☉江蘇省常熟市滸浦高級中學(xué) 殷偉康

·江蘇省常熟市殷偉康名師工作室·

培育學(xué)生解題的六種意識突破向量問題的解題瓶頸

☉江蘇省常熟市滸浦高級中學(xué) 殷偉康

平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，是溝通代數(shù)、幾何、三角等內(nèi)容的橋梁，它具有極其豐富的實際意義和背景及廣泛的應(yīng)用.平面向量具有“數(shù)”與“形”雙重身份，兼具代數(shù)的嚴謹與幾何的直觀，銜接著數(shù)學(xué)中“地位不凡”的兩大板塊.鑒于平面向量內(nèi)容的上述特點，其深受命題者的青睞.近幾年江蘇省高考時常呈現(xiàn)“富有創(chuàng)意、獨具魅力、難度適中”的試題，成為高考試卷中的一大亮點.然而，許多學(xué)生即使到了高三對向量的學(xué)習(xí)還尚未真正入門，沒有形成有效的“向量解題意識”，遇到較靈活的向量問題就不知所措，思維就沒有了方向，導(dǎo)致解題時頻頻出錯.嚴世健教授認為：數(shù)學(xué)意識，是指人們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)應(yīng)用的過程中，逐漸形成的對數(shù)學(xué)的見解和看法.它包括感性階段和理性階段，它具有識別、指向和選擇的功能.筆者根據(jù)自己二十多年的教學(xué)實踐經(jīng)驗，探索出了從培育學(xué)生的“六種意識”入手，幫助學(xué)生形成“向量解題意識”，突破向量問題的解題“瓶頸”，取得了良好的教學(xué)效果.

一、基底意識：將未知化為已知，促使復(fù)雜問題有序化

例1（2014年高考江蘇第12題）如圖1，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8，AD=的值是________.

圖1

教師：為什么選取→作為一組基底呢？

教師：如何求解呢？

教師：解決本題的關(guān)鍵是什么？

學(xué)生3：科學(xué)合理地選擇基底，用基底來表示圖形中相關(guān)的向量（即用向量的線性關(guān)系描述幾何元素間的關(guān)系）.

教師：這種求解方法就是“基底化”方法，即“基底”意識.所謂“基底”意識，是指有預(yù)見性地、合理地選取基底，并用基底來表示圖形中的其他相關(guān)的向量，以實現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的一種思維方式.“基底”意識的本質(zhì)就是平面向量基本定理的靈活運用，難點是如何選取恰當(dāng)?shù)摹盎住币杂欣诤喕\算.

二、平方意識：把握向量的代數(shù)特征，實現(xiàn)向量運算數(shù)量化

例2（2013年蘇南四市第二次調(diào)研測試第12題）已知向量a、b滿足|b|=1，且對一切實數(shù)x，a+xb恒成立，則a與b的夾角大小為_________.

學(xué)生4：設(shè)a與b的夾角為θ，由|a+xb|2≥|a+b|2及|a|=cosθ-1≥0對一切實數(shù)x成立，整理得（x-1）cosθ≥1-x2，化簡得對一切實數(shù)x成立，此時y=-1-x的最小值不存在，下面不知如何求解？

教師：哪位同學(xué)來分析一下學(xué)生4的解法？

學(xué)生5：學(xué)生4的錯因是在進行變量分離時，沒有對字母x進行分類討論.

教師：為什么要對字母x進行分類討論呢？應(yīng)該如何合理討論呢？

學(xué)生5：因為不能確定x-1與0的大小關(guān)系，其影響不等式符號的變化，所以要對字母x進行分類討論.

教師：學(xué)生5的分析相當(dāng)?shù)轿?，運用變量分離法處理不等式恒成立問題時，首先應(yīng)該對有關(guān)變量進行分類討論.有無其他方法？

學(xué)生6：設(shè)a與b的夾角為θ，由|a+xb|2≥|a+b|2，得x2+對一切實數(shù)x成立，則Δ=

教師：有無其他解法？

圖2

教師：學(xué)生6運用“平方法”解題策略，把x2+cosθ-1≥0看作關(guān)于x的一元二次不等式對一切實數(shù)x恒成立，運用判別式Δ≤0求解即可；學(xué)生7運用數(shù)形結(jié)合思想，借助平面幾何知識進行求解，直觀快捷.上述解法中蘊含著怎樣的解題意識？

學(xué)生8：“圖形”意識，還有“平方”意識.

教師：很好！其中所謂“平方”意識，是指合理地運用向量中的重要等式a2=|a|2，將向量的模、向量的夾角和向量的數(shù)量積有機地聯(lián)系起來，即將向量問題迅速代數(shù)化，從而使向量問題迅速獲解的一種思維方式.因而在解向量題時要形成“遇模則平方”的意識.

三、建系意識：依據(jù)幾何特征合理建系，促使向量問題坐標化

例3（2014年南京市第二次高考模擬試卷第12題）在Rt△ABC中，CA=CB=2，M、N是斜邊AB上的兩個動點，則的取值范圍為__________.

學(xué)生9：可以通過建立直角坐標系進行求解.

教師：如何合理構(gòu)建坐標系？怎樣用坐標來表示點M、N？

學(xué)生9：根據(jù)所給三角形為直角三角形，以CA、CB所在直線分別為x、y軸，建立如圖3所示的平面直角坐標系，設(shè)M（x，y）（0≤x≤1），則x+ y=2?y=2-x，即M（x，2-x）.

教師：那么點N呢？

學(xué)生9：設(shè)N（x0，y0），由點N在線段AB：x+y=2上，且可以列出方程組，通過解此方程組，用M的坐標（x，y）來表示點N的坐標.

圖3

教師：上述解題方法稱之為“坐標法”.所謂“建系”意識，是指通過建立直角坐標系，將向量改用坐標來表示，使研究對象有簡潔的代數(shù)表達式，將向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來處理的一種思維方式.“坐標法”是解決向量問題的一條重要途徑，依據(jù)所給條件中的正方形、矩形、直角三角形、等邊三角形或直角梯形等圖形，容易想到建立直角坐標系.其優(yōu)點是思維方式比較“固定”，容易掌握，關(guān)鍵是合理地建立直角坐標系，準確算出關(guān)鍵點的坐標.所以當(dāng)用別的方法難以奏效時，不妨用“坐標法”來嘗試一下.

四、圖形意識：靈活建構(gòu)平面圖形，凸顯向量問題直觀化

例4（2011年蘇南四市第二次調(diào)研測試第12題）平面內(nèi)兩個非零向量α、β滿足|β|=1，且α與β-α的夾角為135°，則|α|的取值范圍是________.

學(xué)生11：老師，我是這樣想的，由β-α聯(lián)想到平面向量的減法法則，構(gòu)造三角形，進行求解.設(shè)與β-α的夾角為135°，得∠OAB=45°（如圖4）.在△AOB中，僅知其一個內(nèi)角∠OAB及對邊OB，不知如何確定OA的取值范圍.

教師：對于三角形中邊與角的問題，我們常用什么方法來處理？

圖4

學(xué)生12：正弦定理與余弦定理.

教師：這時用哪個定理比較適宜？

教師：現(xiàn)在解題的關(guān)鍵是什么？

學(xué)生12：確定∠OBA的取值范圍.由∠OAB=45°可知0°＜∠OBA＜135°，則0＜sin∠OBA≤1，所以0＜OA即

教師：很好！通過構(gòu)造三角形，將平面向量問題轉(zhuǎn)化為平面幾何模型問題，憑借解三角形知識獲得輕松的解法.能否受此啟發(fā)，作進一步的探究呢？

圖5

教師：其實學(xué)生13是抓住定線段的張角是定值的動點軌跡，它是以該線段為弦的一段圓弧，根據(jù)問題所給信息，通過數(shù)形聯(lián)想，挖掘其平面幾何背景，進行圖形表征，利用轉(zhuǎn)化思想，巧妙地解決了平面向量問題.這種解法中蘊含著怎樣的解題意識？

學(xué)生14：“圖形”意識.

教師：所謂“圖形”意識，是指能主動挖掘向量問題的幾何背景，構(gòu)造圖形（三角形、平行四邊形、圓等），用“形”解題的一種思維方式.這種解題方法稱之為“幾何法”，即圖形化策略，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.運用圖形意識，將向量問題置于適當(dāng)?shù)膸缀伪尘爸?，各種數(shù)量關(guān)系在圖形中簡單明了，就能夠使抽象的向量問題直觀化，實現(xiàn)快速解題之目的.

五、引參意識：引進適當(dāng)?shù)膮?shù)，促使向量問題簡單化

例5已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC= 90°，AD=2，BC=1，P是線段DC上的動點，則P→→A+3P→→B的最小值為______.

圖6

學(xué)生15：由“建系”解題意識可知建立如圖6所示的坐標系，則A（2，0）.設(shè)P（0，y），則P→→A=（2，-y），但是不知怎樣用坐標來表示

教師：誰來幫學(xué)生15解決這一困惑？

教師：有無異議？

學(xué)生17：不嚴謹，其中P（0，y）中的y要滿足0≤y≤h，取得最小值5.

教師：補充得很好！上述解法中蘊含著怎樣的解題意識？

學(xué)生18：“建系”意識和“引參”意識.

教師：所謂“引參”意識，是指在研究向量問題時，引入適當(dāng)?shù)膮?shù)，為向量問題的順利解決鋪路搭橋的一種思維方式.適當(dāng)?shù)亟⒆鴺讼岛鸵雲(yún)?shù)，使所要研究的向量有簡潔的代數(shù)表達式.

六、“點積”意識：適當(dāng)進行數(shù)量積運算，促使向量問題代數(shù)化

例6（2009年高考安徽卷理科第14題）給定兩個長度為1的平面向量它們的夾角為120°，如圖7，點C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動，若其中x、y∈ R，則x+y的最大值是________.

圖7

學(xué)生19：將向量式O→→C=xO→→A+yO→→B數(shù)量化，目標是要建立x+y的對應(yīng)函數(shù)式.

教師：如何實現(xiàn)目標呢？

教師：這種處理方法，就是“點積”法.所謂“點積”意識，就是在一個含有向量關(guān)系的等式兩邊同時“點積”一個適當(dāng)?shù)姆橇阆蛄?，把有關(guān)向量關(guān)系的等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，實現(xiàn)化簡之目的的一種思維方式.

教師：有無其他解法？

總之，在平面向量復(fù)習(xí)課中，教師要強化培育學(xué)生的“六種向量解題意識”，達到“授之以漁”的目的，并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)提煉其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生進一步理解和把握變量分離法、數(shù)形結(jié)合方法（基于幾何表示的幾何法，基于坐標表示的代數(shù)法）、方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想方法的實質(zhì)，積累解題經(jīng)驗，形成“向量思想”，發(fā)展思維能力.

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