劉雅倩，郝振潔，孫愛(ài)麗

(軍事交通學(xué)院軍事物流系，天津300161)

滯回非線性是一類常見(jiàn)的系統(tǒng)非線性特性，大量存在于土木工程、電力工程、自動(dòng)控制、光學(xué)儀器工程等多個(gè)領(lǐng)域中。滯回非線性系統(tǒng)具有記憶性、分支不光滑性、多值性等特性，但會(huì)隨具體對(duì)象不同而表現(xiàn)出極大的差異性。目前，最具影響力的模型有以Preisach［1］為代表的積分模型，以Bouc-Wen［2］、Duhem［3］等為代表的微分模型，以及以Davidenkov［4］等為代表的非線性分支模型等。其中，Bouc-Wen模型是一種通用性較強(qiáng)的微分模型，具有參數(shù)易于識(shí)別的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)各種光滑的滯回曲線都能較好地近似描述，所以，在理論和工程上都得到了廣泛的應(yīng)用［5－6］。但是，目前對(duì) Bouc-Wen滯回非線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究都是通過(guò)數(shù)值仿真觀察其動(dòng)力學(xué)行為，實(shí)驗(yàn)研究其動(dòng)力學(xué)行為還比較少。本文以Bouc-Wen滯回模型為例，對(duì)此系統(tǒng)進(jìn)行電路實(shí)驗(yàn)研究，使其與數(shù)值仿真結(jié)果相一致，并對(duì)其動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行分析。

1 Bouc-Wen模型

1967年，Bouc對(duì)簡(jiǎn)單的彈簧—質(zhì)量系統(tǒng)的滯回力提出了一個(gè)模型，后來(lái)Wen等人將該模型一般化，得到了能概括一類光滑恢復(fù)力特點(diǎn)的滯回位移微分方程，即著名的 Bouc-Wen模型［7］，其數(shù)學(xué)微分方程為

式中:x、˙x、¨x分別為系統(tǒng)的位移、速度和加速度;u(t)為外界激勵(lì);z為Bouc-Wen滯回非線性恢復(fù)力;A、n、α和β均為影響系統(tǒng)的滯回常數(shù);ξ、ω分別為自由振動(dòng)阻尼比及系統(tǒng)的固有頻率;γ為常數(shù)。

該模型滯回曲線的大小和形狀由A、α、β和n決定。A越大，滯回曲線飽和值越大。當(dāng)α/β的值較大時(shí)，系統(tǒng)滯回曲線包含的面積較大，曲線形狀較飽滿;當(dāng)α/β的值較小時(shí)，系統(tǒng)滯回曲線包含的面積較小，曲線形狀較瘦小。參數(shù)n影響滯回非線性曲線的光滑度，n較小時(shí)，曲線比較光滑，當(dāng)n→∞時(shí)，模型退化為雙線性滯回模型。調(diào)節(jié)這些參數(shù)，就可以得到不同形狀的滯回環(huán)。對(duì)于Bouc-Wen滯回系統(tǒng)的數(shù)值仿真結(jié)果，各國(guó)學(xué)者已經(jīng)做了大量研究，本文不再詳述。

2 電路設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

2.1 仿真模型

本文選擇在Multisim10.0環(huán)境下，進(jìn)行 Bouc-Wen滯回系統(tǒng)的電路仿真。用具有同樣功能的模擬運(yùn)算電路代替Bouc-Wen微分方程(1)(2)中的數(shù)學(xué)運(yùn)算，其中運(yùn)算放大器采用LM741，模擬乘法器采用AD633。得到的電路仿真原理如圖1所示。

圖1 Bouc-Wen滯回系統(tǒng)仿真電路

圖中，U1、U4為反相加法器模塊，U2、U5、U7為反相積分器模塊，U3、U6、U8為反相器模塊，U9、U10、U11、U12為絕對(duì)值模塊。系統(tǒng)的電路方程為

式中:C1、C2、C3為電路中的電容;B為外激勵(lì)幅值;p 為外激頻率;R1、R2、R3、R4、R5、R18、R19、R20、R22、R26為電路中的電阻;y為中間變量。

在電路圖中，R1、R2、R3為滑動(dòng)變阻器，通過(guò)改變3個(gè)滑動(dòng)變阻器的阻值，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的A、α、β三個(gè)滯回因子可調(diào)，以此來(lái)改變滯回曲線的形狀，得到不同參數(shù)下的滯回曲線。

2.2 仿真分析

(1)通過(guò)調(diào)節(jié)R1、R2、R3三個(gè)滑動(dòng)變阻器的阻值，令 α =0.5，β =0.5，A=1;當(dāng) n=1、2、3 時(shí)，對(duì)電路進(jìn)行仿真并對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行保存，使結(jié)果在Matlab中輸出(如圖2所示)。

(2)令n=1，A=1，調(diào)節(jié)對(duì)應(yīng)的滑動(dòng)變阻器，觀察當(dāng)α和β變化時(shí)，對(duì)系統(tǒng)滯回曲線的影響，滯回曲線如圖3所示。

圖2 n=1、2、3 時(shí)的滯回曲線

圖3 α和β變化時(shí)的滯回曲線

通過(guò)改變Bouc-Wen模擬電路仿真參數(shù)，得到了不同形狀的滯回曲線，這些結(jié)果與文獻(xiàn)［2］數(shù)值仿真結(jié)果是一致的，驗(yàn)證了該模擬電路的正確性。最后，為了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證仿真結(jié)果，參照該電路圖生成了PCB板，制作完成了實(shí)物電路板。

3 實(shí)際電路系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)

3.1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

本實(shí)驗(yàn)利用帶有PCMCIA插槽的筆記本電腦、DAQP－308 PCMCIA總線數(shù)據(jù)采集卡以及DASYLab上位機(jī)軟件，組成了一套便攜的信號(hào)采集分析系統(tǒng)，利用該系統(tǒng)對(duì)Bouc-Wen滯回電路板進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析。外接激勵(lì)使Bouc-Wen滯回電路輸出電壓信號(hào)，通過(guò)PCMCIA數(shù)據(jù)采集卡 A/D、D/A轉(zhuǎn)換，經(jīng)過(guò)PCMCIA接口，輸出到上位機(jī)，可以觀察波形圖和相圖，同時(shí)上位機(jī)也可發(fā)出一個(gè)信號(hào)通過(guò)數(shù)據(jù)采集卡來(lái)控制電路板的輸出。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

(1)調(diào)節(jié)實(shí)驗(yàn)板中對(duì)應(yīng)的滑動(dòng)變阻器，使α=0.5，β =0.5，當(dāng) n=1、2、3 時(shí)，對(duì) Bouc-Wen 電路系統(tǒng)分別進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，觀察系統(tǒng)滯回曲線的變化。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。

圖4 n變化時(shí)Bouc-Wen電路系統(tǒng)的滯回曲線

(2)令 n=1，調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器改變 α、β的值，觀察系統(tǒng)滯回曲線的變化。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。

圖5 α和β變化時(shí)Bouc-Wen電路系統(tǒng)的滯回曲線

從以上對(duì)Bouc-Wen滯回電路進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的結(jié)果發(fā)現(xiàn):n控制著滯回曲線的頂端寬度，n越大，頂端寬度越大。當(dāng)α/β的比值比較大時(shí)，系統(tǒng)滯回曲線包含的面積就越大，曲線形狀較肥大;當(dāng)α/β的比值比較小時(shí)，系統(tǒng)滯回曲線包含的面積較小，曲線形狀較瘦小。該實(shí)驗(yàn)結(jié)果與文獻(xiàn)［2］數(shù)值仿真結(jié)果是一致的。由此驗(yàn)證了Bouc-Wen滯回電路板的正確性。

4 結(jié)語(yǔ)

利用動(dòng)力學(xué)電路模擬原理，將Bouc-Wen非線性動(dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)化成電路模型，并制成實(shí)物電路板，利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)對(duì)電路進(jìn)行調(diào)試，使電路板輸出正確的波形和相圖。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證Bouc-Wen滯回系統(tǒng)電路板的技術(shù)狀態(tài)與功能的正確性，也為今后滯回系統(tǒng)的研究提供了一種新的實(shí)驗(yàn)方法。

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