何日平

【摘 要】向量可使解析結(jié)合的運(yùn)算步驟變得更為簡(jiǎn)單清晰，是數(shù)學(xué)幾何中較為常用的一種工具。通過(guò)幾個(gè)常見(jiàn)例子分析向量在解析幾何中的應(yīng)用及優(yōu)勢(shì)，應(yīng)在教學(xué)中推廣應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】解析幾何；向量；坐標(biāo)法

解析幾何，也叫坐標(biāo)幾何，是一門(mén)幾何學(xué)分支，實(shí)現(xiàn)了代數(shù)和幾何的統(tǒng)一，利用數(shù)形結(jié)合的方式解決問(wèn)題。解析幾何將變量引入數(shù)學(xué)，推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。而向量既有方向，又有大小，為實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合搭建了橋梁，是解析幾何的重要工具，在其中發(fā)揮著關(guān)鍵性作用。如利用向量方向可求角，利用向量大小可求距離。所以，有必要將向量用于解析幾何中，更加方便地解決實(shí)際問(wèn)題。

1利用向量證明結(jié)論

例1：將三角形任意兩邊的中點(diǎn)相連接，得到的線段即為三角形的中位線。試證明：中位線與另一邊相平行，且長(zhǎng)度為其1/2 。

分析：若采用一般的方法，可利用相似三角形證明，或?qū)⒅形痪€延長(zhǎng)構(gòu)建平行四邊形加以證明。這兩種方法的步驟都比較麻煩，需要先后證明兩個(gè)結(jié)論。若利用向量法，可同時(shí)表示長(zhǎng)度和方向，使得證明過(guò)程更加簡(jiǎn)單。

證明：假設(shè)有ΔABC，邊AB的中點(diǎn)為P，邊AC的中點(diǎn)為Q，則===

∴與相平行，且=

可見(jiàn)，向量既有長(zhǎng)度又有方向，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，能夠使解題步驟更簡(jiǎn)單，同時(shí)證明方向和長(zhǎng)度，較其他方法要簡(jiǎn)單些。

2坐標(biāo)法

例2：已知平面上有一直線L：X=8，另有一定點(diǎn)C（2，0）和一動(dòng)點(diǎn)M，做線段MN和直線L垂直，垂足為N，滿足（）·（）=0。則：①求動(dòng)點(diǎn)M移動(dòng)的運(yùn)動(dòng)軌跡以及相應(yīng)的方程；②若有一圓O：x2+（y-1）2 =1，且EF是該圓的任意一條直徑，試求·的最值。

分析：對(duì)于第①問(wèn)，可采用坐標(biāo)法，設(shè)定M的坐標(biāo)后，對(duì)題中向量的關(guān)系進(jìn)行變化，并代入向量坐標(biāo)，進(jìn)而求得軌跡方程；對(duì)于第②問(wèn)，可先根據(jù)圓的性質(zhì)對(duì)題目中的向量數(shù)量積進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后求出M到定點(diǎn)O的距離的最值，進(jìn)而將點(diǎn)坐標(biāo)代入，求得最值。

解：①假設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），則N點(diǎn)坐標(biāo)為（8，y）

對(duì)題中已知條件變形簡(jiǎn)化后可得：- = 0

將坐標(biāo)代入求得：

（x-2）2 + y2 - （x-8）2 = 0

即+= 1 ，

∴ 動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為一橢圓，方程為+= 1

②∵=- ， =- ，且 =-

∴ · = （--）·（- ）

= 2 - 1

已知M的軌跡是一橢圓，假設(shè)M（x0，y0），代入橢圓方程得：+= 1，化簡(jiǎn)后得：x02 = 16-，而0點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），代入后可得：

2 = x02 +（y0 -1）2 =-y02 -2y0 + 17 = ﹣（y02 + 3）2 + 20

∵ y0 ∈ [-2，2]

∴ 當(dāng) y0 = -3時(shí)，2可取得最大值為20，則·的最大值為19.

當(dāng) y0 = 2時(shí)，2 可取得最小值為13-4，則·的最小值為12-4。

向量是平面解析幾何中的重要因素，兩者交匯出現(xiàn)的頻率很高。如例2的題目在解析幾何中十分常見(jiàn)，往往會(huì)涉及向量數(shù)量的簡(jiǎn)化、求解等運(yùn)算，包括移動(dòng)軌跡，或直線與圓的最值等問(wèn)題。學(xué)生在學(xué)習(xí)中常會(huì)感覺(jué)到困難，為此應(yīng)仔細(xì)分析向量和題目給出的條件。如采用坐標(biāo)法，從向量的坐標(biāo)運(yùn)算著手，進(jìn)一步求得最終結(jié)果。

3單位向量的作用

例3 ：有正方形ABCD，其中點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（-4，3），試求另外兩點(diǎn)C、D的坐標(biāo)。

分析：該題同樣有多種解法，數(shù)形結(jié)合容易理解，也很簡(jiǎn)便。向量的運(yùn)用可使解題步驟更為簡(jiǎn)化清晰，故在此運(yùn)用單位向量解題。

解：由題中條件可求得=（-4，3），假設(shè)有單位向量e與其同向共線，且e = （-，），另有單位向量e1、e2與e垂直，且e1=（3/5 ，4/5），e2 =（- ，-）?？芍ce1或e2同向，且向良模為5，可求得=（3 ，4），或 =（-3 ，-4）。

當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3 ，4）時(shí)，AC與BD相互平分，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1 ，7）；

當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-3 ，-4）時(shí)，按上述算法同樣可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-7 ，-1）。

空間中的角或距離可引用向量快速地求解，解析幾何同樣可以利用平面向量進(jìn)行求解。包括求某點(diǎn)坐標(biāo)、求某角大小、求線段長(zhǎng)度，或確定直線方向、處理垂直和平行關(guān)系，以及定比分點(diǎn)等問(wèn)題，均可運(yùn)用平面向量加以解決。較其他方法而言，平面向量更具優(yōu)勢(shì)。

4結(jié)束語(yǔ)

解析幾何可分為平面和立體兩大模塊，在數(shù)學(xué)幾何學(xué)中的占據(jù)著重要地位，因較為抽象，學(xué)習(xí)起來(lái)有一定的難度。向量是用來(lái)解決幾何難題的有效途徑，它是一種既有方向又有大小的量，將其應(yīng)用到解析幾何中，省去了繁瑣的運(yùn)算，使得解題步驟更加簡(jiǎn)便。不管是平面方程，還是空間方程，都需要運(yùn)用向量計(jì)算夾角、方向、大小等。所以向量值得在幾何中推廣應(yīng)用。

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