李樹臣

如何提高數(shù)學教學質量的問題是一個非常復雜的系統(tǒng)工程，這既是理論研究問題，也是一個實踐問題；既有認識方面的問題，更有操作層面的問題.課堂是師生共同完成教學任務的主陣地，如何設計數(shù)學課堂，才能不斷提高課堂教學效益呢？

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標（2011年版）》指出“數(shù)學教學活動，特別是課堂教學應激發(fā)學生興趣，調動學生積極性，引發(fā)學生的數(shù)學思考，鼓勵學生的創(chuàng)造性思維；要注重培養(yǎng)學生良好的數(shù)學學習習慣，使學生掌握恰當?shù)臄?shù)學學習方法.”這便是指導我們進行教學研究、教學改革的“總方針”.筆者在認真研讀上述要求的基礎上，結合自己的教學實踐，認為教師在設計數(shù)學課堂時，應重點在以下幾個方面下功夫：

1激發(fā)學生的學習興趣

古人云：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者.”愛因斯坦有句至理名言：“興趣是最好的老師.”數(shù)學家陳省身曾經說“數(shù)學好玩.”這些至理名言都說明一個道理，數(shù)學教學必須把培養(yǎng)學生的學習興趣放在首位.有興趣的學習活動，一定會大大提高學習效率.我們經常聽到老師抱怨學生不愿意學數(shù)學的“聲音”，其根本原因在于教師沒有引發(fā)起學生對數(shù)學的學習興趣.教師應在研究教材與學生的基礎上，對教學內容進行“二次加工”，結合具體內容創(chuàng)設能激發(fā)學生學習興趣的教學情境，有效地調動學生主動參與教學活動，使其學習的內部動機從好奇逐步升華為興趣、志趣、理想以及自我價值的實現(xiàn).

案例1你能判斷嗎？

學生在學習證明前，已經利用觀察、實驗、歸納和類比等方法通過合情推理得到過一些數(shù)學命題，但用這些方法得到的命題不一定都是真命題.為此，可讓學生觀察兩條線段是否平行？圖兩個粗線黑框是正方形嗎？

這樣引入，學生非常感興趣，他們觀察后，積極發(fā)表自己的觀察結果.由于受背景的干擾，常常會產生錯覺，得到錯誤的判斷.

事實上，兩條線段是平行的，但由于背景的干擾，許多同學往往認為它們是不平行的.兩個粗線黑框實際上都是正方形，由于背景線條的干擾，很可能會產生變形的錯覺.

在學生議論、交流的過程中，教師適時總結：

我們通過合情推理得到的結果，有些是正確的，有些不一定正確.要確定命題的正確性，還需要一步一步有根據(jù)地說明理由，通過推理的方法加以證實.在數(shù)學學習中，要拋棄直覺的偏見，需要敏銳的觀察和科學的思維.只有擯棄“想當然”，才能識別假象.從而輕松愉快地引入學習課題——為什么要證明.

2引發(fā)學生進行積極的數(shù)學思考活動

《課標（2011年版）》非常重視對學生進行數(shù)學思考教育，在“總目標”中指出，要讓學生學會“運用數(shù)學的思維方式進行思考，增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.”數(shù)學思考是數(shù)學教學中最有價值的行為，無論是題型模仿，類型強化，還是技能操練都離不開數(shù)學思考.因為學生只有通過數(shù)學思考才能發(fā)現(xiàn)問題，進而提出問題、分析問題和解決問題；只有通過數(shù)學思考，學生才能真正感悟到數(shù)學的本質，從而在創(chuàng)新意識上得到發(fā)展.

案例2你能找到2015的坐標嗎？

將自然數(shù)按圖3中的規(guī)則，每個自然數(shù)都對應一個坐標，如數(shù)3對應的坐標是（1，1）.則數(shù)2015對應的坐標是.

圖3析解此題主要考查學生通過觀察、思考、探究、發(fā)現(xiàn)有關規(guī)律的能力.經過思考可以發(fā)現(xiàn)許多規(guī)律：如奇數(shù)的平方都在第四象限的角平分線上，而且在每個數(shù)所在的邊上，它的左邊的數(shù)的個數(shù)（包括本身）等于這個奇數(shù).由此，我們找出數(shù)2015所對應的坐標.因為452=2025，所以2025的坐標是（22，-22）.2015=2025-10，所以2015的坐標是（22-10，-22），即（12，-22）.

讓學生學會思考的重要性不亞于學會知識本身.這種“運用數(shù)學的思維方式進行”的思考實質上就是“數(shù)學方式的理性思維”.它有豐富的內涵，包括形象思維、邏輯思維和辯證思維，包括合情推理和演繹推理，等等.教學中讓學生學會思考，就能形成用數(shù)學的眼光看世界，從數(shù)學的角度去分析問題的素養(yǎng)，這種基本的素養(yǎng)能使學生終生受益.

3引導學生進行探究發(fā)現(xiàn)活動

《課標（2011年版）》指出：“學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程.認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學習數(shù)學的重要方式.學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程.”數(shù)學學習本身就是一個師生共同參與探究的過程，對于定理、性質、運算律、公式等知識的學習，教師應從學生已有的認知發(fā)展水平和已有的經驗出發(fā)，遵循“由特殊到一般”的規(guī)律，結合具體的學習內容，精心設計一系列的問題，引導學生圍繞這些問題進行實驗、觀察、分析、綜合、計算、推理、判斷等數(shù)學活動，在活動的過程中自主發(fā)現(xiàn)知識，從而得到有關的結論.

案例3平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）的探究發(fā)現(xiàn)過程.

首先引導學生取一張硬紙片，剪一個邊長為a的正方形，并且在上面剪去一個邊長為b的小正方形（a>b），如圖4所示.然后讓學生思考并回答下面的問題：

（1）剩下部分（陰影部分）的面積為；

（2）把剩下的部分（陰影部分）沿著虛線剪開，用這兩部分能拼成一個什么樣的圖形？

（3）計算出拼成的圖形的面積是；

（4）由此你能得到一個什么公式：.

圖4圖5學生對問題（1）很容易得到陰影部分的面積為a2-b2.（2）通過嘗試拼成如圖5所示的梯形.（3）根據(jù)梯形面積公式，得到12（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）.（4）a2-b2=（a+b）（a-b）.

學生在動手、操作、計算、比較等一系列數(shù)學活動的過程中，不僅能通過獨立探究得到平方差公式，還能體驗到問題到結論和方法之間的精彩過程，感悟數(shù)形結合思想的“魅力”.最重要的是學生通過經歷這樣的探究活動，能逐漸形成用數(shù)學思想和方法去觀察、分析、發(fā)現(xiàn)、猜想數(shù)學結論的良好習慣，理解和領悟數(shù)學知識的實質.

學習數(shù)學的最好方法是做數(shù)學.因為學生在經歷有關數(shù)學活動過程的同時，不僅能通過探究發(fā)現(xiàn)有關的數(shù)學知識，從中領悟到這些知識的形成過程，增強學習的主動性，而且還能發(fā)展其合情推理能力和初步的演繹推理能力，有條理地、清晰地闡述自己的觀點.

4鼓勵學生充分發(fā)表自己的見解

課堂教學中，提問學生是常有的事情，主要目的是檢驗學生對所學知識的理解和掌握情況，以便于更有效地進行課堂教學.對于提問，大多數(shù)教師希望學生的回答是“標準”的，不愿意出現(xiàn)錯的答案，特別是各種公開課和講課比賽中，執(zhí)教教師最不愿讓同行們看到學生的回答出現(xiàn)任何問題.常見的情況是，如果學生回答錯了，教師采取的辦法就是快讓學生坐下，以免讓同行“見笑”，從而懷疑自己的“水平”.很少有讓學生說說自己為什么是這樣回答的，事實上，這是一個幫助學生理解并掌握所學知識的好機會，可就是這樣一個“難得”的機會卻被大部分教師白白的放棄掉了.劉堅教授曾反復強調，在數(shù)學教學中一定要給學生充分表達、呈現(xiàn)自己想法與困惑的機會，特別是出現(xiàn)不“標準”或不正確的解答時，更應該如此.他舉過下面的一個例子：

案例4“（-3）×（-4）等于多少？”（片段）

老師講完有理數(shù)運算法則后問：“（-3）×（-4）等于多少？”

一個學生說：“等于9.”

師：“好的，請坐.”

另一個學生說：“等于12.”

老師說回答很好.

這是一個非常簡單的問題，在引導學生學習完有理數(shù)的乘法法則后，絕大部分學生都能得到正確答案.這個問題的價值不在于學生回答正確與否，而表現(xiàn)在下面的跟蹤調查：

課后調查第一個學生為什么會得出9，讓他說說是怎么做的.

該學生說，先從數(shù)軸上找到-3這個點，從此出發(fā)，向相反方向移動4次，每次3個單位，也就是4個3，于是得到9.

“多么好的數(shù)學思維，盡管結果是錯的.然而，因為結果是錯的，學生往往就沒有機會表達自己的想法.而另一個學生按規(guī)則做，做對了，就可以得到表揚，這會鼓勵怎樣的學習文化？”

劉堅教授引述著名數(shù)學家、數(shù)學教育家波利亞的話說：“教師在課堂上講什么當然是重要的，然而學生想的是什么則更加千百倍的重要.”《課標2011年版》指出，在教師實施教學方案的過程中“師生雙方往往會‘生成一些新的教學資源，這就需要教師能夠及時把握，因勢利導，適時調整方案，使教學活動收到更好的效果.”這些生成資源包含“正”“反”兩個方面，教師不僅要重視正面的資源，更要重視對所謂“反”面資源的利用.

5引導學生關注四個重要過程

《課標2011年版》指出“教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程.”數(shù)學教學必須讓學生參加活動，經歷過程.我們所說的“過程”主要包括兩個方面：一是發(fā)現(xiàn)實際問題中的數(shù)學成分，并對這些成分做符號化處理，把一個實際問題轉化為數(shù)學問題.這是一個“數(shù)學化”過程；二是在數(shù)學范疇內對已經符號化了的問題作進一步抽象化處理.從符號一直到嘗試建立、處理和使用不同的數(shù)學模型，發(fā)展更為完善、合理的數(shù)學概念框架，這是一個處理數(shù)學模型的過程.學生通過這樣的活動過程，可以理解一個數(shù)學問題是怎樣提出來的、一個數(shù)學概念是怎樣形成的、一個數(shù)學結論是怎樣獲得和應用的.這些過程主要指：

5.1知識的發(fā)生發(fā)展過程

我們歷來十分重視對基礎知識的教學，但存在著“重結果、輕過程”的現(xiàn)象，如果長期采用這種教法，學生就難以學會獨立思考，無法體會到一些數(shù)學基本思想的作用，形成不了正確的思維方式.例如，數(shù)學概念是重要的數(shù)學基礎知識，許多老師對概念的教學采取的是“定義+例題”的方式，實質上是在“滿堂灌”，最后只能導致學生是“知其然，但不知其所以然”.事實上，一個概念的形成往往與學生的思考、探索等活動融合在一起，密不可分.所以，在數(shù)學概念的教學中，教師一定要引導學生經歷這個概念的建立過程，不可錯失培養(yǎng)學生數(shù)學思考的良機.

5.2知識的應用過程

我們知道，學習數(shù)學的主要目的是利用數(shù)學知識解答所遇到的實際問題，在解答這些問題的過程中，形成并發(fā)展同學們的數(shù)學能力，養(yǎng)成用數(shù)學的眼光看待問題的習慣，從而促進數(shù)學素質的提高.教學中除了突出知識的形成過程外，還要重視知識的應用過程.在引導學生探索和發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學知識后，都要設計運用新知識解決問題的活動.

對于用數(shù)學知識解決問題的活動，教師要落實《課標2011年版》提出的“這樣的活動應體現(xiàn)‘問題情境——建立模型——求解驗證的過程”的要求.首先從實際問題情境中提出系列問題，把問題抽象為數(shù)學問題，運用文字、圖形、數(shù)學符號等各種數(shù)學語言表達問題，然后引導合作探究建立解決問題的數(shù)學模型，運用數(shù)學方法求出數(shù)學模型的解，從而得到實際問題的解.在這種解決實際問題的過程中，不但使學生明確了知識的形成、發(fā)展和應用，而且通過豐富多彩的數(shù)學化活動展開了學生的思維過程，使他們在觀察、實驗、猜測、驗證、推理、交流的過程中學會探索新知，學會數(shù)學地思考.

5.3綜合實踐活動的過程

“綜合與實踐”反映了數(shù)學課程與教學改革的要求，它是一類以問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動.他向學生提供了一種實踐性、探索性和研究性學習的課程渠道，具有現(xiàn)實性、問題性、實踐性、綜合性和探索性等特點.這種活動溝通了生活中的數(shù)學與課堂上的數(shù)學的聯(lián)系，使學生在學習過程中接觸到一些有研究和探索價值的題材和方法成為可能.是幫助學生積累數(shù)學活動經驗、培養(yǎng)應用意識與創(chuàng)新意識的重要途徑.針對問題情境，學生綜合運用所學的知識和生活經驗，獨立思考或與他人合作，經歷發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的全過程，感悟數(shù)學各部分內容之間、數(shù)學與生活實際之間、數(shù)學與其他學科之間的聯(lián)系，加深對所學內容的理解.所以說，有針對性地開展綜合與實踐活動有益于提高學生的綜合能力.

5.4數(shù)學活動經驗的積累過程

數(shù)學活動經驗的積累是提高學生數(shù)學素養(yǎng)的重要標志.在數(shù)學教學中，幫助學生不斷積累數(shù)學活動經驗是重要的教學目標之一.《課標（2011年版）》指出“數(shù)學活動經驗需要在‘做的過程和‘思考的過程中積淀，是在數(shù)學學習活動中逐步積累的.”事實上，“活動經驗”與“活動”密不可分，沒有“活動”就沒有“活動經驗”.這里的“活動”是“手、腦、口”并用的活動.簡言之，學生只有積極參與數(shù)學教學的過程，經過獨立思考、實踐探索、合作交流，才有可能積累數(shù)學活動經驗.

例如，對于函數(shù)，初中階段主要研究一次函數(shù)（含正比例函數(shù)）、反比例函數(shù)和二次函數(shù).針對這幾種具體的函數(shù)，學生首先學習的是一次函數(shù)，在學習完一次函數(shù)的有關知識后，通過系統(tǒng)梳理、總結，便可積累以下四種基本的數(shù)學活動經驗：

（1）函數(shù)的研究過程經驗：抽象函數(shù)模型——給出函數(shù)定義——畫出函數(shù)圖象——研究函數(shù)性質——應用函數(shù)知識解決實際問題.

（2）函數(shù)性質的研究經驗：借助函數(shù)的直觀圖象用數(shù)形結合的方式來研究函數(shù)的性質.

（3）數(shù)學抽象的活動經驗：學生在函數(shù)知識的學習中要經歷兩次抽象的過程，一是從實際問題情境中抽象得出函數(shù)概念模型；二是在函數(shù)概念模型的基礎上進一步歸納形成抽象的函數(shù)概念.

（4）應用函數(shù)的知識分析問題和解決問題的活動經驗.

有了這些數(shù)學活動經驗，學生就可以憑借他們輕松的學習反比例函數(shù)和二次函數(shù)的有關知識.事實上，這些數(shù)學活動經驗還可以在高中階段和大學階段的函數(shù)學習中發(fā)揮積極的作用.因此，教學中應引導學生不斷地積累和總結數(shù)學活動經驗，并且將其創(chuàng)造性地應用到新內容的學習過程中去.

要很好地體現(xiàn)和落實《課標（2011年版）》的基本理念，教師在設計課堂教學時要做的事情很多，但筆者認為，以上幾個問題是最為關鍵的問題，只要教師在教學中時刻把學生的發(fā)展放在第一位，努力按照數(shù)學教學活動的特點，組織教學，就一定能夠實現(xiàn)不斷提高數(shù)學教學質量的目標.