☉福建省寧德市民族中學(xué) 鄭一平

再談沖刺階段如何提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的效率

☉福建省寧德市民族中學(xué) 鄭一平

編者按：2003年4月鄭一平老師曾在中國青年報上發(fā)表了《沖刺階段如何提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效率》一文（談自己在高三畢業(yè)班沖刺階段的做法），在當時引起了較大反響，十多年來該文也被多位教師參考借鑒.多年來在畢業(yè)班沖刺階段復(fù)習(xí)中，鄭老師一直對此問題進行研究，效果比較好，因此在高考復(fù)習(xí)即將進入沖刺階段時，鄭老師在原文的基礎(chǔ)上對近年做法進行補充、修改，寫成此文，想必對指導(dǎo)高考沖刺階段的復(fù)習(xí)一定會有很大幫助.

高考前一個月常被叫做高考復(fù)習(xí)的沖刺階段，這一階段無論是教師還是學(xué)生都感到壓力很大，感覺時間緊、任務(wù)重，需要復(fù)習(xí)的知識越來越多，知識的缺陷也絡(luò)繹不絕，正常的時間似乎也不夠用，這是很正常的心理.但也經(jīng)常聽到一些教師和學(xué)生講到，進入這一階段似乎進入高原期，復(fù)習(xí)總是難以收到較好的效果.筆者長期教學(xué)畢業(yè)班，深感沖刺階段復(fù)習(xí)的重要性，如何讓這一階段復(fù)習(xí)能夠取得更好的效益確實很值得研究.經(jīng)過多年研究，筆者認為在高考復(fù)習(xí)的沖刺階段必須重視“五抓五突出”，即一抓平時復(fù)習(xí)的薄弱點，突出重中之重；二抓學(xué)生思維的易錯點，突出典型問題分析；三抓規(guī)范訓(xùn)練的落腳點，突出提高解題準確與速度；四抓《考試說明》與信息研究，突出課本基礎(chǔ)知識、典型問題的再挖掘；五抓知識的整理與內(nèi)化，突出問題解決的思維方法.

一、抓平時復(fù)習(xí)中的薄弱點，突出重中之重

經(jīng)過第一輪全面系統(tǒng)的復(fù)習(xí)，同學(xué)們對高中的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和方法都能較全面系統(tǒng)的掌握，但在復(fù)習(xí)過程中每位學(xué)生對每一知識的掌握程度不一樣，存在的問題也不同，此時必須在進入沖刺階段復(fù)習(xí)時，根據(jù)學(xué)生實際查一查知識的薄弱點，如果是個別問題，則及時面對面地輔導(dǎo)幫助解決，如果是普通性問題，則對癥下藥及時補缺補漏，進而通過有針對性的強化訓(xùn)練和講評，弄清問題實質(zhì)，以便打好扎實的基礎(chǔ).

根據(jù)《考試說明》與近幾年高考試題相比較可以發(fā)現(xiàn)，高考命題內(nèi)容都能以《考試說明》為依據(jù)，且重點也大相徑庭，特別是突出數(shù)學(xué)知識的主干，以重點知識建構(gòu)知識的主體，在代數(shù)部分重點考查函數(shù)、數(shù)列、不等式、三角函數(shù)、概率、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容；在立體幾何部分著重考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的關(guān)系；在解析幾何部分著重考查直線和圓錐曲線，特別是它們的位置關(guān)系.因此很有必要對上述重中之重的內(nèi)容進行必要的強化與提高，特別是通過一些有針對性的專題復(fù)習(xí)，提高學(xué)生解決綜合性問題的能力，提高學(xué)生思維的靈活性，為學(xué)生取得優(yōu)異成績鋪平道路.

比如，學(xué)生在平時解題中常見的薄弱點之一就是解決問題時思維往往比較單一，不能打破知識間的關(guān)系，靈活應(yīng)用知識去分析解決問題，針對學(xué)生的這一缺陷，在沖刺階段解幾復(fù)習(xí)中筆者選擇了下面例題.

例1如圖1，拋物線E：y2=4x的焦點為F，準線l與x軸的交點為A.點C在拋物線E上，以C為圓心，|OC|為半徑作圓，設(shè)圓C與準線l交于不同的兩點M，N.

（1）若點C的縱坐標為2，求|MN|；

（2）若|AF|2=|AM|·|AN|，求圓C的半徑.

分析：本題主要考查拋物線的方程、圓的方程與性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.問題（1）比較簡單，容易解決，問題（2）根據(jù)條件圓心C在拋物線上且過原點，就容易按常規(guī)思路得到如下的解法.

解：（1）拋物線y2=4x的準線l的方程為x=-1，由點C的縱坐標為2，得點C的坐標為（1，2），所以點C到準線l的距離d=2.

圖1

這種解法關(guān)鍵抓住了圓心在拋物線上、圓過原點這些幾何特征，結(jié)合垂徑定理和根與系數(shù)的關(guān)系獲得問題解的決.問題（2）的解決是常規(guī)解法，也是學(xué)生常用的解法，因為涉及直線與圓錐曲線位置關(guān)系自然想到通過聯(lián)立方程組消去一個未知數(shù)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系解決是常用方法，但此時要注意判別式的使用.實際上圓錐曲線的許多問題若能充分挖掘幾何特征，利用幾何性質(zhì)解決可以化難為易、化繁為簡，收到事半功倍的效果.

二、抓思維易錯點，突出典型問題分析

在復(fù)習(xí)過程中，盡管對基礎(chǔ)知識進行較為全面系統(tǒng)的復(fù)習(xí)，但由于學(xué)生知識水平、能力的不同，許多概念、性質(zhì)、定理、公式在解題應(yīng)用時學(xué)生常忽略解題的基本原則，如解對數(shù)問題先考慮定義域再變形轉(zhuǎn)化的原則；解指數(shù)不等式先固定底，再取對數(shù)的原則；解排列組合混合應(yīng)用題先組合再排列的原則；化復(fù)數(shù)為三角形式先固定模式后再由誘導(dǎo)公式化成三角形式等.忽略問題的隱含條件的挖掘而失誤，如正、余弦函數(shù)的有界性；基本不等式求最值等號成立的條件；等比數(shù)列求和公式中對公比q的要求；一元二次方程有解的條件；軌跡中的范圍等都是學(xué)生解題中易出現(xiàn)問題的所在之處，因此必須通過一些典型問題分析，讓學(xué)生查找失誤原因，以便對癥下藥，進行有針對性的強化訓(xùn)練，從而減少失誤率.

在數(shù)學(xué)問題中，常出現(xiàn)“?x1∈（a，b），?x2∈（c，d），使得f（x1）≥f（x2）成立”；“?x1∈（a，b），?x2∈（c，d），使得f（x1）≥f（x2）成立”；“?x1∈（a，b），?x2∈（c，d），使得f（x1）≥f（x2）成立”；“?x1∈（a，b），?x2∈（c，d），使得f（x1）≥f（x2）成立”等形式的命題，這些問題學(xué)生在解題時往往不能正確區(qū)分每一種情況之間的區(qū)別而造成解題失誤.為解決這一問題，沖刺階段復(fù)習(xí)時特舉下面一例：

學(xué)生在分析條件后易得到對任意的s，t∈［1，2］，都有f（s）≥g（t），等價于在區(qū)間［1，2］上，函數(shù)f（x）的最小值不小于g（x）的最大值.

由條件先求在區(qū)間［1，2］上，g（x）的最大值為g（2）= 1.只要1成立，等價于a≥x-x2lnx恒成立.

記h（x）=x-x2lnx，則h′（x）=1-2xlnx-x=（1-x）-2xlnx≤0在［1，2］上恒成立.

所以函數(shù)h（x）=x-x2lnx在區(qū)間［1，2］上單調(diào)遞減，所以h（x）max=h（1）=1，所以a≥1.

在此基礎(chǔ)上對其中條件“如果對任意的s，t∈［1，2］，都有f（s）≥g（t）成立”進行多方變式，s，t中一個為“任意”另一個變“存在”或兩個都變“存在”，讓學(xué)生思考解決，通過這些變式問題的解決就可以消除學(xué)生在“任意”與“存在”問題上似是而非的思維錯誤.

三、抓規(guī)范訓(xùn)練的落腳點，突出提高解題的準確與速度

計算能力是高考考查的重要能力之一，也是學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)之一，規(guī)范訓(xùn)練的落腳點要放在加強計算能力的培養(yǎng)上，在沖刺階段應(yīng)突出學(xué)生的練，通過讓學(xué)生動手、動腦、做題，親身體會解題對思維能力的益處，在解題中提高運算能力.特別要培養(yǎng)學(xué)生思維的全面性，防止學(xué)生在思考問題時顧此失彼，要培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識正確運算和變形，尋求設(shè)計合理、簡捷的運算途徑，會根據(jù)要求對數(shù)字進行估算和近似計算.對于每次練習(xí)，要求學(xué)生解題做到“四要”：一要熟練、準確，它是解題的基本要求；二要簡捷、迅速、全面，這是解題的進一步要求，體現(xiàn)思維的敏捷性和深刻性；三要注重思維過程、思維方法的科學(xué)性，在處理數(shù)量關(guān)系時，能根據(jù)題目條件尋求合理、簡捷的運算途徑，還要養(yǎng)成較強的心算和筆算速度，真正做到準確與速度、簡捷與熟練的有機結(jié)合；四要規(guī)范，這是高考取得高分的保證，要防止由于解題格式、過程的不規(guī)范而失分，達到會做的題不出錯.

圖2

學(xué)生遇到這一問題往往不加思考地通過計算來解決，常見解法如下.

由條件假設(shè)△PMN為正三角形，下面分點P在x軸上方和下方兩種情況：

①若點P在x軸上方，當△PMN為正三角形時，由平面幾何知識可得，∠PAB=30°，∠PBx=150°，所以直線AP的方程為（x+a），直線BP的方程為y-0=

所以a2=3b2，即此時點P的坐標為（0，-b）.

②同理可證點P在x軸下方時也存在△PMN為正三角形.

但許多學(xué)生考慮解答時往往忽略了討論上方與下方的兩種情形造成失分，此時強調(diào)思維的嚴密性就容易引起學(xué)生的重視.

本題實際還可考慮引導(dǎo)學(xué)生從幾何角度分析得到異于上面的簡潔解法.

考慮到等腰三角形兩底角相等，假設(shè)△PMN為正三角形，則∠MPN=∠PMN=60°.

又MN⊥x軸，所以∠PAN=30°，∠PBA=30°，所以△PAB為等腰三角形.

所以點P位于y軸上，且點P在橢圓上，所以點P的坐標為（0，b）或（0，-b）.

高考中的選擇題、填空題在數(shù)學(xué)學(xué)科中的比例較大，分值較高，在高考中占有舉足輕重的地位，其準確度和速度都直接影響高考成績，因此在沖刺階段很有必要加強一般性與特殊性、常規(guī)解法與特殊解法、分類討論與避免分類、有設(shè)必求與設(shè)而不求等數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用，強化對解答選擇題、填空題方法的指導(dǎo)，從而提高解答選擇題、填空題的得分率.因此解答選擇題、填空題審題是關(guān)鍵，審題這一關(guān)解決了，就可以保證解答既合理又準確，又可以為解決解答題提供足夠的思考時間，為取得優(yōu)異成績創(chuàng)造條件.

四、抓《考試說明》與信息研究，突出課本基礎(chǔ)知識、典型問題的再挖掘

《考試說明》是高考復(fù)習(xí)的指導(dǎo)性文件，復(fù)習(xí)效果的好差，很重要因素是對《考試說明》的研究是否透徹.近年各地高考試題基本上都貫徹“總體保持穩(wěn)定，深化能力立意、積極改革創(chuàng)新”的指導(dǎo)思想，兼顧教學(xué)基礎(chǔ)、方法、思維、應(yīng)用、潛能方面的考查，形成平穩(wěn)發(fā)展的穩(wěn)定格局.認真鉆研《考試說明》，吃透精神實質(zhì)，抓住考試內(nèi)容和能力要求，關(guān)注高中數(shù)學(xué)課程改革進程，吸取新課程中的新思想、新理念，使復(fù)習(xí)把握數(shù)學(xué)教育改革的發(fā)展方向，就能做到既有針對性又避免做無用功，既減輕學(xué)生負擔(dān)，又提高復(fù)習(xí)效益.同時應(yīng)及時了解考試中心，以及中學(xué)教學(xué)期刊、高考數(shù)學(xué)培訓(xùn)會議等有關(guān)最新動態(tài)，并結(jié)合教學(xué)實踐加以研究，從而轉(zhuǎn)化為課堂教學(xué)的具體內(nèi)容，使最后階段的復(fù)習(xí)有的放矢、事半功倍.

與此同時，要緊扣課本，要突出課本基礎(chǔ)知識的作用，突出課本例題中數(shù)學(xué)思想方法的挖掘和應(yīng)用，重視課本習(xí)題中潛在功能的挖掘與利用.課本知識是經(jīng)過幾代人集體智慧的智晶，具有很強的權(quán)威性、指導(dǎo)性，第一輪復(fù)習(xí)許多學(xué)生往往拋開課本，因而如何回歸課本，依“綱”、固“本”，挖掘課本問題的潛在功能，從不同角度借鑒考題的偏擬手法，對課本典型問題進行引伸、推廣、結(jié)合、發(fā)揮其應(yīng)有作用.

例4（2001年全國高考題）如圖3，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，

圖3

（Ⅰ）求四棱錐S-ABCD的體積；

（Ⅱ）求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值.

分析：這是一道底面為直角梯形，一側(cè)棱垂直底面的四棱錐問題，主要考查線面關(guān)系和棱錐體積的計算，以及空間想象能力和邏輯推理能力.只要抓住底面為直角梯形和一側(cè)棱垂直底面這兩個已知條件，問題就很容易解決了.

圖4

（Ⅱ）如圖4，延長BA、CD相交于點E，連接SE，則SE是所求二面角的棱.

因為AD∥BC，BC=2AD，

所以EA=AB=SA，所以SE⊥SB.

因為SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交線.

又BC⊥EB，所以BC⊥面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，所以CS⊥SE，所以∠BSC是所求二面角的平面角.

評析：本題的解決方法多樣，也可考慮利用建立空間坐標系解決.但筆者認為研究本題的解法并不重要，重要的是讓學(xué)生從本題問題中歸納得到“底面為直角梯形且一側(cè)棱垂直底面的四棱錐”的空間模型，而這類問題解題的關(guān)鍵是抓住底面為直角梯形和一側(cè)棱垂直底面這兩個已知條件.分析這種模型結(jié)合幾近年全國各地高考立幾試題，我們會發(fā)現(xiàn)以“底面為直角梯形且一側(cè)棱垂直底面的四棱錐”為空間模型的試題已成為高考的重?zé)狳c問題.而以本題為原型進行適當變式就得到下列一組高考試題.

例5（2011年福建卷理）如圖5，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，在四邊形ABCD中，

圖5

（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面PAD.

（Ⅱ）設(shè)AB=AP.

①若直線PB與平面PCD所成的角為30°，求線段AB的長；

②在線段AD上是否存在一個點G，使得點G到點P、B、C、D的距離都相等？說明理由.

例6（2011年北京卷理）如圖6，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°.

（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若PA=AB，求PB與AC所成角的余弦值；

（Ⅲ）當平面PBC與平面PDC垂直時，求PA的長.

圖6

圖7

（Ⅰ）異面直線AD與BC的距離；

（Ⅱ）二面角A-EC-B的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）.

通過以這種通過教材中一個典型問題的研究就得到一類問題的解決的做法就充分挖掘出教材習(xí)題的應(yīng)有作用，收到舉一反三的目的.

五、抓知識的整理與內(nèi)化、突出解決綜合性問題的解題思維方法

在平時學(xué)習(xí)過程中，知識往往是以條塊的形式出現(xiàn)，綜合性、條理性不夠且比較零亂，經(jīng)過一輪復(fù)習(xí)知識相對比較全面，特別對許多問題的理解更具有系統(tǒng)性和全面性，溝通了知識間的聯(lián)系.但由于復(fù)習(xí)往往更多是在教師的引導(dǎo)下進行的，而且知識間互相聯(lián)系、溝通相對較少，學(xué)生缺乏自主的深層次自我歸納與提煉，進入沖刺階段必須抓住對所學(xué)知識進行更全面、系統(tǒng)的歸類與內(nèi)化，真正理解知識內(nèi)涵，知識間的來龍去脈，形成處理問題的自我認知的意識與調(diào)控.通過整體構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，使知識生成為自我解決問題的思維框架，形成獨特的解題思維意識和品質(zhì)，為解決實際問題提供幫助.并在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生通過相同的題設(shè)，提不同的問題，解相同的題目，找不同的思路，變同一個問題，得不同的結(jié)論，讓思維展示多種想象空間，從中獲取熟練的應(yīng)用知識分析解決問題的能力，真正達到提高解決綜合性問題的能力.

比如，三角求值問題是三角知識考查的重點問題，但學(xué)生往往這方面掌握的不好，在沖刺階段復(fù)習(xí)中筆者選擇了以下典型實例與學(xué)生一起分析解決，并對解題方法進行總結(jié)，學(xué)生通過此例就能掌握此類問題的解法.

評析：涉及條件求值問題常從結(jié)論與條件之間角的關(guān)系思考分析，或從條件向所求值的代數(shù)式轉(zhuǎn)化，或?qū)λ笾档拇鷶?shù)式向條件轉(zhuǎn)化，通過變式、湊角，合理利用三角公式變形處理達到目的.

總之，高三沖刺階段復(fù)習(xí)對于提高復(fù)習(xí)效率起著決定性作用，要根據(jù)教學(xué)實際、學(xué)生實際、認真研究、采取對策，以保證每一節(jié)課都能有高效益.

1.鄭一平.沖刺階段如何提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效率［N］.中國青年報，2003-04-01.