吳志權(quán)　張紅

數(shù)學概念是反映現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性的思維形式，是進行數(shù)學思維的基本單位.眾所周知，學生獲得概念的方式有兩種：一種是由學生從大量同類事物的不同例證中獨立發(fā)現(xiàn)其共同的關(guān)鍵屬性，叫做概念形成；一種是用定義的方式向?qū)W生直接揭示，學生利用已有認知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識來理解新概念，叫做概念同化.無論是哪一種概念獲得方式，對學生而言，概念都是抽象的，要讓學生順利獲得概念、理解概念、應用概念，就需要教師以“學為中心”的理念進行精心的教學設計.

1數(shù)學概念教學的現(xiàn)狀分析

1.1概念引入過程縮水

圖1為了解一線教師在常態(tài)課中對概念引入過程的具體操作，筆者對不同學校的近100位數(shù)學教師進行了走訪，并對走訪結(jié)果繪制成圖（圖1）.可以看出，許多教師在概念教學中將探究過程一筆帶過，匆忙地幫助學生獲得概念，將課堂中心放在如何運用所學知識解決問題上，課堂時間的分配向例、習題教學傾斜，使學生對概念理解不到位.

1.2概念理解程度不深

在概念引入后，通常要進行概念的辨析.但常有流于表面的現(xiàn)象，或不能抓住概念的本質(zhì)屬性進行問題設計，這不僅不能幫助學生理解，還會干擾學生對數(shù)學概念本質(zhì)屬性的把握.學生既不能對所學概念進行鞏固，又不能很好地把新概念納入到自身的知識體系中，不利于數(shù)學能力的提高.

1.3概念應用層次不明

對于概念的應用，較多的做法是進行習題練習，習題的設置考慮題目本身的難易程度，但對數(shù)學概念的應用體現(xiàn)卻是層次不明.此時，教師更多地關(guān)注解題思路的點撥，方法的歸納和思想的滲透，對數(shù)學概念應用層次常常是淡忘的.這對學生解題思路的形成是不利的，對數(shù)學思維的培養(yǎng)也是不足的.

2數(shù)學概念教學的優(yōu)化策略

數(shù)學概念對學生來說是抽象的，不易理解的，簡單的說教只能讓學生知其然而不知其所以然.要讓學生能對數(shù)學概念融會貫通，教師要做好向?qū)В鴮蚬ぞ弋斎皇蔷牡膯栴}設計.從概念的引入、概念的理解和概念的應用三方面談一下概念教學的優(yōu)化策略.

2.1概念引入的優(yōu)化策略

數(shù)學概念教學的關(guān)鍵在于概念的引入，概念的引入要從學生的數(shù)學現(xiàn)實和學生熟悉的生活背景出發(fā)進行設計，引入要合理自然.

策略1實例引入，抽象本質(zhì)

數(shù)學許多概念是從實際生活中抽象出來的，在數(shù)學教學中要引導學生觀察實物和模型，讓學生在感性認知的基礎(chǔ)上，抓住事物的共同特點，建立概念.

案例浙教版八（上）52《函數(shù)（1）》，關(guān)于函數(shù)的概念.

給出三個實際問題（水杯中水的體積和水的高度，溫度隨時間的變化，20米長的繩子圍成長方形的面積和長），每個實例出現(xiàn)都這樣提問：

問題1：在這個變化過程中，有幾個變量，分別是什么？

問題2：給定其中一個變量的值，另一個變量相應的有幾個值？

問題3：以上每個變化過程中，共同特點是什么？

如此，學生較好地抓住了函數(shù)概念的兩個本質(zhì)屬性：兩個變量；一個變量確定，另一個變量唯一確定.此時抽象出函數(shù)的概念已是水到渠成.當然，通過實例抽象引入概念時，所舉實例必須是學生生活中見過或有所接觸的，對于學生不熟悉的實例，是很難抽象出概念的.

策略2推廣引入，關(guān)注合理

通過對已有概念進行推廣而引入新的概念，是一種相關(guān)歸屬學習.通常是將數(shù)學概念從小領(lǐng)域推廣到大領(lǐng)域（如相反數(shù)由有理數(shù)到實數(shù)），或是從特殊到一般的發(fā)展過程（如勾股定理的探索），這體現(xiàn)了概念間的聯(lián)系和概念的深化.

在運用概念的推廣來引入新概念時，要通過問題設計說明推廣的合理性.因此，在進行問題設計時，要關(guān)注如何引導才能使推廣順理成章，而非牽強附會.

案例浙教版七（上）《有理數(shù)加法（2）》，關(guān)于運算律的概念.

問題1：小學時，已經(jīng)學習過加法交換律和結(jié)合律，你能舉例說一說嗎？

問題2：它們在有理數(shù)范圍內(nèi)還成立嗎？利用

（-3）+（-4），（-3）+4+（-5）嘗試一下？

問題3：換兩個不同的算式試一試，結(jié)果如何？和同桌交流，說說你的發(fā)現(xiàn).

事實上，按課本合作學習進行引導，雖有一定趣味性，卻讓問題指向不明確.加法的交換律和結(jié)合律學生并不陌生，只是數(shù)系進行了擴充，在概念引入時問題的設計應關(guān)注其合理性，讓學生在有理數(shù)的范圍內(nèi)接受兩個運算律.

策略3類比引入，求同存異

當新概念與已有概念有相似之處時，可以采用類比的方法引入新概念.我們知道，概念是對同類事物的共同、本質(zhì)屬性的抽象.例如，一元一次方程的本質(zhì)屬性有等號左右兩邊為整式、只含有一個未知數(shù)、未知數(shù)的指數(shù)是一次.以問題類比引入概念，新概念的本質(zhì)屬性和舊概念的本質(zhì)屬性通常大同小異，因此問題設計要把握“同”，更要關(guān)注“異”，才能有效類比得出新概念.

案例浙教版七（下）《二元一次方程》，關(guān)于二元一次方程的概念.

通過實際問題，得出幾個方程，設計下列問題：

問題1：一元一次方程具有哪些特征？

問題2：06x+08y=38，2a=3b+20是一元一次方程嗎？

問題3：它們不具備一元一次方程的哪個特征？

問題4：你能類比一元一次方程給它們命名嗎？

通過類比，學生較清晰地對新概念的本質(zhì)屬性把握住了，在對同類概念進行了比較的同時，既有助于新概念的掌握，又對舊概念進一步理解.這種概念教學方式是我們常用的方式之一，在進行問題設計時，要引導學生發(fā)現(xiàn)相同和不同，將相同遷移過來，在不同處做文章，最后得出概念.

2.2概念理解的優(yōu)化策略

學生理解和掌握概念的過程實際上是掌握同類事物共同、關(guān)鍵屬性的過程.在進行概念理解的問題設計時，要厘清概念的本質(zhì)屬性（關(guān)鍵屬性）和無關(guān)屬性，進行合理運用，可以有效地幫助學生理解概念.例如，同類項的本質(zhì)屬性是字母相同和相同字母的指數(shù)相同，而系數(shù)和字母的位置則是它的無關(guān)屬性.數(shù)學概念理解的問題設計可以從以下四方面入手：

策略1以本質(zhì)屬性切入

實踐表明，概念的本質(zhì)屬性越明顯，學習越容易，非本質(zhì)屬性越多、越明顯，學習越困難.為了讓學生抓住概念的本質(zhì)屬性，對概念進一步理解，我們常采用擴大本質(zhì)屬性的辦法，減少學習困難，也就是常說的概念辨析.

案例浙教版九（上）《圓周角》，關(guān)于圓周角概念的理解.

圓周角有兩個本質(zhì)屬性：頂點在圓上，兩邊和圓相交.為了突出本質(zhì)屬性，設計問題：下列各圖形（圖2）中的角是不是圓周角，并說明理由.

圖2通過改變本質(zhì)屬性，突出本質(zhì)屬性在概念中的作用，讓學生對概念轉(zhuǎn)換角度從新審視.在問題設計中，不能簡單地讓學生判斷是否符合概念，還得讓學生說出緣由.學生說理由的過程實際上是對概念的理解和內(nèi)化過程.

策略2以無關(guān)屬性切入

數(shù)學概念中的無關(guān)屬性往往是干擾學生理解概念的重要因素，在概念教學中要借力打牛，借助無關(guān)屬性來襯托本質(zhì)屬性.通過變更對象的無關(guān)屬性和表現(xiàn)形式，變更觀察實物的角度和方法，讓概念的本質(zhì)屬性更加凸顯.通常意義上的變式就是這個原理.

案例浙教版八（下）《反比例函數(shù)》，關(guān)于反比例函數(shù)概念的理解.

問題1：下列函數(shù)是y關(guān)于x的反比例函數(shù)嗎？

①y=23x，②y=π-x，③y=3x-1

問題2：y=2xm-1是y關(guān)于x的反比例函數(shù)，則m=.

學生在解決這類問題時，就不得不從概念的本質(zhì)屬性入手.例如，要解決案例中的問題，學生就不能從形式上看出了，而是必須抓住反比例函數(shù)的兩個變量成反比這一本質(zhì)去判斷.這樣，學生對概念的無關(guān)屬性也會淡化，逐步消除其對概念學習的影響.

策略3以關(guān)聯(lián)屬性切入

有些新概念與舊概念之間是有聯(lián)系的，通過對新舊概念的屬性比較，揭示他們之間的聯(lián)系，從而把新概念納入到學生原有的認知結(jié)構(gòu)中，使新概念得到同化，形成新的認知結(jié)構(gòu).在新舊概念的聯(lián)系中尋找它們的異同，能有效幫助學生區(qū)分概念，為概念的靈活運用提供保障.

案例浙教版八（上）《探索勾股定理》，關(guān)于“勾股定理的逆定理”的理解.

問題1：勾股定理的條件是什么？結(jié)論是什么？勾股定理的作用是什么？

問題2：勾股定理的逆定理的條件是什么？結(jié)論是什么？它的作用是什么？

問題3：它們之間有什么聯(lián)系？

正確地理解和掌握數(shù)學概念是極為重要的，這是提高數(shù)學學習能力的基礎(chǔ).無論從哪個角度設計問題促進概念理解，都是為了突出概念的關(guān)鍵屬性.

2.3概念應用的優(yōu)化策略

概念應用在概念教學中是最容易被忽視的一個環(huán)節(jié)，許多教師將它等同與例、習題的講解，這顯然是不全面的.一般來說，概念的應用有兩個層次：一是直覺水平上的運用，是指學生在獲得同類事物的概念以后，就能辨認這類事物的特例；二是思維水平上的應用，新概念的應用是對所給問題建立已有概念的模型.

策略1以“概念識別”為基礎(chǔ)

概念識別主要是對概念的簡單運用，比較直接的用概念解決簡單問題.可以針對概念中容易出錯的地方進行問題設計，問題可以增加一些干擾因素，問題設計的目標應指向彌補對概念的認識不足.

案例浙教版九（上）《二次函數(shù)的性質(zhì)》，關(guān)于“最值”概念的應用.

在最值的教學中學生都清楚，當二次項系數(shù)a>0時，函數(shù)有最小值，在頂點處取到，當二次項系數(shù)a<0時，函數(shù)有最大值，在頂點處取到.但這一結(jié)果隱含著“自變量的取值范圍是全體實數(shù)”這一前提.為了彌補這一點認識不足，可以設計這樣的問題：

求二次函數(shù)y=x2-2x-3x≥2的最小值.

由于受到取值范圍的限制，就需要判斷x=-b2a是否在取值范圍內(nèi).

在概念應用的第一層次，可以對概念的易錯點、易漏點或是概念理解時不到位的地方，進行問題設計.這一層次實際是在應用中尋找概念學習的漏洞.

策略2以“概念應用”為提升

課本中直接運用概念解題的例子很多，教學中要充分利用.同時，對學生不能靈活運用的概念，要設計一些有針對性的問題，通過練習、思考，使學生對概念的理解更深刻、更透徹.靈活應用概念是對概念理解的升華，是從一定高度對概念的重新認識.

數(shù)學概念是掌握數(shù)學知識的基礎(chǔ)，只有透徹理解、把握數(shù)學概念，才能做到靈活應用，從概念應用設計問題也是對學生是否理解概念的一種檢測.例如，給出拋物線上三個點的橫坐標，比較縱坐標的大小.問題設計可以將三點放在對稱軸同側(cè)、異側(cè)且函數(shù)值相差較大、異側(cè)且函數(shù)值相差較小.通過三個問題就可以看出學生對這一概念理解到哪一個層次.

策略3以“概念拓展”為突破

在數(shù)學概念教學中，設計一些拓展問題，可以讓學生對這些抽象的數(shù)學概念得到進一步體驗、理解、內(nèi)化，得到課堂教學所不能抵達的效果.拓展還要把握好相應的度，拓展的過偏、過難，將會增加學生的學習負擔.拓展要在掌握知識的基礎(chǔ)上，歸納思想方法，把握問題規(guī)律，從而達到提升學習能力的目的.

案例浙教版九（上）《二次函數(shù)》，關(guān)于“拋物線與x軸的交點坐標”.

問題1：求二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象與x軸的交點坐標？

問題2：求二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象與直線y=5的交點坐標？

問題3：若二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象與直線y=k有交點，求k的取值范圍？

3結(jié)語

數(shù)學概念教學是數(shù)學教學中極其重要的一個環(huán)節(jié)，教師要著力于提高學生對數(shù)學概念的把握能力.在概念教學中，我們應以學生為中心，積極引導學生改變學習方式，促進學生自主學習，使學生能認真地思考，積極地尋找解決問題的思路和方法.要達到這一效果，一個重要因素就是教師要設計恰當?shù)膯栴}，架構(gòu)概念與學生間的橋梁.

參考文獻

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作者簡介吳志權(quán)，男，1985年8月生，浙江長興人，中教一級.曾獲湖州市優(yōu)質(zhì)課一等獎，多次參與省、市級課題研究，所撰寫的論文（案例）多次獲獎或發(fā)表，曾獲縣教壇新秀、教學名師等稱號.