☉江蘇省常熟市滸浦高級中學(xué) 殷偉康
·江蘇省常熟市殷偉康名師工作室·
培育學(xué)生解題的六種意識突破向量問題的解題瓶頸
☉江蘇省常熟市滸浦高級中學(xué) 殷偉康
平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,是溝通代數(shù)、幾何、三角等內(nèi)容的橋梁,它具有極其豐富的實際意義和背景及廣泛的應(yīng)用.平面向量具有“數(shù)”與“形”雙重身份,兼具代數(shù)的嚴謹與幾何的直觀,銜接著數(shù)學(xué)中“地位不凡”的兩大板塊.鑒于平面向量內(nèi)容的上述特點,其深受命題者的青睞.近幾年江蘇省高考時常呈現(xiàn)“富有創(chuàng)意、獨具魅力、難度適中”的試題,成為高考試卷中的一大亮點.然而,許多學(xué)生即使到了高三對向量的學(xué)習(xí)還尚未真正入門,沒有形成有效的“向量解題意識”,遇到較靈活的向量問題就不知所措,思維就沒有了方向,導(dǎo)致解題時頻頻出錯.嚴世健教授認為:數(shù)學(xué)意識,是指人們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)應(yīng)用的過程中,逐漸形成的對數(shù)學(xué)的見解和看法.它包括感性階段和理性階段,它具有識別、指向和選擇的功能.筆者根據(jù)自己二十多年的教學(xué)實踐經(jīng)驗,探索出了從培育學(xué)生的“六種意識”入手,幫助學(xué)生形成“向量解題意識”,突破向量問題的解題“瓶頸”,取得了良好的教學(xué)效果.
例1(2014年高考江蘇第12題)如圖1,在平行四邊形ABCD中,已知AB=8,AD=的值是________.
圖1
教師:為什么選取→作為一組基底呢?
教師:如何求解呢?
教師:解決本題的關(guān)鍵是什么?
學(xué)生3:科學(xué)合理地選擇基底,用基底來表示圖形中相關(guān)的向量(即用向量的線性關(guān)系描述幾何元素間的關(guān)系).
教師:這種求解方法就是“基底化”方法,即“基底”意識.所謂“基底”意識,是指有預(yù)見性地、合理地選取基底,并用基底來表示圖形中的其他相關(guān)的向量,以實現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的一種思維方式.“基底”意識的本質(zhì)就是平面向量基本定理的靈活運用,難點是如何選取恰當(dāng)?shù)摹盎住币杂欣诤喕\算.
例2(2013年蘇南四市第二次調(diào)研測試第12題)已知向量a、b滿足|b|=1,且對一切實數(shù)x,a+xb恒成立,則a與b的夾角大小為_________.
學(xué)生4:設(shè)a與b的夾角為θ,由|a+xb|2≥|a+b|2及|a|=cosθ-1≥0對一切實數(shù)x成立,整理得(x-1)cosθ≥1-x2,化簡得對一切實數(shù)x成立,此時y=-1-x的最小值不存在,下面不知如何求解?
教師:哪位同學(xué)來分析一下學(xué)生4的解法?
學(xué)生5:學(xué)生4的錯因是在進行變量分離時,沒有對字母x進行分類討論.
教師:為什么要對字母x進行分類討論呢?應(yīng)該如何合理討論呢?
學(xué)生5:因為不能確定x-1與0的大小關(guān)系,其影響不等式符號的變化,所以要對字母x進行分類討論.
教師:學(xué)生5的分析相當(dāng)?shù)轿?,運用變量分離法處理不等式恒成立問題時,首先應(yīng)該對有關(guān)變量進行分類討論.有無其他方法?
學(xué)生6:設(shè)a與b的夾角為θ,由|a+xb|2≥|a+b|2,得x2+對一切實數(shù)x成立,則Δ=
教師:有無其他解法?
圖2
教師:學(xué)生6運用“平方法”解題策略,把x2+cosθ-1≥0看作關(guān)于x的一元二次不等式對一切實數(shù)x恒成立,運用判別式Δ≤0求解即可;學(xué)生7運用數(shù)形結(jié)合思想,借助平面幾何知識進行求解,直觀快捷.上述解法中蘊含著怎樣的解題意識?
學(xué)生8:“圖形”意識,還有“平方”意識.
教師:很好!其中所謂“平方”意識,是指合理地運用向量中的重要等式a2=|a|2,將向量的模、向量的夾角和向量的數(shù)量積有機地聯(lián)系起來,即將向量問題迅速代數(shù)化,從而使向量問題迅速獲解的一種思維方式.因而在解向量題時要形成“遇模則平方”的意識.
例3(2014年南京市第二次高考模擬試卷第12題)在Rt△ABC中,CA=CB=2,M、N是斜邊AB上的兩個動點,則的取值范圍為__________.
學(xué)生9:可以通過建立直角坐標系進行求解.
教師:如何合理構(gòu)建坐標系?怎樣用坐標來表示點M、N?
學(xué)生9:根據(jù)所給三角形為直角三角形,以CA、CB所在直線分別為x、y軸,建立如圖3所示的平面直角坐標系,設(shè)M(x,y)(0≤x≤1),則x+ y=2?y=2-x,即M(x,2-x).
教師:那么點N呢?
學(xué)生9:設(shè)N(x0,y0),由點N在線段AB:x+y=2上,且可以列出方程組,通過解此方程組,用M的坐標(x,y)來表示點N的坐標.
圖3
教師:上述解題方法稱之為“坐標法”.所謂“建系”意識,是指通過建立直角坐標系,將向量改用坐標來表示,使研究對象有簡潔的代數(shù)表達式,將向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來處理的一種思維方式.“坐標法”是解決向量問題的一條重要途徑,依據(jù)所給條件中的正方形、矩形、直角三角形、等邊三角形或直角梯形等圖形,容易想到建立直角坐標系.其優(yōu)點是思維方式比較“固定”,容易掌握,關(guān)鍵是合理地建立直角坐標系,準確算出關(guān)鍵點的坐標.所以當(dāng)用別的方法難以奏效時,不妨用“坐標法”來嘗試一下.
例4(2011年蘇南四市第二次調(diào)研測試第12題)平面內(nèi)兩個非零向量α、β滿足|β|=1,且α與β-α的夾角為135°,則|α|的取值范圍是________.
學(xué)生11:老師,我是這樣想的,由β-α聯(lián)想到平面向量的減法法則,構(gòu)造三角形,進行求解.設(shè)與β-α的夾角為135°,得∠OAB=45°(如圖4).在△AOB中,僅知其一個內(nèi)角∠OAB及對邊OB,不知如何確定OA的取值范圍.
教師:對于三角形中邊與角的問題,我們常用什么方法來處理?
圖4
學(xué)生12:正弦定理與余弦定理.
教師:這時用哪個定理比較適宜?
教師:現(xiàn)在解題的關(guān)鍵是什么?
學(xué)生12:確定∠OBA的取值范圍.由∠OAB=45°可知0°<∠OBA<135°,則0<sin∠OBA≤1,所以0<OA即
教師:很好!通過構(gòu)造三角形,將平面向量問題轉(zhuǎn)化為平面幾何模型問題,憑借解三角形知識獲得輕松的解法.能否受此啟發(fā),作進一步的探究呢?
圖5
教師:其實學(xué)生13是抓住定線段的張角是定值的動點軌跡,它是以該線段為弦的一段圓弧,根據(jù)問題所給信息,通過數(shù)形聯(lián)想,挖掘其平面幾何背景,進行圖形表征,利用轉(zhuǎn)化思想,巧妙地解決了平面向量問題.這種解法中蘊含著怎樣的解題意識?
學(xué)生14:“圖形”意識.
教師:所謂“圖形”意識,是指能主動挖掘向量問題的幾何背景,構(gòu)造圖形(三角形、平行四邊形、圓等),用“形”解題的一種思維方式.這種解題方法稱之為“幾何法”,即圖形化策略,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.運用圖形意識,將向量問題置于適當(dāng)?shù)膸缀伪尘爸?,各種數(shù)量關(guān)系在圖形中簡單明了,就能夠使抽象的向量問題直觀化,實現(xiàn)快速解題之目的.
例5已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC= 90°,AD=2,BC=1,P是線段DC上的動點,則P→→A+3P→→B的最小值為______.
圖6
學(xué)生15:由“建系”解題意識可知建立如圖6所示的坐標系,則A(2,0).設(shè)P(0,y),則P→→A=(2,-y),但是不知怎樣用坐標來表示
教師:誰來幫學(xué)生15解決這一困惑?
教師:有無異議?
學(xué)生17:不嚴謹,其中P(0,y)中的y要滿足0≤y≤h,取得最小值5.
教師:補充得很好!上述解法中蘊含著怎樣的解題意識?
學(xué)生18:“建系”意識和“引參”意識.
教師:所謂“引參”意識,是指在研究向量問題時,引入適當(dāng)?shù)膮?shù),為向量問題的順利解決鋪路搭橋的一種思維方式.適當(dāng)?shù)亟⒆鴺讼岛鸵雲(yún)?shù),使所要研究的向量有簡潔的代數(shù)表達式.
例6(2009年高考安徽卷理科第14題)給定兩個長度為1的平面向量它們的夾角為120°,如圖7,點C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動,若其中x、y∈ R,則x+y的最大值是________.
圖7
學(xué)生19:將向量式O→→C=xO→→A+yO→→B數(shù)量化,目標是要建立x+y的對應(yīng)函數(shù)式.
教師:如何實現(xiàn)目標呢?
教師:這種處理方法,就是“點積”法.所謂“點積”意識,就是在一個含有向量關(guān)系的等式兩邊同時“點積”一個適當(dāng)?shù)姆橇阆蛄?,把有關(guān)向量關(guān)系的等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程,實現(xiàn)化簡之目的的一種思維方式.
教師:有無其他解法?
總之,在平面向量復(fù)習(xí)課中,教師要強化培育學(xué)生的“六種向量解題意識”,達到“授之以漁”的目的,并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)提煉其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法,讓學(xué)生進一步理解和把握變量分離法、數(shù)形結(jié)合方法(基于幾何表示的幾何法,基于坐標表示的代數(shù)法)、方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想方法的實質(zhì),積累解題經(jīng)驗,形成“向量思想”,發(fā)展思維能力.
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