謝里陽*,任俊剛,吳寧祥,錢文學(xué)

東北大學(xué)航空動(dòng)力裝備振動(dòng)及控制實(shí)驗(yàn)室,沈陽 110819

復(fù)雜結(jié)構(gòu)和零部件的幾何形狀及受力狀態(tài)決定了其多部位損傷(MSD)特征,即一個(gè)結(jié)構(gòu)部件或一個(gè)復(fù)雜機(jī)械零件上存在多個(gè)可能發(fā)生失效的關(guān)鍵(高應(yīng)力/低強(qiáng)度)部位。由于結(jié)構(gòu)和零部件載荷及各部位強(qiáng)度的不確定性,復(fù)雜結(jié)構(gòu)和零部件上各損傷部位的疲勞壽命都具有明顯的隨機(jī)性。因此,復(fù)雜結(jié)構(gòu)和零部件的壽命并不等于確定性意義上最薄弱部位的壽命,其失效及概率壽命預(yù)測(cè)問題是一個(gè)系統(tǒng)的失效及可靠性問題。若結(jié)構(gòu)或零部件上任一部位失效都會(huì)導(dǎo)致整個(gè)結(jié)構(gòu)或零部件失效,則一個(gè)結(jié)構(gòu)或一個(gè)零部件就是一個(gè)串聯(lián)系統(tǒng)。在這樣的系統(tǒng)中,若載荷具有不確定性,則各關(guān)鍵部位失效會(huì)存在統(tǒng)計(jì)相關(guān)性,需要有適用的模型預(yù)測(cè)系統(tǒng)壽命及其概率分布。

近年來,多部位損傷問題得到了極大關(guān)注,相關(guān)研究包括多裂紋結(jié)構(gòu)的剩余強(qiáng)度問題[1-2]、壽命問題[3]、結(jié)構(gòu)完整性問題[4]等。有許多文獻(xiàn)研究了多部位損傷結(jié)構(gòu)的疲勞壽命預(yù)測(cè)理論與方法[5-12],但多數(shù)研究都是在確定性框架下進(jìn)行的,或只涉及簡(jiǎn)單的概率計(jì)算。

關(guān)于疲勞壽命的概率分布問題,傳統(tǒng)上多根據(jù)P-S-N(應(yīng)力-概率壽命)曲線預(yù)測(cè)簡(jiǎn)單零件(只含有一個(gè)可能失效的部位)在確定性的循環(huán)載荷作用下對(duì)應(yīng)于一定可靠度的疲勞壽命,或借助應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型反映載荷不確定性對(duì)疲勞失效概率的影響[13-14]。應(yīng)用應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型的前提是獲得對(duì)應(yīng)于某一壽命的疲勞強(qiáng)度概率分布[15],這樣的方法應(yīng)用難度很大,且適用范圍有限。

變幅載荷歷程下的疲勞失效概率問題更加復(fù)雜,相關(guān)研究多局限于具體零件或結(jié)構(gòu)[16],且很少涉及多部位損傷問題。Petryna等[17]研究了鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的概率疲勞損傷建模問題,Karadeniz[18]介紹了一種海洋工程結(jié)構(gòu)譜載荷疲勞壽命不確定性分析程序。Kliman[19]介紹了一種基于能量準(zhǔn)則估算隨機(jī)載荷作用下零件可靠壽命的方法,應(yīng)用S-N曲線和循環(huán)應(yīng)力-應(yīng)變曲線、載荷歷程的標(biāo)準(zhǔn)差和概率密度分布、以及由雨流計(jì)數(shù)法得到的載荷循環(huán)譜塊。其失效準(zhǔn)則是從能量的觀點(diǎn)進(jìn)行考慮,累積損傷臨界值為載荷幅值的函數(shù)。文獻(xiàn)[20]提出了一個(gè)系統(tǒng)可靠性分析的一般方法。本文基于系統(tǒng)失效概率分析及具體損傷部位的概率累積損傷計(jì)算,建立多部位損傷結(jié)構(gòu)和零部件概率疲勞壽命預(yù)測(cè)模型。

1 疲勞失效概率表達(dá)方法

指定循環(huán)應(yīng)力水平下的疲勞壽命是一個(gè)隨機(jī)變量,通常可以用Weibull分布或?qū)?shù)正態(tài)分布描述。多級(jí)譜載或變幅應(yīng)力歷程下的疲勞壽命分布可能表現(xiàn)出更為復(fù)雜的形式。為了預(yù)測(cè)零部件在變幅載荷歷程下的概率壽命,首先需要研究變幅應(yīng)力歷程下的疲勞損傷的概率特性,以及概率疲勞損傷累積方法。為了便于處理變幅應(yīng)力歷程下的概率疲勞損傷累積問題,本文首先研究變幅載荷歷程下疲勞損傷及其臨界值概率分布的表達(dá)式,以及與隨機(jī)臨界損傷對(duì)應(yīng)的損傷累積計(jì)算方法。

傳統(tǒng)損傷累積模型只涉及確定性量,即確定性的壽命和確定性的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)。在壽命N為隨機(jī)變量的情形,損傷n/N也為隨機(jī)變量,n為應(yīng)力循環(huán)次數(shù)。若沿用傳統(tǒng)的累積損傷臨界值概念,認(rèn)為損傷臨界值為1,即損傷臨界值為確定性量,失效判據(jù)可表達(dá)為

式中:ni為第i應(yīng)力水平下的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)；Ni為相應(yīng)的壽命隨機(jī)變量。

相應(yīng)地,失效概率為

若要應(yīng)用此式預(yù)測(cè)疲勞失效概率,需要計(jì)算n/N大于1的概率,因而需要確定n/N的概率密度函數(shù)。這樣做的困難是,難以由壽命N的概率密度函數(shù)推導(dǎo)出損傷n/N的概率密度函數(shù)。為了避免這樣的困難,本文首先探討變幅應(yīng)力作用下疲勞失效概率計(jì)算的可能方法。為此,需要分析疲勞損傷累積計(jì)算中涉及到的有關(guān)變量,尤其是有關(guān)確定性量與隨機(jī)變量之間的聯(lián)系。

在指定循環(huán)應(yīng)力水平si下,壽命為隨機(jī)變量,其中值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為ˉNi和σi,概率密度函數(shù)為fi(N)。當(dāng)應(yīng)力循環(huán)次數(shù)為ni時(shí),失效概率為

為了便于進(jìn)行不同應(yīng)力水平下應(yīng)力循環(huán)次數(shù)的損傷等效轉(zhuǎn)換及進(jìn)行概率損傷累積,可以進(jìn)行確定性應(yīng)力循環(huán)次數(shù)與壽命隨機(jī)變量之間的概率等效變換。具體作法是,為了便于進(jìn)行失效概率計(jì)算,把原本是隨機(jī)變量的壽命Ni轉(zhuǎn)換為確定性量,數(shù)值為其中值ˉNi；相應(yīng)地,把應(yīng)力循環(huán)次數(shù)轉(zhuǎn)換作為以實(shí)際循環(huán)次數(shù)ni為中值的隨機(jī)變量,記為nri。對(duì)于壽命概率密度函數(shù)可用三參數(shù)函數(shù)(例如三參數(shù) Weibull分布)表達(dá)的一般情形,把概率密度函數(shù)為fN,i(N)=fN,i(βN,ηN,γN)的壽命隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換為以其中值為具體數(shù)值的確定性量,把原本確定性的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)轉(zhuǎn)換為以其實(shí)際循環(huán)數(shù)為中值,概率密度函數(shù)為fn,i(n)=fn,i(βn,ηn,γn)的隨機(jī)變量,且有P(nri＞ˉNi)=P(Ni＜ni)成立,即

為了實(shí)現(xiàn)這樣的轉(zhuǎn)換,需要首先以壽命中值為基準(zhǔn),構(gòu)造壽命概率密度函數(shù)的鏡像函數(shù),再將此鏡像函數(shù)向左平移一段距離-ni,即可得到對(duì)應(yīng)載荷循環(huán)數(shù)的概率密度函數(shù)。圖1展示了轉(zhuǎn)換前后的情況。

顯然,既然可以實(shí)現(xiàn)這樣的轉(zhuǎn)換,也就可以以壽命中值為基礎(chǔ)、以對(duì)應(yīng)的等效應(yīng)力循環(huán)次數(shù)隨機(jī)變量為根據(jù)計(jì)算概率損傷,把損傷臨界值取為確定性量(取值為1)；或以壽命中值為基礎(chǔ)、以實(shí)際的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)(確定性量)為根據(jù)計(jì)算“中值”損傷,把損傷臨界值解釋為隨機(jī)變量N/。這樣,就可以把累積損傷隨機(jī)變量與確定性的累積損傷臨界值1之間的關(guān)系轉(zhuǎn)換為確定性的“中值”累積損傷與累積損傷臨界值隨機(jī)變量之間的關(guān)系。

在隨機(jī)變量(例如對(duì)數(shù)壽命、對(duì)數(shù)應(yīng)力循環(huán)數(shù))服從正態(tài)分布的情形,為了保證失效概率計(jì)算的等效性,應(yīng)使隨機(jī)化后的應(yīng)力循環(huán)數(shù)的對(duì)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差等于該應(yīng)力水平下壽命對(duì)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差σi,即ln nri的中值(均值)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為ln ni和σi。

在這種變換的基礎(chǔ)上,對(duì)損傷臨界值可作如下處理。由于壽命Ni為隨機(jī)變量,應(yīng)力循環(huán)ni次時(shí)損傷為隨機(jī)變量ni/Ni,損傷臨界值為ˉNi/ˉNi=1。進(jìn)行應(yīng)力循環(huán)次數(shù)隨機(jī)化轉(zhuǎn)換之后,相應(yīng)的損傷隨機(jī)變量為nri/ˉNi,損傷臨界值同樣為ˉNi/ˉNi=1。由此可見,疲勞損傷隨機(jī)變量既可以根據(jù)實(shí)際應(yīng)力循環(huán)次數(shù)以壽命隨機(jī)變量為基準(zhǔn)計(jì)算,也可以根據(jù)等效的應(yīng)力作用次數(shù)隨機(jī)變量以壽命中值為基準(zhǔn)計(jì)算。

從損傷臨界值的角度,在某一指定幅值的循環(huán)應(yīng)力作用下的失效概率可表達(dá)為

圖1 壽命分布與對(duì)應(yīng)應(yīng)力循環(huán)次數(shù)分布變換原理Fig.1 Transform principle of life distribution and equivalent load action number distribution

由于n/ˉNi定義為中值損傷,根據(jù)式(3),累積損傷的臨界值為隨機(jī)變量。在傳統(tǒng)的、確定性意義上的線性累積損傷法則中,損傷臨界值(確定性量)與應(yīng)力水平無關(guān),因而才可以簡(jiǎn)單地進(jìn)行累積損傷計(jì)算、簡(jiǎn)單地判定失效何時(shí)發(fā)生。要建立概率累積損傷法則,也需要清楚概率意義上的損傷臨界值隨機(jī)變量與應(yīng)力水平之間的關(guān)系。只有在損傷臨界值的概率分布與應(yīng)力水平無關(guān)的前提下,才能建立像傳統(tǒng)累積損傷法則那樣形式簡(jiǎn)單的公式。

定性地講,在壽命概率分布方面,一般規(guī)律是低應(yīng)力、長(zhǎng)壽命對(duì)應(yīng)于較大的壽命分散性。對(duì)于損傷臨界值的概率分布來說,分散性較大的壽命隨機(jī)變量除以較大的壽命均值,使得損傷臨界值的分散性不會(huì)像壽命分散性那樣直接與應(yīng)力水平有關(guān)。下面將證明,若不同應(yīng)力水平下的疲勞壽命Weibull分布的形狀參數(shù)相同(這是一種很常見的合理假設(shè)),則不同應(yīng)力水平下的損傷臨界值的分布相同,即與應(yīng)力水平無關(guān)。

若在任一應(yīng)力水平下壽命均服從Weibull分布,則在基準(zhǔn)應(yīng)力水平其概率密度函數(shù)和累積概率分布函數(shù)分別為

式中:nB為基準(zhǔn)應(yīng)力水平下的壽命；β為形狀參數(shù)；η為尺度參數(shù)。

損傷臨界值為

式中:下標(biāo)B表示基準(zhǔn)應(yīng)力水平。

根據(jù)確定隨機(jī)變量函數(shù)概率分布的基本原理,可以得到損傷臨界值的概率密度函數(shù)和累積概率分布函數(shù)分別為

式中:dC為損傷臨界值變量。將Weibull分布中值壽命表達(dá)式代入式(8),有

顯然,在β為常數(shù)(不隨應(yīng)力水平變化)的條件下,損傷臨界值的概率分布與應(yīng)力水平無關(guān)。

由于損傷臨界值的概率分布與應(yīng)力水平無關(guān),可以以任一應(yīng)力水平(例如S-N 曲線所覆蓋的應(yīng)力范圍的中間值)下的壽命分布為基準(zhǔn),根據(jù)此基準(zhǔn)應(yīng)力水平下的壽命概率分布確定累積損傷臨界值的概率分布?；蛘吒鶕?jù)加權(quán)計(jì)算確定基準(zhǔn)應(yīng)力水平,即對(duì)載荷歷程進(jìn)行計(jì)數(shù),結(jié)果劃分為m個(gè)應(yīng)力水平,其中應(yīng)力si下有ni個(gè)載荷循環(huán),則基準(zhǔn)應(yīng)力水平取為

典型壽命分布fN(n)～W(2,200 000)及相應(yīng)的累積損傷臨界值分布概率密度函數(shù)fD(dC)如圖2所示?？疾靿勖稚⑿允欠駥?duì)損傷臨界值的概率分布有明顯影響,圖3所示的壽命分布與圖2所示的情形相比有更大的分散性,即其概率密度函數(shù)fN(n)～W(1.5,300 000)及相應(yīng)的累積損傷臨界值分布fD(dC)更分散?？梢钥闯?雖然與圖2所示的情形相比,壽命分布有明顯不同(形狀參數(shù)、尺度參數(shù)都不明顯相同),但損傷臨界值分布的差異并不是很大。這也定性地支持了損傷臨界值分布對(duì)應(yīng)力水平不敏感的觀點(diǎn)。

圖2 分散性較小的壽命分布與損傷臨界值分布Fig.2 Life distribution with small dispersion and critical damage distribution

圖3 分散性較大的壽命分布與損傷臨界值分布Fig.3 Life distribution with large dispersion and critical damage distribution

2 概率累積損傷法則

傳統(tǒng)的累積損傷問題只涉及確定性意義上的累積損傷,是在壽命與應(yīng)力循環(huán)數(shù)都為確定性量的條件下定義的。由于壽命為隨機(jī)變量,對(duì)應(yīng)于一定應(yīng)力水平、一定循環(huán)次數(shù)的循環(huán)應(yīng)力產(chǎn)生的損傷也是隨機(jī)變量。從材料性能的角度,也可以認(rèn)為材料所能容許的損傷臨界值為隨機(jī)變量,即一批材料試樣中,相對(duì)好的試樣能承受更多的應(yīng)力循環(huán)數(shù),而每個(gè)應(yīng)力循環(huán)產(chǎn)生的損傷是一定的,只與應(yīng)力水平有關(guān),與材料性能無關(guān)。為了獲得概率壽命或可靠壽命,需要建立概率累積損傷法則。疲勞累積損傷法則的基礎(chǔ)是不同應(yīng)力水平的循環(huán)應(yīng)力產(chǎn)生的疲勞損傷存在等效性。概率累積損傷法則的一個(gè)必須滿足的條件是,不同應(yīng)力水平下,相同的損傷須對(duì)應(yīng)相同的疲勞失效概率。

根據(jù)第1節(jié)的闡釋、分析與證明,在進(jìn)行疲勞損傷累積與概率壽命預(yù)測(cè)時(shí),可以根據(jù)壽命中值計(jì)算疲勞損傷及進(jìn)行損傷累積(稱為中值損傷及中值累積損傷),根據(jù)中值累積損傷與累積損傷臨界值的概率分布計(jì)算概率壽命——這就是本文要建立的概率累積損傷法則的基本思想。

以不同應(yīng)力水平下壽命中值為根據(jù)折算不同應(yīng)力水平下的等損傷應(yīng)力循環(huán)次數(shù),即應(yīng)力sj下的nj個(gè)循環(huán)產(chǎn)生的疲勞損傷相當(dāng)于應(yīng)力si下的ni個(gè)循環(huán)產(chǎn)生的疲勞損傷,則有

基于損傷臨界值分布與應(yīng)力水平無關(guān)的性質(zhì)(或假設(shè)),可知

即基于壽命中值折算的不同應(yīng)力水平下的等效應(yīng)力循環(huán)次數(shù)滿足“相同的損傷導(dǎo)致相同的失效概率”的原則(或稱限制條件):

所以,有變幅循環(huán)應(yīng)力作用下的疲勞失效概率計(jì)算公式,即概率損傷累積準(zhǔn)則:

該法則可表述為,變幅應(yīng)力作用下的失效概率等于以壽命中值為基準(zhǔn)計(jì)算的線性累積損傷值小于臨界損傷隨機(jī)變量的概率。

3 變幅循環(huán)載荷歷程下多損傷部位結(jié)構(gòu)概率疲勞壽命預(yù)測(cè)

在變幅載荷歷程作用下,多損傷部位結(jié)構(gòu)上,各損傷部位的應(yīng)力歷程不同,損傷演化歷程也不同。設(shè)某結(jié)構(gòu)上含有m個(gè)損傷部位,所承受的載荷歷程i(結(jié)構(gòu)可能承受不同的載荷歷程)由應(yīng)力水平分別為si,1,si,2,…,si,ni的ni個(gè)載荷循環(huán)構(gòu)成,損傷部位j(j=1,2,…,m)的應(yīng)力歷程為,,…

根據(jù)線性累積損傷計(jì)算公式(Miner法則),以各應(yīng)力水平下壽命中值為基準(zhǔn)計(jì)算的損傷部位j的累積損傷(即中值損傷)為

式中:ni為載荷歷程i中所含的載荷循環(huán)數(shù)；為應(yīng)力幅為的恒幅循環(huán)應(yīng)力作用下結(jié)構(gòu)上j個(gè)損傷部位材料的壽命中值。

在該載荷歷程作用下,損傷部位j的失效的概率為

根據(jù)串聯(lián)系統(tǒng)概率運(yùn)算法則,含有m個(gè)損傷部位的結(jié)構(gòu)件的失效概率為

考慮到載荷歷程的不確定性,令載荷歷程i出現(xiàn)的概率為pi,可以根據(jù)全概率計(jì)算原理計(jì)算失效概率,即需要把式(17)擴(kuò)展為

式中:L為載荷歷程樣本數(shù)。

4 應(yīng)用舉例

復(fù)雜結(jié)構(gòu)部件上通常包含多個(gè)可能失效的關(guān)鍵部位。由于各關(guān)鍵部位的載荷及材料性能存在隨機(jī)性,一個(gè)復(fù)雜結(jié)構(gòu)部件相當(dāng)于一個(gè)由多個(gè)單元構(gòu)成的串聯(lián)系統(tǒng)。因此,對(duì)于概率壽命預(yù)測(cè)而言,多損傷部位結(jié)構(gòu)或機(jī)械零部件需要作為一個(gè)串聯(lián)系統(tǒng)對(duì)待。由于同一結(jié)構(gòu)或零部件上各部位的應(yīng)力是由同源載荷產(chǎn)生的,在載荷及材料強(qiáng)度都具有隨機(jī)性的場(chǎng)合,各損傷部位的疲勞損傷或疲勞壽命在統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上既不完全相關(guān),也不相互獨(dú)立。因此,多損傷部位結(jié)構(gòu)或零部件的疲勞壽命及可靠性既不能按一個(gè)最大損傷部位計(jì)算,也不能根據(jù)傳統(tǒng)的串聯(lián)系統(tǒng)可靠性模型計(jì)算。

圖4所示為承受拉伸載荷的帶有5個(gè)孔的490 mm×180 mm的板狀零件。顯然,該零件上有10個(gè)易損傷部位,即各孔邊應(yīng)力集中處。由于材料性能分散性的原因,即使在相同的循環(huán)應(yīng)力作用下,各易損部位的損傷演化也會(huì)有顯著差異。

圖4 多部位損傷結(jié)構(gòu)Fig.4 Multi-site damage structure

令各損傷部位的應(yīng)力歷程相同。應(yīng)力歷程用應(yīng)力幅值序列表示,該序列由400～500之間均勻分布隨機(jī)數(shù)構(gòu)成,圖5所示為該循環(huán)應(yīng)力歷程的前20個(gè)應(yīng)力循環(huán)。

圖5 預(yù)測(cè)壽命用的應(yīng)力歷程(部分)Fig.5 Load history used to fatigue life prediction(part)

令材料的應(yīng)力-概率壽命性能數(shù)據(jù)如下:

材料的中值S-N曲線方程為

指定應(yīng)力水平下的壽命服從Weibull分布,且分散性與應(yīng)力水平無關(guān)。在基準(zhǔn)應(yīng)力水平(450 MPa)下,壽命概率密度函數(shù)為

對(duì)應(yīng)于基準(zhǔn)應(yīng)力水平的循環(huán)應(yīng)力作用下疲勞壽命中值為

根據(jù)本文介紹的累積損傷計(jì)算方法,容易得到累積損傷與載荷循環(huán)之間的關(guān)系,如圖6所示。

圖6 累積損傷與載荷循環(huán)數(shù)之間的關(guān)系Fig.6 Relationship between cumulative damage and load action number

繼而,根據(jù)本文推導(dǎo)出的一個(gè)損傷部位的失效概率計(jì)算式(15)及多部位損傷零部件的失效概率計(jì)算式(17),可以得到失效概率與載荷循環(huán)次數(shù)之間的關(guān)系,如圖7所示。

由計(jì)算結(jié)果可知,在給定失效概率時(shí),含有多個(gè)損傷部位的復(fù)雜零部件的壽命會(huì)比只有一個(gè)損傷部位時(shí)的壽命低很多,這是由壽命的不確定性效應(yīng)導(dǎo)致的。顯然,壽命的隨機(jī)性越大,多損傷部位復(fù)雜零部件的壽命與只有一個(gè)損傷部位時(shí)的壽命差別也越大。

圖7 失效概率與載荷循環(huán)次數(shù)之間的關(guān)系Fig.7 Relationship between failure probability and load action number

5 結(jié) 論

提出了一種基于壽命中值計(jì)算疲勞累積損傷的概率損傷法則(中值累積損傷法則)以及確定損傷臨界值概率分布的方法。以中值累積損傷法則為基礎(chǔ),應(yīng)用多層統(tǒng)計(jì)分析及全概率原理,提出了多部位損傷結(jié)構(gòu)和復(fù)雜零部件的概率壽命預(yù)測(cè)方法及模型。中值累積損傷法則體現(xiàn)了疲勞損傷等效與疲勞失效概率等效的一致性。提出的概率壽命預(yù)測(cè)方法應(yīng)用方便,需要的材料性能數(shù)據(jù)只有中值S-N曲線和某一應(yīng)力水平下的壽命分布,且能反映載荷歷程的隨機(jī)性對(duì)壽命及可靠性的影響。算例顯示,多損傷結(jié)構(gòu)零部件的概率疲勞壽命與只有一個(gè)損傷部位時(shí)的概率疲勞壽命有明顯差別。如果只根據(jù)零部件上多個(gè)較高應(yīng)力部位中的一個(gè)最高應(yīng)力部位預(yù)測(cè)其疲勞壽命,會(huì)導(dǎo)致偏于危險(xiǎn)的結(jié)果。

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