☉湖北省武漢市第三寄宿中學(xué) 何亞琴

一道題，三節(jié)課
——筆者的習(xí)題教學(xué)課

☉湖北省武漢市第三寄宿中學(xué) 何亞琴

數(shù)學(xué)新課標(biāo)在原來的培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題能力的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力.我們數(shù)學(xué)教師如何將這種理念貫穿到我們平常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，是我們數(shù)學(xué)教師應(yīng)該深入思考和反思的.

近段時(shí)間筆者有意在培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力上做了一些有意義的嘗試，效果不錯(cuò)！這里筆者將一道幾何題的教學(xué)推進(jìn)過程呈現(xiàn)如下.

一、第一節(jié)課

圖1

圖2

圖3

例題如圖1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=BC.點(diǎn)E、F分別在邊AB、AC上，且AE=EF，點(diǎn)O、M分別為AF、CE的中點(diǎn)，判斷△MOB的形狀.

本題是在學(xué)習(xí)了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半后配套的練

習(xí)題，當(dāng)然解法也非常簡單，連接EO，在Rt△OEC和Rt△BEC中，直接運(yùn)用定理不難得出OM=BM，且∠BMO=90°，從而得到△BMO為等腰直角三角形.

如果我們在教學(xué)過程中僅僅滿足于學(xué)生會(huì)解題，以及怎么讓學(xué)生更快地了解一道題的解法，并不能達(dá)到我們新課標(biāo)提出的培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力，在教學(xué)過程中我們可以從最簡單的圖形變換開始入手.

在教學(xué)完以上習(xí)題后筆者對條件做了如下修改，把“點(diǎn)E、F分別在邊AB、AC上”改成了“點(diǎn)E、F分別在直線AB、AC上”，再追問學(xué)生，上述結(jié)論還成立嗎？

這個(gè)時(shí)候?qū)W生開始討論起來，有的學(xué)生說“可以”，有的學(xué)生說“不成立”，還有一部分學(xué)生在埋頭畫圖.很快有同學(xué)畫出圖2所示的圖形.

有學(xué)生說：“還有如圖3所示的圖形.”

這時(shí)有學(xué)生提出：“這兩個(gè)圖形只說明了一種情況，E、F兩點(diǎn)都在線段AB、AC的延長線上，是否會(huì)出現(xiàn)一個(gè)點(diǎn)在線段上另一個(gè)點(diǎn)在線段的延長線上呢？”

筆者及時(shí)肯定學(xué)生能夠提出這樣的問題，讓學(xué)生自己再畫圖說明此種情況是否成立？

當(dāng)然很明顯是不成立的！以上兩種情況證明方法類似于例題的圖形的證明.有了以上變換的經(jīng)驗(yàn)，有學(xué)生大膽提出了以下的問題：“其實(shí)這里可以去掉‘點(diǎn)E、F分別在邊AB、AC上，且AE=EF’和‘點(diǎn)O為AF的中點(diǎn)’這兩個(gè)條件.”這樣的提問讓很多學(xué)生馬上反駁起來：“這是不可能的！”此時(shí)提問的同學(xué)鎮(zhèn)定地說：“只要△AOE為等腰直角三角形就可以！”于是這個(gè)學(xué)生很快在黑板上畫出了圖形，如圖4.

通過畫出這個(gè)圖形，反駁的同學(xué)馬上心服口服，這個(gè)時(shí)候筆者極力肯定這位同學(xué)的豐富的想象力和嚴(yán)密的邏輯思維能力，以及看問題能看出其中的本質(zhì)內(nèi)容.

此時(shí)班上的研討氣氛已經(jīng)非常濃郁了，又有學(xué)生提出了更新的見解，他非常肯定地說：“老師！我發(fā)現(xiàn)了一個(gè)很重要的結(jié)論！”其他學(xué)生用期待的眼神望著他，他繼續(xù)說：“這里只要是兩個(gè)等腰直角三角形共一個(gè)銳角頂點(diǎn)，另一個(gè)銳角頂點(diǎn)的連線的中點(diǎn)和兩個(gè)三角形的直角頂點(diǎn)相連所得到的三角形都是等腰直角三角形！”于是他急急忙忙地跑上講臺(tái)在黑板上畫出如圖5~圖7所示的圖形.

圖4

圖5

圖6

圖7

如果真是這樣，這個(gè)結(jié)論怎么證明呢？筆者即時(shí)地啟發(fā)學(xué)生，很快就有學(xué)生用下面兩種方法進(jìn)行了證明.

解法一：（中線倍長法）延長BM到H使MH=BM，連接OH，EH，由△BMC≌△HME得到EH=BC且EH∥BC.而BC=BA，所以EH=BA.已知EO=OA，有∠HEO=360°-∠CEH-∠CEA-45°=315°-∠CEH-∠CEA.而五邊形BCEOA中，∠BAO=540°-∠BCE-（∠CEA+45°）-90°-90°＝315°-∠CEH-∠CEA，即∠HEO=∠BAO，也就是在此處構(gòu)造了等腰Rt△AOE和等腰Rt△BOH，所以可以得到△BAO≌△HEO，則OB=OH，∠BOA=∠EOA，M為BH的中點(diǎn)，所以△BMO為等腰直角三角形.

解法二：（中位線和斜邊上中線法）分別取AC和AE邊上的中點(diǎn)為G和H，連接MG，BG，MH，OH，根據(jù)中位線定理和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知，MG=OH，BG=MH，其中∠MGB=∠MGC+90°，∠MHO=∠MHE+90°.因?yàn)椤螹GC=∠GMH=∠MHE，所以∠MGB=∠MHO，因此△MGB≌△MHO.

由∠BMO=∠BMG+∠GMH+∠HMO=∠MOH+∠MHE+∠HMO=90°，得到MB=MO，MB⊥MO，所以△BMO為等腰直角三角形.

這兩種方法對于上述結(jié)論的所有變換后的圖形都可證明，但在解法一中證明∠HEO=∠BAO相等時(shí)有些微小的變化.筆者在學(xué)生證明之后適當(dāng)?shù)嘏浜现嗝襟w，利用幾何畫板軟件，很精彩地演示了在其中一個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)時(shí)，基本圖形變換出來的各種神奇的圖形，讓學(xué)生大開眼界.學(xué)生驚嘆數(shù)學(xué)的奇妙，解法的精妙！學(xué)生不僅嘗試了解決問題的快樂，還能品嘗到由大膽創(chuàng)新所帶來的感動(dòng)，這樣的教學(xué)使我們的數(shù)學(xué)教學(xué)站到了戰(zhàn)略性的制高點(diǎn)上！

一節(jié)課上到這個(gè)時(shí)候似乎已經(jīng)非常圓滿了，學(xué)生對“兩個(gè)等腰直角三角形共一個(gè)銳角頂點(diǎn)，另一個(gè)銳角頂點(diǎn)的連線的中點(diǎn)和兩個(gè)三角形的直角頂點(diǎn)相連所得到的三角形都是等腰直角三角形”深信不疑了，而且還對圖形進(jìn)行了變換，其實(shí)這個(gè)結(jié)論還有一個(gè)很重要的漏洞，學(xué)生沒有發(fā)現(xiàn)，筆者繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn).這個(gè)時(shí)候筆者用幾何畫板畫了如圖8所示的圖形.

在這個(gè)圖形里很明顯△BMO不是等腰直角三角形，隨著△ABC或者△AEO位置的變換，△BMO的形狀更是跟著變化.問題出在哪里呢？當(dāng)筆者把這個(gè)圖形演示給學(xué)生看時(shí)，教室里頓時(shí)炸開了鍋.這時(shí)下課鈴響.筆者故作神秘地跟學(xué)生告別，留下了懸疑！

課間操剛結(jié)束，就有學(xué)生興致勃勃地跑到筆者的辦公室，告訴筆者，他發(fā)現(xiàn)了其中的奧秘！并且他手里拿著一大一小兩個(gè)等腰直角三角板告訴筆者原因！秘密出在兩個(gè)等腰直角三角形的擺放方式不同.當(dāng)AO、AB重合為一條直線時(shí)，兩個(gè)三角形的直角如果處在這條直線的兩邊，則上述結(jié)論成立，否則不成立！學(xué)生還用手中的三角板進(jìn)行了比劃！

“這真是一個(gè)神奇的發(fā)現(xiàn)！”筆者由衷地贊嘆！并鼓勵(lì)他繼續(xù)探索，看還有沒有別的重大發(fā)現(xiàn)！

圖8

二、第二節(jié)課

第二天筆者繼續(xù)帶著電腦進(jìn)了教室，用幾何畫板作了兩種不同位置擺放的兩個(gè)等腰直角三角形，如圖9、圖10所示.

圖9

圖10

其實(shí)筆者在這里即時(shí)給學(xué)生埋下了一個(gè)伏筆：等到九年級時(shí)我們將研究此時(shí)結(jié)論不成立的那個(gè)圖形！它將會(huì)有自己獨(dú)特的結(jié)論.

教學(xué)到這一步，似乎已經(jīng)功德圓滿了吧.筆者話鋒一轉(zhuǎn)，提問：“能否把這里的兩個(gè)等腰直角三角形換成一般的直角三角形呢？如果換成一般的直角三角形，這兩個(gè)直角三角形之間必須有什么樣的聯(lián)系呢？”

小組開始了熱烈的討論.

當(dāng)小組上來展示討論成果時(shí)，讓自己對學(xué)生的能力刮目相看！

下面是學(xué)生代表在黑板上畫出的圖形，如圖11，他們小組討論的結(jié)果是：只要∠BAC=∠EAO=α，此時(shí)也要注意到兩個(gè)三角形擺放的方向性.這時(shí)△MBO是等腰三角形，BM= MO，∠BMO=180°-2α，只有當(dāng)α=45°時(shí)∠BMO=90°，也就是等腰直角三角形的情形.

另一個(gè)小組特別說明了為什么在這個(gè)圖形中不能用解法二來解答的原因.

還有一個(gè)小組展示了他們不同的圖形，在證明∠BGM=∠MHO時(shí)采用不同的證明方法，這節(jié)課學(xué)生的學(xué)習(xí)激情很高，爭先恐后地要求上來講解他們小組的討論結(jié)果，課堂氣氛異?；钴S！

三、第三節(jié)課

圖11

有了前面兩節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生對這個(gè)圖形已經(jīng)有了初步的了解，還不能做到隨時(shí)隨地從復(fù)雜圖形中分辨出來，所以這節(jié)課筆者安排了“練就火眼金睛”這個(gè)環(huán)節(jié).根據(jù)幾何畫板的功能筆者將這一基本圖形做了很多的變化，然后不加任何說明，打印了6個(gè)不同狀態(tài)下的圖形，并復(fù)印了人手一份，這里只有8個(gè)不同狀態(tài)下的圖形，條件結(jié)論都沒有，筆者將學(xué)生分成6個(gè)小組，每組一個(gè)圖形開始討論，給這個(gè)圖形什么樣的已知條件，得出什么結(jié)論！現(xiàn)在將幾個(gè)小組編寫的比較經(jīng)典的習(xí)題在這里展示一下，希望能起一個(gè)拋磚引玉的作用！

就圖12學(xué)生自編了以下幾個(gè)不同的習(xí)題：

1.在△AEC中，∠A=45°，ED、BC分別為AC、AE邊上的高.

（1）當(dāng)F為CE邊上的中點(diǎn)時(shí)，請判斷△DBF的形狀.

（2）當(dāng)△DBF為等腰直角三角形時(shí)，F(xiàn)是否為EC的中點(diǎn)？

2.D為等腰Rt△ABC的斜邊AC上一點(diǎn)，連接BD，過B點(diǎn)作∠DBF=45°，E為AB延長線上一點(diǎn)，且DE=AD，連接DF，請判斷△DBF的形狀.

3.ED、CB分別為△AEC中AC、AE邊上的高，F(xiàn)是否為EC的中點(diǎn)，連接DF，BF，且△DBF為等腰直角三角形，求∠A的大小.

圖12

圖13

針對圖13學(xué)生自編了以下幾道不同的習(xí)題：

1.D為等腰Rt△ABC的邊AB上的一點(diǎn)，過D點(diǎn)作DE⊥AB，并截取DE=AD，連接CE，∠ABC的平分線交CE于點(diǎn)F.

（1）求證：F為CE的中點(diǎn).（2）當(dāng)D點(diǎn)在AB上移動(dòng)時(shí)，∠FDB的度數(shù)是否發(fā)生變化？

2.直線AC：y=x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AH⊥AC，在AH上任取一點(diǎn)E，連接CE，取CE的中點(diǎn)F，當(dāng)E點(diǎn)在AH上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠FBC的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變，求出角的度數(shù)；若變化，求出變化的范圍.

有了以上三節(jié)課的教學(xué)，讀者試想一下，學(xué)生對此類問題還能不認(rèn)識(shí)嗎？而且整個(gè)過程中體現(xiàn)了學(xué)生獨(dú)立的動(dòng)手能力，培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，從簡單問題入手，層層推進(jìn)，推動(dòng)學(xué)生的思維能力，大力加強(qiáng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)！這樣的習(xí)題課學(xué)生瘋狂地?fù)磹壑?，正是這樣的數(shù)學(xué)教育，帶來了良好的教學(xué)效果！W