模擬試題中經(jīng)常會遇到“兩條線段和最小”這類問題.筆者在教學中，指導學生解決這一傳統(tǒng)問題時，總結(jié)出的解題方法是，作其中一個定點關(guān)于直線的對稱點，連接對稱點與另一個定點，與這條直線的交點即為所求作的動點，利用軸對稱的性質(zhì)把兩條線段之和轉(zhuǎn)化為一條線段.后來將其細化為“三環(huán)節(jié)”進行，學生掌握得可以，也收到了不錯的教學效果.這三個“環(huán)節(jié)”是：①“作”.即作出其中一個定點關(guān)于直線的對稱點；②“找”.即把這個對稱點和另一個已知定點連接起來，與直線相交于一點，當動點移動到與這個交點重合時，根據(jù)“兩點之間，線段最短.”可知此時的兩線段和最小，即利用轉(zhuǎn)化思想，把兩條線段和的最小值轉(zhuǎn)化為一條線段的長；③“求”.即利用勾股定理求出這條線段的長，即為兩條線段和的最小值.下面通過幾例，說說用這“三環(huán)節(jié)”解決這類問題的具體步驟，供參考.例1如圖1，已知CA⊥AB，DB⊥AB，AC=1cm，BD=2cm，AB=4cm.現(xiàn)有一個動點P，從點B向點A運動.當點P運動到何處時PC+PD最??？并求出這個最小值.

指導解法如下：

第一環(huán)節(jié)：作已知點C關(guān)于AB所在直線的對稱點C′（如圖1）；

第二環(huán)節(jié)：連結(jié)C′D，交AB于點P′.

因為AB是CC′的垂直平分線，所以P′C′=P′C，因此當點P運動到和點P′重合時，根據(jù)“兩點之間，線段最短.”可知PC+PD最小，它的最小值就是線段C′D的長.

第三環(huán)節(jié)：作C′E∥AB，與DB延長線交于點E.因為CA⊥AB，DB⊥AB，所以四邊形AC′EB為矩形，所以C′E=AB=4，BE=AC′=AC=1，DE=2+1=3，在Rt△DEC′中，C′D=C′E2+DE2=42+32=5，所以C′D=C′P′+P′D=5，即PC+PD的最小值為5cm.

例2如圖2，AB是半徑為1的⊙O的直徑，點M在⊙O上，∠MAB=30°，N為弧MB的中點，點P是直徑AB上一個動點，求PM+PN的最小值是多少？

指導解法如下：

①作點N關(guān)于直徑AB的對稱點N′，由垂徑定理可知，點N′也在⊙O上；

②連接MN′交AB于點P′，當動點P移動到與P′點重合時PM+PN的值最小，即是線段MN′的長.

③連接OM、ON′，因為圓周角∠MAB=30°，所以圓心角∠BOM=60°，

又因為MN=NB=BN′，所以它們所對的圓心角都為30°，即∠BON′=30°，所以∠MON′=90°.

在Rt△MON′中，MN′=12+12=2，即PM+PN的最小值為2.

例3如圖3，在平面直角坐標系中，Rt△OAB的頂點A在x軸的正半軸上，頂點B的坐標為（3，3），點C的坐標為（12，0），點P為斜邊OB上的一動點，則PA+PC的最小值是多少？

指導解法如下：如圖4，

第一步：作A關(guān)于OB的對稱點D；

第二步：連接CD交OB于P，連接AP，則此時PA+PC的值最小，因為DP=PA，所以PA+PC=PD+PC=CD，PA+PC的最小值為線段CD的長.

第三步：作DN⊥OA于N，因為B（3，3），所以在Rt△OAB中，AB=3，OA=3，∠B=60°，∠BOA=30°.由勾股定理得OB=23，在Rt△OAM中，因為∠BOA=30°，所以AM=12OA=32，所以AD=2×32=3.在Rt△OAM中，因為∠BOA=30°，所以∠OAM=60°.因為DN⊥OA，所以∠NDA=30°，所以AN=12AD=32，由勾股定理得：DN=332，又因為C（12，0），所以CN=AO-AN-OC=3-32-12=1，在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC=CN2+DN2=12+（332）2=312，即PA+PC的最小值是312.

作者簡介陳國玉，男，中學高級教師.涼州區(qū)骨干教師、“教學能手”、“教科研先進個人”，多次榮獲學校“優(yōu)秀教師”、“優(yōu)秀班主任”稱號.有100多篇論文在國家、省市級期刊上發(fā)表.