(18)和式(19)可知,高階項似乎不能以閉環(huán)形式獲得。文獻[10]中以積分形式給出了一階解,但本文只考慮首項。

2.2 外解與內(nèi)解的匹配

在獲得外解和內(nèi)解的首項以后,開始構(gòu)造統(tǒng)一有效解的首項。合成解通過將外解和內(nèi)解相加后再減去它們的公共部分獲得,這樣得到的合成解將包含4個未知常 數(shù) (v*,cosγ*,cos)。根據(jù)已知初始條件(hi,v(hi),γ(hi))只能解算出其中2個常數(shù),因此還需要增加另外2個邊界條件,可以通過在重疊區(qū)域?qū)ν饨夂蛢?nèi)解進行匹配獲得相應(yīng)的邊界條件。當前情況下,匹配意味著外解對小的高度h和內(nèi)解對大的擴展高度h~之間的協(xié)調(diào)。

通過匹配外解和內(nèi)解的首項,可得到

式(20)和式(21)的等號左邊表示當h→0時對外解的限制,等號右邊表示當擴展高度h~→∞時對內(nèi)解的限制。從而得到一致有效合成解為

此解近似于式(3)的統(tǒng)一解。

2.3 跳躍段解析解計算流程

為了進一步的研究,考慮在給定初始條件(hi,v(hi),γ(hi))(即再入大氣前軌跡上的一點,并在外區(qū)域)的情況下,如何通過式(22)和式(23)獲得近似跳躍軌跡。

根據(jù)假設(shè),可在初始點忽略空氣力,故常數(shù)v*和cosγ*的值可以通過式(8)和式(9)計算得出,常數(shù)cos~γ*可以通過式(21)計算得出。在此基礎(chǔ)上,結(jié)合式(22)和式(23)可計算出v和γ的值。但是,如果實際軌跡為跳躍的,那么初始為負的飛行路徑角γ會隨著高度h的減小而增加,并且在高度降至最低hmin時為零。那么,存在的問題是內(nèi)解(實際上是cos)可能比合成解γ先變成零,因為它們的ε階項不同。此時,在γ=0°附近可能會出現(xiàn)cos＞1的情況。為了避免這種情況的發(fā)生,不應(yīng)再使用式(21)來計算~γ*,而應(yīng)該通過式(25)對其進行求解[17]。

在計算得到v*和cosγ*后,再通過式(23)進行迭代即可確定最小高度hmin。由這種方式獲得的值將導致式(21)左右兩邊的ε階項不一致。但這是允許的,因為匹配只要求階一致。

在最小高度hmin處(此高度將跳躍軌跡的下降段γ＜0°和跳出段γ＞0°分開),需要對常數(shù)(v*,cosγ*,cos)進行調(diào)整,這是由于v和γ為關(guān)于h的雙值函數(shù)。由于飛行路徑角在跳出階段為正,導致(當h→∞時內(nèi)解的極限)也應(yīng)為正。更確切地說,由內(nèi)解關(guān)于最小高度hmin的對稱性表明:

式中:(·)exit和(·)entry分別表示躍出段和再入段的相關(guān)變量。

現(xiàn)在整條跳躍軌道的近似已經(jīng)完成了。式(22)和式(23)的合成解為近似的基礎(chǔ),式(8)、式(9)以及式(25)～式(28)用于計算常數(shù)。需要注意的是,通過式(8)和式(9)計算v*和γ*時,需要給出的初始條件是在外區(qū)域。如果給出的初始條件沿著再入段軌跡離再入點比較遠(空氣動力不能忽略),那么需要同時解算式(22)、式(23)和式(25)以計算再入常數(shù)v*、γ*和。同樣的,跳出段情況也是如此。

考慮再入段常數(shù)v*和γ*。由式(8)和式(9)可知,v*和γ*與大氣層外的某點狀態(tài)(v(hi),γ(hi))有關(guān),并且再入段的飛行路徑角γ*應(yīng)為負。將式(8)和式(9)重寫成開普勒轉(zhuǎn)移軌道的能量和角動量積分的形式,即

因此,v*和γ*的物理意義分別為再入段在h=0 km(即參考半徑rref)處的飛行器速度和飛行路徑角。當然,只有忽略飛行過程中的空氣動力,才能夠保證獲得此物理意義。這是由于可能存在cosγ*＞1的情況,而這本身在數(shù)學上并不矛盾,因為cosγ*是包括初始條件式(9)的合成解的任意標注。但是,如果使用式(21)確定cos~γ*,那么矛盾就會產(chǎn)生,因為需要計算cos~γ*的反余弦。正如2.3節(jié)所建議的,通過式(25)計算~γ*,不僅能避免一個難題,也能避免此數(shù)學矛盾。另一個補救措施為增加rref的值。但是,如果rref過大,位于rref半徑圓附近的ε階的邊界層將不再是氣動力為主。這是由于為滿足cosγ*＜1,rref將取大氣層內(nèi)相對較高的一個值。那么當h為ε階時,空氣動力為主的假設(shè)將不再成立。軌道衰減最好使用規(guī)則攝動,并通過非奇異攝動進行近似。對于一階近似,規(guī)則攝動理論下的軌跡僅由重力決定,而空氣動力被當作小的攝動項,即只存在一個外區(qū)域?？傊?對于再入之前的某點,當初始條件不嚴格要求滿足cosγ*＜1時,表明該點在匹配漸進展開獲得的近似解的適用區(qū)域附近。

類似的,對于跳躍段的常數(shù)(v*)exit和(cosγ*)exit來說,其物理意義分別為不考慮空氣動力時,飛行器在r=rref或h=0 km時的速度和飛行路徑角。

一旦通過式(8)和式(9)以及初始狀態(tài)確定了常值v*和γ*,便可以應(yīng)用條件cosγ=1,通過式(23)確定跳躍軌跡最小高度。因為式(23)是關(guān)于h的超越方程,故可采用牛頓迭代法確定hmin。慶幸的是,式(23)關(guān)于h的解析導數(shù)可以獲得,牛頓迭代法在迭代4～5次后即可收斂。

3 跳躍再入軌跡制導策略

3.1 縱向航程預(yù)測

本文提出的跳躍制導通過對升阻比垂向分量λ進行迭代,使預(yù)測總航程匹配到達目標落點的需要航程。在再入的初始點,λ取一個標稱試用值,通過式(22)和式(23)解析地計算出一條大氣跳躍軌跡(實際上,迭代得到的就是一條參考軌跡)。

預(yù)測總航程表示為

式中:Rdown、Rup、RKepler和Rfinal分別為下降段、上升段、開普勒段和末段的航程。跳躍再入上升段和下降段的航程角θ通過積分航程角對速度的微分來確定。

dθ/d V的離散值可通過求解在再入點處高度hEI和hmin(下降段)以及hmin和躍出高度hexit(上升段)之間的解析跳躍解(式(22)和式(23))來計算得到,并采用梯度積分法對dθ/d V 進行積分；然后,各段縱程可用地球半徑rE乘以航程角來計算得到,例如:Rdown=rEθdown,Rup=rEθup(θdown和θup分別為下降段和上升段的航程角)。

開普勒段的航程角可通過二體假設(shè)運動進行計算:

式中:γexit為預(yù)測的躍出飛行路徑角；P = (Vexit/)2,Vexit為預(yù)測的躍出速度,Vecixrict=為當?shù)貓A軌速度,rexit為躍出時飛行器到地球中心的距離。躍出速度Vexit和飛行路徑角γexit將由匹配漸進展開解式(22)和式(23)在躍出高度hexit處計算得到。

末段縱程Rfinal通過對存儲的參考軌跡進行線性內(nèi)插來計算得到。這里采用了阿波羅制導的標準末段剖面,此時的常值升阻比垂向分量為λfinal=0.18(σ=53°)。標準參考軌跡采用速度作為自變量,由于假定在二次再入時的速度等于躍出大氣時的速度,因此有Rfinal=f(Vexit)。

實際的需要航程Rgo通過飛行器的當前位置向量和目標落點區(qū)的位置向量來計算得到。升阻比垂向分量λ采用正割迭代法調(diào)整,直到預(yù)測縱程偏差|Rtotal-Rgo|＜46.3 km(約25 n mile)。迭代程序運行2次:第1次是在再入點EI處,第2次是在最小高度hmin處。在hmin處重新計算跳躍軌跡的剩余上升段極大地提高了對大氣躍出狀態(tài)Vexit和γexit的預(yù)測,因為匹配漸進展開解的復(fù)合常值v*、γ*和~γ*能通過采用飛行器最低點當前狀態(tài)重新計算。數(shù)值仿真結(jié)果表明,在所有嘗試情況下,λ在3～5次迭代后收斂(阿波羅制導也采用了總迭代次數(shù)限制在7次之內(nèi)的正割迭代法)。

3.2 傾側(cè)角指令生成

由解析航程預(yù)測迭代得到的升阻比垂向分量λ的開環(huán)值可通過采用阿波羅反饋策略的閉環(huán)項進行擴展[18]。

在下降段和上升段,指令升阻比垂向分量為

式中:常值λref為航程預(yù)測迭代得到的結(jié)果；Vref和˙rref分別為參考速度和參考高度變化率,可通過式(22)和式(23)的當前高度函數(shù)形式的封閉解來計算得出；參考阿波羅的制導增益形式,速度增益KV與當前阻力加速度aD成比例:

（3）研制鋼筋籠自動綁扎或焊接智能設(shè)備?？砂凑諏氲腃AD網(wǎng)片規(guī)格進行全過程自動生產(chǎn)的智能設(shè)備；焊接或者綁扎的鋼筋直徑范圍廣，質(zhì)量可靠；鋼筋網(wǎng)絡(luò)尺寸精確要高，在±10mm范圍內(nèi)；可根據(jù)預(yù)埋件、窗戶、門口尺寸，自動按照預(yù)留尺寸開孔；具有互聯(lián)網(wǎng)和通信接口，可方便技術(shù)人員通過互聯(lián)網(wǎng)遠程診斷/故障排除。

其中:aexitD=1.22 m/s2為躍出高度附近的近似阻力加速度；ahminD為在上拉高度處的估計阻力加速度。高度變化率增益KRD為

在開普勒段,采用常值傾側(cè)角飛行,這里取λ=0.250 3(相應(yīng)的σ=33.44°)。

在末段(二次再入段),基于線性攝動理論和存儲的參考軌跡,指令升阻比垂向分量為

式中:L為升力；D為阻力；R為航程；Rpred為預(yù)測剩余航程,并有

其中:arefD為阻力加速度的參考值。

該段所有的參考值都將通過線性內(nèi)插已存儲的以速度為自變量的參考剖面來進行計算；偏導數(shù)將通過伴隨法和一個線性化系統(tǒng)來計算,并且存儲為速度的函數(shù)。阿波羅飛船返回艙的最終段制導參考軌跡參數(shù)如表1所示。

表1 阿波羅飛船返回艙最終段制導參考軌跡參數(shù)Table 1 Reference trajectory parameters of terminal guidance for Apollo entry capsule

式中:(L/D)max=0.3,表示最大升阻比。這里采用了阿波羅側(cè)向制導邏輯,如果橫程偏差超過了

最后得到傾側(cè)角為某一邊界值,則進行指令傾側(cè)翻轉(zhuǎn),其中,邊界值的界限與V2成比例,以限制翻轉(zhuǎn)次數(shù)。

4 仿真分析

4.1 仿真初值

以阿波羅指令艙[3](Command Module,CM)為對象進行制導算法的驗證,其參考面積為S=11.9 m2,質(zhì)量為m=5 511 kg,配平攻角αT的范圍為147°～158°。升力系數(shù)和阻力系數(shù)可通過以馬赫數(shù)Ma為自變量對配平氣動系數(shù)線性插值得到。表2為阿波羅飛船返回艙升阻比與配平攻角的關(guān)系,表3為數(shù)值仿真再入點的初始參數(shù)。期望的落點經(jīng)度為75°,相應(yīng)的航程為8 348.959 19 km,對落點緯度不進行要求。

表2 阿波羅返回艙升阻比L/D與配平攻角αT的關(guān)系Table 2 Relationship between lift-drag ratio L/D and trim angle of attackαT for Apollo entry capsule

表3 再入點(EI)初始參數(shù)Table 3 Initial parameters of entry interface(EI)

4.2 計算結(jié)果

仿真得到的阿波羅指令艙再入制導的落點參數(shù)如表4所示,相應(yīng)的航程為8 348.620 90 km,落點誤差為0.338 29 km。整個再入過程的高度和傾側(cè)角變化如圖2所示。

表4 再入制導落點參數(shù)Table 4 Landing parameters of entry guidance

圖2 跳躍再入制導軌跡中的飛行高度和傾側(cè)角變化曲線Fig.2 Flight altitude and bank angle variation curves of skip entry guidance trajectory

從圖2中可以看出,本文所給出的載人飛船返回艙再入制導算法可以很好地實現(xiàn)跳躍式再入,航程達到了8 348.62 km,且具有較高精度。圖2(b)中的傾側(cè)角變化曲線不連續(xù)光滑,主要是因為傾側(cè)角指令是分段進行設(shè)計的,而段間的銜接問題沒有考慮,這一問題將在后續(xù)的研究中進行解決。

5 結(jié) 論

1)采用跳躍式再入返回形式,將阿波羅指令艙的再入航程由4 630 km提高到8 348 km,滿足了低升阻比飛行器再入返回的大航程要求。

2)利用奇異攝動技術(shù)中的匹配漸進展開法,獲得了跳躍式再入返回軌跡的統(tǒng)一封閉解析解——飛行速度和飛行路徑角關(guān)于高度和初始條件的解析表達式,并給出了具體的計算流程和注意事項,驗證了匹配漸進展開技術(shù)求解變系數(shù)、非線性問題的有效性。

3)預(yù)測-校正制導律對大航程再入返回過程中劇烈的環(huán)境變化具有較強的魯棒性,而基于解析解的航程預(yù)測保證了制導的快速性,而制導指令(傾側(cè)角)的生成不僅考慮了航程偏差,還加入了高度、速度和加速度偏差的補償,仿真結(jié)果證明了該解析預(yù)測-校正制導的有效性和高精度。

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