張愛平

1問題提出

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）（下稱“課標(biāo)”）倡導(dǎo)積極思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中要鼓勵(lì)學(xué)生自主探究，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地從事觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)[1]，探究性教學(xué)活動(dòng)就成了數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的重要形式.如何進(jìn)行初中幾何探究教學(xué)的設(shè)計(jì)與實(shí)踐？本文利用兩個(gè)案例的分析，對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行探討.

2幾何探究教學(xué)的設(shè)計(jì)與實(shí)踐

課標(biāo)指出：在教學(xué)中要處理好過程與結(jié)果、直觀與抽象、直接經(jīng)驗(yàn)與間接經(jīng)驗(yàn)的關(guān)系.數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)要激發(fā)學(xué)生的興趣和學(xué)習(xí)積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維[1]，探究性教學(xué)成為實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)的一種教學(xué)方式.下面以兩個(gè)幾何探究教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)與實(shí)踐為例，從幾何圖形性質(zhì)和關(guān)系兩個(gè)角度說明如何進(jìn)行探究教與學(xué)，以幫助學(xué)生積累幾何探究的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生幾何探究能力.

2.1在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中探究，理解幾何圖形性質(zhì)的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)教育家波利亞指出：“數(shù)學(xué)具有兩個(gè)面，以歐幾里得方式表現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)看上去是一種系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但在形成過程中的數(shù)學(xué)看上去卻是一種實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)”，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是學(xué)生通過觀察、操作、試驗(yàn)等實(shí)踐活動(dòng)來進(jìn)行數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的一種形式.學(xué)生在動(dòng)手操作、測(cè)量等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中獲得對(duì)幾何圖形性質(zhì)的初步認(rèn)識(shí)，在推理中加深理解，深刻理解幾何圖形性質(zhì)的內(nèi)涵.

“垂線段最短”是認(rèn)識(shí)直線“垂直”的過程中得到的一個(gè)重要性質(zhì)，為了幫助學(xué)生獲得這一結(jié)論，并較好理解其內(nèi)涵，可以嘗試在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中探究得到結(jié)論，并自然過渡到簡單說理.

案例1“垂線段最短”的探究

（1）設(shè)置實(shí)際問題情境，引發(fā)探究幾何圖形性質(zhì)的興趣

問題1如圖1，怎樣測(cè)量跳遠(yuǎn)成績？為什么這樣測(cè)量？

問題2如圖2，點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)P與直線l上的各點(diǎn)所連的線段中，沒有最長的，但好像有最短的，哪一條線段的長最短？

圖1圖2設(shè)計(jì)意圖與效果分析創(chuàng)設(shè)問題情境，使探究活動(dòng)意義明確，主題清楚，其中問題1從學(xué)生體育活動(dòng)中的跳遠(yuǎn)成績的測(cè)量引發(fā)學(xué)生的思考，為點(diǎn)到直線的距離的定義做好鋪墊；問題2直接給出學(xué)生下面探究的主題，明確探究的起點(diǎn)，激發(fā)探究的好奇心和興趣.

（2）在實(shí)驗(yàn)過程中操作、思考，經(jīng)歷幾何圖形性質(zhì)的獲得過程

活動(dòng)1利用直尺度量線段的長度，感受“垂線段最短”.

圖3如圖3，通過直尺度量，發(fā)現(xiàn)PO1>PO2>PO3>…>PO，PO5>PO4>…>PO，其中PO⊥l，垂足為O.從上面的測(cè)量可以感受并猜想“點(diǎn)P與l上的點(diǎn)所連線中，垂線段最短”.

設(shè)計(jì)意圖與效果分析這里要求學(xué)生利用直尺度量的方法，在操作過程中猜想直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)所連的線段中垂線段可能最短，這種操作活動(dòng)只能做有限次，學(xué)生只能從有限次測(cè)量中進(jìn)行比較，是一種不完全歸納的過程.

活動(dòng)2利用幾何畫板軟件測(cè)量，體會(huì)“垂線段最短”.

通過幾何畫板課件，學(xué)生在直線l外取一點(diǎn)P，設(shè)Q為直線l上動(dòng)點(diǎn)，度量PQ的長度，在直線l上拖動(dòng)點(diǎn)Q，觀察并記錄PQ的長度及變化情況，發(fā)現(xiàn)當(dāng)PQ⊥l時(shí)，PQ的長度最小，并通過點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)，體會(huì)變化的全過程，進(jìn)一步體會(huì)到“點(diǎn)P與l上的點(diǎn)所連線中，垂線段最短”.

設(shè)計(jì)意圖與效果分析這里要求學(xué)生在幾何畫板軟件中度量直線外一點(diǎn)與直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間的距離，當(dāng)拖動(dòng)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，可以觀察到所測(cè)量的距離的連續(xù)變化過程，覆蓋了直線上所有點(diǎn)的情形，直觀體會(huì)“垂線段最短”，是一次完全歸納的過程.

活動(dòng)3利用折紙?zhí)骄坎L試說理，說明“垂線段最短”.

（1）折紙：如圖4，將長方形紙片對(duì)折，再對(duì)折，展開得到兩個(gè)折痕PS、MN，并交于點(diǎn)O.

問題：兩個(gè)折痕PS、MN的關(guān)系如何？

分析：根據(jù)折疊，∠POM=PON=90°，OP⊥MN，OP=OS.

圖4圖5圖6（2）說理：如圖5，設(shè)點(diǎn)P為線段MN外的一點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段MN上的任意一點(diǎn)（與點(diǎn)O不重合），試比較PQ與PO的大小.

如圖6，連接QS.根據(jù)折疊，PQ=QS.根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得QS+QP>PS=PO+OS.即2PQ>2PO.所以PQ>PO.

（3）結(jié)論：點(diǎn)P與線段MN上的點(diǎn)所連的線段中，垂線段PO最短.

設(shè)計(jì)意圖與效果分析這里要求學(xué)生在折紙的過程中研究圖形的軸對(duì)稱性及相關(guān)結(jié)論，直接提出折痕外一點(diǎn)到折痕上任意一點(diǎn)（除垂足）之間的距離與該點(diǎn)到兩條折痕的交點(diǎn)的距離（垂線段的長度）的大小比較問題，并根據(jù)軸對(duì)稱性轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間連線的長度問題，再根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”說明“垂線段最短”，學(xué)生在折紙的過程中經(jīng)歷動(dòng)手操作、數(shù)學(xué)思考的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)過程，初步感受說理，加深對(duì)“垂線段最短”的內(nèi)涵的理解.

學(xué)生從特殊到一般進(jìn)行歸納，并在折紙中滲透說理，體會(huì)從合情推理到演繹推理的數(shù)學(xué)思維過程，經(jīng)歷從“實(shí)驗(yàn)幾何”學(xué)習(xí)到“論證幾何”學(xué)習(xí)的過渡過程，為初中平面幾何學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備，從而形成幾何探究的策略，既培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力，也發(fā)展學(xué)生的推理能力.

2.2在類比中探究，經(jīng)歷研究幾何圖形關(guān)系的過程

類比是根據(jù)兩個(gè)或兩類對(duì)象有部分屬性相同，從而推出它們的其它屬性也相同的推理，可以較好地發(fā)現(xiàn)知識(shí)、獲得方法，是一種合情推理方式；在類比過程中，需要結(jié)合必要的說理對(duì)所獲得的結(jié)論進(jìn)行證實(shí)或證偽，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)探究過程.

三角形全等和三角形相似都反映兩個(gè)三角形的關(guān)系，其中三角形全等是三角形相似的特殊情形，因此可以將特殊推廣到一般，將探索三角形全等條件的方法類比到探索三角形相似條件的過程中，使探究的“路”和“法”較為清晰，便于學(xué)生在探究過程中，積極思考，自主探究，積累探究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

案例2“三角形相似的條件”的探究.

（1）再現(xiàn)“三角形全等條件”的探索過程，讓“三角形相似的條件”的探索有“路”可比

問題1兩個(gè)三角形全等的條件有哪些？

生1：有四種方法，即兩邊及夾角分別相等、兩角及夾邊分別相等、兩角及其中一角的對(duì)邊分別相等、三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，用符號(hào)表示為SAS、ASA、AAS、SSS.

問題2探索兩個(gè)三角形全等的條件時(shí)的方法是什么？

生2：我們知道能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形，根據(jù)定義可以知道三個(gè)角分別相等和三邊分別相等的三角形是全等三角形.

生3：我們可以將這6個(gè)條件適當(dāng)減少，使判定時(shí)更加簡單易操作，最終得到除定義外的其它四種方法.

問題3除了將6個(gè)條件適當(dāng)減少，還有其它路徑嗎？

生4：我們可以將條件由少到多，即一邊分別相等、一角分別相等、兩邊分別相等、兩角分別相等、一邊和一角分別相等的兩個(gè)三角形全等嗎？若不全等，能否舉出反例.

設(shè)計(jì)意圖與效果分析通過三角形全等條件探索的再現(xiàn)，提出關(guān)于探索三角形全等條件的3個(gè)問題，明確三角形全等條件探索的路徑和方法，即將條件逐步減少和條件逐步增加的方法進(jìn)行探究，使學(xué)生在探索三角形相似時(shí)有“路”可類比.

（2）類比“三角形全等條件”的探索，讓“三角形相似的條件”的探索有“法”可探

問題4兩個(gè)三角形相似的定義是什么？

生5：形狀相同的三角形叫做相似三角形，即各角分別相等、各邊分別成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.即

問題5類比三角形全等條件的探索，可以怎樣探索三角形相似的條件？

生6：我們可以通過減少條件或增加條件的方法探究.

生7：通過增加條件的方法：

（1）一組條件：一組角分別相等或兩組對(duì)邊分別成比例的兩個(gè)三角形不一定相似，反例如下：

設(shè)計(jì)意圖與效果分析這里設(shè)置2個(gè)問題，問題4引導(dǎo)學(xué)生回憶三角形相似的定義，為三角形相似條件的增加和減少做好鋪墊，問題5提出”探索三角形相似的條件”的大問題，引導(dǎo)學(xué)生利用不斷增加條件的方法，從一組條件到兩組條件，并分類考慮各種情形：對(duì)不能判斷相似的條件通過舉反例的方式說理；對(duì)能說明相似的條件，首先利用“平行于三角形一邊的直線與其它兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似”來證明“兩個(gè)角分別相等的兩個(gè)三角形相似”，再以此為基礎(chǔ)通過說理的方式說明其它條件的正確性；對(duì)于三組條件成立可以轉(zhuǎn)化為兩組條件研究，滲透推理能力的培養(yǎng).

在探究過程中，也可以嘗試減少一組條件、二組條件、三組條件進(jìn)行探索，最終得到兩組條件的三種方法.需要根據(jù)學(xué)生的思維過程自然過渡，選擇符合學(xué)生思維方式的探究方式.

探究過程中依據(jù)全等三角形條件探索的經(jīng)驗(yàn)，類比獲得研究兩個(gè)三角形相似的經(jīng)驗(yàn)和方法，采用條件“由少增加”或“由多減少”的探究路徑，通過說理證實(shí)或舉反例證偽的方法說明各種條件的正確與否，最終獲得三角形相似的最簡條件，探究過程思路清晰，方法明晰，讓探究過程有“法”可探，幫助學(xué)生積累探索幾何圖形關(guān)系的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

3教學(xué)反思

3.1幾何探究活動(dòng)要尊重學(xué)生認(rèn)知規(guī)律

幾何探究活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，始終處于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)生知識(shí)的生長點(diǎn)，也是教師開展教學(xué)活動(dòng)的起點(diǎn)，既要依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)確定學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)，更要著眼于問題解決，追求合理、有效的探究方式[3].根據(jù)這一原則，探究活動(dòng)中設(shè)置的問題的思維容量應(yīng)有個(gè)“度”.如果探究問題過難，那么學(xué)生難以企及，會(huì)望而生畏；如果探究問題過易，那么不能引起學(xué)生的探究欲望，也沒有探究的價(jià)值.案例1和案例2中問題的設(shè)置根據(jù)這些要求設(shè)置，從學(xué)生已有的探索三角形全等條件的經(jīng)驗(yàn)和生活中已有的測(cè)量跳遠(yuǎn)的距離的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，揭示探究的方向，明確探究的必要，整個(gè)探究活動(dòng)是基于學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)的自然生長.

3.2幾何探究過程中要發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力

課標(biāo)指出：數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，特別是課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維[1].幾何探究活動(dòng)要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力.

學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中，利用一定的物質(zhì)手段（含物質(zhì)材料、計(jì)算機(jī)軟件等），通過動(dòng)手、動(dòng)腦，用觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想等手段獲得結(jié)論，在活動(dòng)中進(jìn)行數(shù)學(xué)探究，在“做中學(xué)”，培養(yǎng)科學(xué)素養(yǎng)和探究精神[2].案例1中的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)為學(xué)生提供了“做中學(xué)”數(shù)學(xué)的過程，進(jìn)而為“悟中學(xué)”提供了可能.學(xué)生經(jīng)歷了三個(gè)不斷遞進(jìn)、思維過程由低到高的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，完成了“垂線段最短”的深度探究，學(xué)生在從不完全歸納到完全歸納、從感性到理性的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中，真實(shí)有效地實(shí)現(xiàn)探究目的，探究的三個(gè)活動(dòng)之間聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，學(xué)生自主動(dòng)手操作、獨(dú)立思考，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中完成一次真正的、有價(jià)值的探究活動(dòng).

案例2中，與三角形全等條件探索過程類比，提出三角形相似的條件，并通過說理證實(shí)和舉反例證偽，探究過程路徑清晰、方法簡便，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)地思考，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力.

3.3幾何探究活動(dòng)要滲透研究幾何問題的經(jīng)驗(yàn)

在初中幾何探究學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過觀察實(shí)物、測(cè)量、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等方法研究幾何圖形的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)，通過演繹推理證明數(shù)學(xué)結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生言之有理和有條理地思考、表達(dá)的能力[4].在案例1中，經(jīng)過“測(cè)量—折紙—推理”的過程獲得“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)所連的線段中，垂線段最短”的性質(zhì)；在案例2中，利用引理證明“兩角分別相等的三角形相似”，再類比說明其它條件成立，經(jīng)歷“推理（舉反例）—結(jié)論”的過程研究圖形之間的關(guān)系；這些探究思路和方法均是研究幾何圖形的重要方法和經(jīng)驗(yàn)，需要學(xué)生在學(xué)習(xí)中不斷積累和內(nèi)化，發(fā)展數(shù)學(xué)探究能力.

參考文獻(xiàn)

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[2]董林偉.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：促進(jìn)初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種有效方法[J].中國數(shù)學(xué)教育，20125：2-5

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