王 程, 項濟(jì)南, 李秦川, 陳巧紅

(浙江理工大學(xué), a. 機(jī)械與自動控制學(xué)院; b. 信息學(xué)院, 杭州 310018)

3-PRRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜力分析

王 程a, 項濟(jì)南a, 李秦川a, 陳巧紅b

(浙江理工大學(xué), a. 機(jī)械與自動控制學(xué)院; b. 信息學(xué)院, 杭州 310018)

3-PRRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有兩個轉(zhuǎn)動自由度和一個移動自由度,無伴隨運(yùn)動,具有廣泛的用途,目前相關(guān)研究主要集中于運(yùn)動學(xué)層面,靜力分析相關(guān)研究相對較少。采用矢量法對3-PRRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行靜力分析,首先通過拆桿法建立了機(jī)構(gòu)在一般位姿下的各桿件的力/力偶平衡方程,然后求解出機(jī)構(gòu)在整個工作空間中的運(yùn)動副約束反力和主動力,最后通過數(shù)值實例計算驗證。研究結(jié)果可為3-PRRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)設(shè)計和實際應(yīng)用提供理論基礎(chǔ)。

并聯(lián)機(jī)構(gòu); 靜力分析; 約束力/力偶

0 引 言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有剛度高、承載能力大、慣性小、精度高等特點(diǎn)[1],已被用作航空航天、醫(yī)療、工業(yè)、軍事等各個領(lǐng)域。自由度數(shù)少于6的少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)稱為少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu),該類機(jī)構(gòu)由于結(jié)構(gòu)簡單、制造和控制成本低等優(yōu)點(diǎn)成為本領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)[1-2]。

[PP]S類并聯(lián)機(jī)構(gòu)是少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)中的重要一類,具有一個移動自由度(T)和兩個轉(zhuǎn)動自由度(R),包括3-PRS、3-RPS、3-RRS和3-PPS等機(jī)構(gòu),具有很大工程應(yīng)用潛力。[PP]S類并聯(lián)機(jī)構(gòu)已被用作望遠(yuǎn)鏡聚焦裝置[3]、運(yùn)動模擬器[4]、微操作機(jī)械手[5]、坐標(biāo)測量機(jī)[6]、加工中心的主軸頭[7]等。3-PRRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)屬于[PP]S類并聯(lián)機(jī)構(gòu)[8],其中P表示移動副,R表示轉(zhuǎn)動副,U表示萬向鉸。3-PRRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)動平臺的中心被限制在一條直線上運(yùn)動,因此沒有伴隨運(yùn)動,其運(yùn)動控制模型較之3-PRS等并聯(lián)機(jī)構(gòu)更為簡單[9],具有較大的應(yīng)用潛力。

機(jī)構(gòu)運(yùn)作并非只是處于運(yùn)動狀態(tài),很多工程中對機(jī)械設(shè)備的靜承載能力要求較高,例如天文望遠(yuǎn)鏡、機(jī)床定點(diǎn)工作等,因此靜力分析作為機(jī)構(gòu)動力分析的基礎(chǔ)非常重要。目前文獻(xiàn)中所涉及的機(jī)構(gòu)靜力分析方法有螺旋理論法、矢量法、影響系數(shù)法等。艾青林等[10]對并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度和靜力分析的國內(nèi)外進(jìn)展進(jìn)行了總結(jié);趙燕等[11-12]通過傳統(tǒng)力學(xué)的方法分別分析了含有過約束和不含過約束的兩類經(jīng)典并聯(lián)機(jī)構(gòu);李永剛等[13]通過虛功原理的方法建立了少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動力和約束力的完整靜力映射,并通過此方法分析了3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu);周玉林等[14-15]運(yùn)用傳統(tǒng)力學(xué)拆桿法求解了3自由度球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)3-RRR的整個力學(xué)模型以及二自由度球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)UP+R的靜力全解;Agrawal[16]通過螺旋理論的方法系統(tǒng)地分析了串聯(lián)機(jī)構(gòu)和并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靜力學(xué)模型;Jiegao等[17]對空間3-RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了位置分析并建立了靜平衡模型;Russo等[18]通過矢量法對一種六自由度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了靜力平衡建模。目前,對3-PRRU機(jī)構(gòu)的研究基本集中于運(yùn)動學(xué)層面,尚無靜力分析相關(guān)研究。

本文采用矢量法分析3-PRRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜力性能。在各類方法中,矢量法建立靜力模型相對簡單,但計算過于繁瑣,但由于該機(jī)構(gòu)中三個分支結(jié)構(gòu)相同,在建立靜力平衡模型時每一個分支都可以套用第一個分支的受力模型,這樣可以解決矢量法計算的繁瑣問題。本文首先通過拆桿法建立了機(jī)構(gòu)在一般位姿下的各桿件的力/力偶平衡方程,然后求解出機(jī)構(gòu)在整個工作空間中的運(yùn)動副約束反力和主動力,最后通過數(shù)值實例計算進(jìn)行驗證。

1 3-PRRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)

3-PRRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)由上下平臺和三個分支相連接組成,運(yùn)動平臺為下平臺,如圖1(a)所示。三個分支完全相同,由一個移動副P、兩個轉(zhuǎn)動副R和一個萬向鉸U組成,其中移動副P運(yùn)動方向垂直于基平臺,兩個轉(zhuǎn)動副R的轉(zhuǎn)動軸線互相平行,且都垂直于移動副運(yùn)動方向,萬向鉸U中的一個轉(zhuǎn)動軸錢垂直于兩個轉(zhuǎn)動副且與動平臺重合,另一個轉(zhuǎn)動軸線垂直于動平臺。分支一和分支二共面。為方便后文描述,分支中與移動副連接的桿件設(shè)為u桿,動平臺連接的桿件設(shè)為d桿(如圖1)。

圖1 3-PRRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)

采用矢量法分析需要各自建立坐標(biāo)系。如圖1所示,基坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)位于基平臺中心,YB軸與三個萬向鉸中心連線共線,ZB軸垂直于動平臺向上。動平臺坐標(biāo)系原點(diǎn)位于動平臺中心,Y軸與三個萬向鉸中心連線共線,Z軸垂直與動平臺向上。分支坐標(biāo)系原點(diǎn)與移動副中心重合,Z軸與移動副運(yùn)動方向重合向上,X軸平行于轉(zhuǎn)動副軸線。少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度計算可利用修正Kutzbach-Grubler[2]公式:

(1)

其中,M為機(jī)構(gòu)自由度;n為構(gòu)件數(shù)目;g為運(yùn)動副數(shù)目;fi是第i個運(yùn)動副的自由度;d為公共約束因子,d=6-λ,λ為機(jī)構(gòu)的公共約束;v為除去公共約束因素后的冗余約束數(shù)。

2 初始位形下受力分析

初始位形下的3-PRRU機(jī)構(gòu)動平臺與基平臺平行,根據(jù)靜力平衡條件分析各個約束力的大小,以便后文對一般位形下的受力進(jìn)行驗證。

2.1 動平臺靜力模型

首先對動平臺建立靜力模型。假設(shè)動平臺所受所有外力和力偶向質(zhì)心簡化為一個六維合外力矢量Fh。Fh=(fhTh)T=(fhxfhyfhzThxThyThz)T

(2)

動平臺靜力模型如圖2所示。動平臺受到三個萬向鉸所提供的約束,每個萬向鉸提供三個沿坐標(biāo)軸方向的約束力fku和一個約束力偶Tku(其中k=x,y,z)。需要指出的是,動平臺受力分析均在動坐標(biāo)系下進(jìn)行求解。

圖2 動平臺受力模型

根據(jù)力平衡條件,并向質(zhì)心取矩可得如下平衡方程:

(3)

2.2 分支靜力模型

對整個分支受力分析以便找出移動副與萬向鉸之間的約束關(guān)系方程。三個分支在動平臺與基平臺平行時姿態(tài)相同,可用同一模型表示,如圖3(a)。需要指出的是,分支受力分析均在分支坐標(biāo)系下進(jìn)行求解。

圖3 分支受力模型

移動副P和轉(zhuǎn)動副R為分支提供兩個沿x軸和y軸的約束力和沿y軸和z軸的轉(zhuǎn)矩。萬向鉸對分支提供三個約束力和一個約束力偶。

將所有分支與動平臺連接的連桿d單獨(dú)取出進(jìn)行受力分析。分析參考坐標(biāo)系如圖建立,坐標(biāo)原點(diǎn)與轉(zhuǎn)動副中心重合。各個運(yùn)動副對d桿提供的約束力和力偶如圖3(b)所示。

分別對各自x軸取距可得公式(4)、(5)

(4)

(5)

根據(jù)上述所得方程,一共12個方程,12個未知數(shù),可以得出如下系數(shù)矩陣形式方程,并解出當(dāng)動平臺與基平臺平行時U副對分支提供的各個約束的大小。

3 一般位形下受力分析

由于機(jī)構(gòu)工作中會在不同的位姿下完成所需工作任務(wù),所以需要分析整個工作空間位形下的靜力模型。該機(jī)構(gòu)沿z軸移動的自由度不會影響機(jī)構(gòu)約束變化,所以僅分析機(jī)構(gòu)動平臺轉(zhuǎn)動時約束變化規(guī)律。

用歐拉角來表示動平臺轉(zhuǎn)角,假設(shè)動平臺沿基坐標(biāo)系XB軸和YB軸的夾角分別為θ和γ,根據(jù)幾何關(guān)系可知兩角的極限位置范圍。

(6)

θ的范圍表示當(dāng)分支一和分支二分別與動平臺共面時,達(dá)到機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動的正負(fù)極限位置。γ角向負(fù)極限位置變大時,由于動平臺會回轉(zhuǎn),所以只計算到當(dāng)l3桿與基平臺平行時的位置。

3.1 動平臺靜力模型

(7)

(8)

圖4 動平臺受力模型

根據(jù)圖4中各個力/力偶方向上的幾何關(guān)系可得:

3.2 三個分支靜力模型

各個分支在動平臺正轉(zhuǎn)情況下的靜力模型如圖5所示,分支受力分析均在分支坐標(biāo)系下進(jìn)行求解。

圖5 分支受力模型

根據(jù)圖5靜力模型以及靜平衡條件可以得到下面兩組方程:

(9)

(10)

由于動坐標(biāo)系姿態(tài)相對于分支三坐標(biāo)系關(guān)系到了三個軸的角度,方向向量不能直觀看出,需要運(yùn)用旋轉(zhuǎn)矩陣對動坐標(biāo)系下的萬向鉸約束力和約束力偶進(jìn)行坐標(biāo)變換。通過Z-Y-X歐拉角建立旋轉(zhuǎn)矩陣來表示坐標(biāo)變換。其中θ、γ分別為兩個姿態(tài)角,且動平臺沿z軸沒有轉(zhuǎn)動,那么約束方向向量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換可以用式(11)表示:

(11)

其中:

(12)

根據(jù)圖5中結(jié)構(gòu)幾何關(guān)系可得各個約束在各自坐標(biāo)系下的方向矢量:

其中:

k=x,y,z。

3.3 轉(zhuǎn)動副R靜力求解

轉(zhuǎn)動約束求解同樣需借助拆桿法,取與轉(zhuǎn)動副相連接桿件進(jìn)行受力分析并且求解。為直接解出轉(zhuǎn)動副的力偶,取三個分支與移動副相連的連桿做受力分析如圖6,因為三個分支此部分的受力模型相同,故可以用一個簡圖來表示。

圖6 轉(zhuǎn)動副求解模型

根據(jù)圖6模型可以得出關(guān)于轉(zhuǎn)動副R2對分支產(chǎn)生的約束力和約束力偶。根據(jù)靜平衡條件可得公式(13)。

根據(jù)式(7)、(8)、(9)、(10)、(13)可以得到一組含有42個方程的方程組,列出系數(shù)矩陣,通過matlab軟件矩陣左除法對方程組進(jìn)行求解,可以得到各個約束的變化。

4 算例分析

4.1 機(jī)構(gòu)條件設(shè)置

假設(shè)動平臺所受的已知六維合外力矢量為:

Fh=(fhTh)T=(2 2 3 5 5 6)T

(14)

其中力和力偶的單位分別為N和N·m。

機(jī)構(gòu)參數(shù)如表1。

表1 結(jié)構(gòu)參數(shù)

4.2 動平臺初始姿態(tài)下數(shù)據(jù)結(jié)果

根據(jù)第二節(jié)得出方程聯(lián)立并代入數(shù)值,最后可得各個U副的約束力和約束力偶的數(shù)值(見表2)。

4.3 動平臺整個空間姿態(tài)下數(shù)據(jù)結(jié)果

根據(jù)第三節(jié)得出結(jié)論以及平衡方程可得機(jī)構(gòu)整個工作空間下的靜力全解,并繪出各個運(yùn)動副約束力/力偶隨工作空間歐拉角變化等高線,如圖7-圖9所示。

表2 得出在動平臺與基平臺平行位形下的各個力的值

圖7為U副的對分支約束變化圖,x軸為動平臺沿x轉(zhuǎn)角變化的時間軸,y軸為動平臺沿y軸轉(zhuǎn)角變化的時間軸,圖中線上數(shù)值代表該對應(yīng)位形下的約束反力/力偶大小。分支三萬向鉸約束反力偶不隨位形變化恒為5 N/m。

圖8為移動副對分支約束變化圖,x軸為動平臺沿x轉(zhuǎn)角變化的時間軸,y軸為動平臺沿y軸轉(zhuǎn)角變化的時間軸,線上數(shù)值代表該對應(yīng)位形下的約束反力/力偶大小。

圖7 各個分支萬向鉸約束反力/力偶(N/N·m)

圖8 各個分支移動副約束反力/力偶(N/N·m)

圖9為轉(zhuǎn)動副約束變化圖,其中x軸為動平臺沿x轉(zhuǎn)角變化的時間軸,y軸為動平臺沿y軸轉(zhuǎn)角變化的時間軸,線上數(shù)值代表該對應(yīng)位形下的約束反力/力偶大小。

圖7—圖9中可以看出在整個空間位形下,約束反力/力偶變化相對平穩(wěn),當(dāng)動平臺轉(zhuǎn)動到接近奇異極限位置時,會發(fā)生劇烈突變,所以該機(jī)構(gòu)在實際運(yùn)行過程中需盡量避免接近奇異位置。

在程序中設(shè)置t=0,也就是當(dāng)動平臺與基平臺平行的時候,可以得出當(dāng)動平臺與基平臺平行時的一組約束力和約束力偶的數(shù)據(jù)(見表3)。根據(jù)此數(shù)據(jù)與之前單獨(dú)分析動平臺與基平臺平行的位形下解出的各個約束力和力偶的數(shù)值對比，驗證其結(jié)果正確性。

圖9 各個分支轉(zhuǎn)動副約束反力/力偶(N/N·m)

U副約束力/NP副約束力/NR副約束力/NU副約束力偶/(N·m)P副約束力偶/(N·m)R副約束力偶/N·m驅(qū)動力/N分支一x-68．881668．881668．8816-4．2458--y000--15．84280z18．8704--18．8704--15．498415．498418．8704分支二x-64．451764．451764．4517-0．0792--y000--14．82390z0．3519--0．3519--14．501614．50160．3519分支三x2．0000-2．0000-2．00005．0000--y2．4299-2．4299-2．4299-0．45730z-22．2222-22．2222-0．5000-0．4500-22．2222

通過表3可以看,出當(dāng)t=0時各個約束力和力偶與4.2節(jié)計算結(jié)果一致。

5 結(jié) 論

a) 3-PRRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)在受到6維合外力下,在整個工作空間下的受力相對較為均勻,但是當(dāng)達(dá)到奇異極限位形時,各個關(guān)節(jié)的所施加的約束力和力偶劇增。

b) 在動平臺所受六維合外力Fh的情況下,根據(jù)整個空間位形下的約束變化圖可以看出,分支一與分支二的萬向鉸(U副)所提供的約束反力相比與分支三的萬向鉸(U副)較大,但是分支三萬向鉸(U副)接近奇異狀態(tài)時提供的約束反力的變化相對于其余兩個分支更加劇烈。約束力偶方面,分支一與分支二萬向鉸(U副)提供的約束力偶變化相對劇烈。分支三的萬向鉸(U副)提供的約束力偶只與動平臺所受外力偶沿y軸分量有關(guān)。

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(責(zé)任編輯： 康 鋒)

Static Analysis of 3-PRRU Parallel Manipulator

WANGChenga,XIANGJi-nana,LIQin-chuana,CHENQiao-hongb

(a. Faculty of Mechanical Engineering & Automation; b. The School of Information Science and Technology, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China)

The 3-PRRU parallel manipulator has two rotational degrees of freedom and one translational degree of freedom. It has no parasitic motion and can be implemented in various applications. However, the present studies are mainly focusing on its kinematics, while static analysis and study are inadequate. Static analysis of the 3-PRRU parallel manipulator is performed with the vector method. First, an equation of equilibrium of couples of bars of the manipulator at ordinary pose is established with the method of d, Franceismantling bar, then the pair constraint force and active force of the movement of the manipulator in the whole work space are solved, and the solutions are checked via numerical examples. The work provides a theoretical basis for the structure design and practical application of the 3-PRRU parallel manipulator.

parallel manipulator; static analysis; constraint/couples

1673- 3851 (2015) 01- 0087- 08

2014-06-27

國家自然科學(xué)基金資助(51275479)

王 程(1989-),男,陜西渭南人,碩士研究生,主要從事機(jī)器人技術(shù)方面的研究。

陳巧紅,E-mail:chen_lisa@zstu.edu.cn

TP242; TH112; TH113

A