劉小寶

《方程的意義》的主要任務(wù)就是通過(guò)教學(xué)幫助學(xué)生初步建立方程的概念，是小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)的典型內(nèi)容，已經(jīng)進(jìn)行了非常多的研究，特別是從建模的角度有很多精彩的論述，在此不再贅述。我們想基于武漢市的一堂《方程的意義》競(jìng)賽課的課例，從方程研究的背景、開(kāi)課揭題、方程的作用、式子分類及板書設(shè)計(jì)等幾個(gè)小的切入口來(lái)談一談對(duì)這一內(nèi)容的一些研究與思考。

一、方程研究的大背景是什么？

首先，“式子”是方程研究的大背景。數(shù)學(xué)意義上的“式子”是指算式、代數(shù)式和方程式等的總稱。在小學(xué)提得比較多的是算式，一般需要算出得數(shù)。代數(shù)式則是指用代數(shù)運(yùn)算法（加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方）把數(shù)和表示數(shù)的字母聯(lián)結(jié)起來(lái)的式子。代數(shù)式分為有理式和無(wú)理式，有理式又分為整式（單項(xiàng)式、多項(xiàng)式）和分式。方程式也是式子的一種。從這一點(diǎn)來(lái)講，研究方程，式子這個(gè)大背景不能丟。

其次，“等式”是方程的“屬”概念。所謂“等式”是表示兩個(gè)數(shù)或兩個(gè)代數(shù)式相等關(guān)系的式子。我們這里所說(shuō)的方程，也叫方程式，是指含有未知數(shù)的等式。因而式子、等式和方程三者之間是“屬→種（屬）→種”的關(guān)系，在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書的編排中，也是首先通過(guò)天平測(cè)量得到“50+50=100”這個(gè)式子，再借小精靈來(lái)揭示等式這一屬概念，為下面建立方程的概念作好鋪墊。人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)關(guān)于方程的編排脈絡(luò)也是先解決整式的概念及加減法等問(wèn)題，再來(lái)建立方程的概念，學(xué)習(xí)一元一次方程。

二、為什么一開(kāi)課就揭示課題？

下面是本節(jié)課的開(kāi)課環(huán)節(jié)。

課件出示填空題。

1.某班男生有24人，女生有[x]人，這個(gè)班一共有（ ）人。

2.小紅每分鐘打字50個(gè)，[m]分鐘可以打字（ ）個(gè)。

3.有[a]個(gè)餃子，每盤裝10個(gè)，可以裝（ ）盤。

揭示課題：剛才我們列出的這些都是數(shù)學(xué)式子，數(shù)學(xué)式子還有很多，今天這節(jié)課我們繼續(xù)來(lái)研究一種特殊的式子——方程。

板書：方程的意義。

課題的揭示時(shí)機(jī)，無(wú)非三種情況，一是課始，一是課中，一是課后。究竟什么時(shí)候揭示最好，這個(gè)要看每位教師教學(xué)的設(shè)計(jì)意圖，不好定論。作為一名基層教研員，在平時(shí)下校視導(dǎo)聽(tīng)課時(shí)，發(fā)現(xiàn)一些教師對(duì)課題的揭示不是很在意，新授課都上完了，到鞏固練習(xí)時(shí)課題才“粉墨登場(chǎng)”，甚至下課鈴響了，課題還未正式揭示（板書）的情況。

本節(jié)課一開(kāi)課就及時(shí)揭示“方程的意義”這一課題，主要有兩點(diǎn)好處：一是先入為主，讓師生都盡早地明確今天的教學(xué)內(nèi)容。同時(shí)，方程是學(xué)生對(duì)式子認(rèn)識(shí)的一次擴(kuò)充，填空題復(fù)習(xí)了式子，所以此時(shí)通過(guò)談話明確：數(shù)學(xué)式子還有很多，今天這節(jié)課我們繼續(xù)來(lái)研究一種特殊的式子——方程，并板書揭示課題“方程的意義”，所以此時(shí)板書揭示課題也是一種“順勢(shì)而教”。二是定位板書的作用，黑板上面正中的位置確定了，其它的板書也就好布局了。

三、怎樣認(rèn)識(shí)方程的作用？

有的觀點(diǎn)認(rèn)為方程可以幫助學(xué)生建立“等價(jià)模型”；也有的觀點(diǎn)認(rèn)為方程可以訓(xùn)練學(xué)生找“等量關(guān)系”；還有的觀點(diǎn)認(rèn)為方程能幫助學(xué)生解題……《教師教學(xué)用書》也對(duì)方程的作用從三個(gè)方面進(jìn)行了闡述：一是有助于培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，發(fā)展學(xué)生思維的靈活性；二是有助于理解和鞏固所學(xué)的算術(shù)知識(shí)；三是有利于加強(qiáng)中小學(xué)數(shù)學(xué)的銜接。

以上這些說(shuō)法都有道理，從純應(yīng)用的角度來(lái)說(shuō)，個(gè)人比較傾向于把方程的作用定位于“能比較順暢地解決問(wèn)題”。數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決從操作層面來(lái)講無(wú)非兩大途徑，一是計(jì)算，二是推理。方程的作用在于：使學(xué)生擁有的解決實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)工具從列出算式解的單一，到既可以列出算式解，也可以列出方程解的多元。相對(duì)而言，方程這一工具的優(yōu)越性就在于它解題思路的“順暢”！

小學(xué)階段，盡管二者都以四則運(yùn)算和常見(jiàn)數(shù)量關(guān)系為基礎(chǔ)，都需要分析數(shù)量關(guān)系，但相對(duì)算術(shù)法把未知數(shù)始終作為一個(gè)“目標(biāo)”，不參與列式運(yùn)算，解題思路迂回曲折而言，方程能以一個(gè)字母（如[x]）為代表和已知數(shù)的地位等同起來(lái)，一起參與列式運(yùn)算，所以解題思路更加直接、簡(jiǎn)明、順暢，極大地降低了思維難度，適用面也會(huì)更廣。學(xué)生只要具備兩個(gè)基礎(chǔ)，一是能用方程表示數(shù)量關(guān)系（列方程），二是會(huì)求未知數(shù)（解方程），就能夠利用方程這個(gè)工具順暢地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題了。

四、怎樣“分類”更有效？

首先，我們來(lái)看一看本節(jié)課關(guān)于這個(gè)環(huán)節(jié)的實(shí)錄。

師：剛才我們通過(guò)天平演示，得到了這么多的式子，我們?cè)趺囱芯克鼈兡?？你們有什么好的建議？

生：可以把它們分類。

師：那就請(qǐng)你們給這些式子分分類吧。

小組活動(dòng)，展示三種不同分法。

分類一：

分類二：

分類三：

師：為什么大家分出來(lái)的結(jié)果會(huì)不一樣呢？

生：因?yàn)槲覀兊姆诸悩?biāo)準(zhǔn)不同。

師：那你們觀察、討論一下，這每一種分法都是按照什么標(biāo)準(zhǔn)分的？

小組討論。集中反饋：

生1：第一種是含有未知數(shù)的分一類，不含有未知數(shù)的分一類。

生2：第二種分法是按照等式和不等式分成了兩類。

師：第三種分法誰(shuí)看明白了？

生：第三種分法分了兩次，第一次是按等式和不等式分成兩類，第二次是按照含不含未知數(shù)又把等式分成了兩類。

師：大家分析得非常好。在大家的分類結(jié)果里有一類非常特殊的式子（指著方程），你們知道它們叫什么嗎？

生：方程。

師：對(duì)，這一類就是我們今天要研究的方程?，F(xiàn)在我們來(lái)觀察這些方程，你能用自己的話說(shuō)說(shuō)什么樣的式子是方程嗎？請(qǐng)大家在四人小組里說(shuō)一說(shuō)……

對(duì)于“方程的意義”這一內(nèi)容的教學(xué)，“分類”是繞不過(guò)去的一道坎。所謂分類，實(shí)質(zhì)就是對(duì)事物本質(zhì)屬性的一種歸納和提煉。本節(jié)課對(duì)于分類的處理突出了“無(wú)序→分類→定向”的思路。開(kāi)課時(shí)見(jiàn)過(guò)幾個(gè)式子，通過(guò)天平測(cè)量，又認(rèn)識(shí)了一些新的式子（包括等式），這么多的式子怎么研究呢？這時(shí)“分類”的必要性就體現(xiàn)出來(lái)，通過(guò)分類，定向聚焦于新的、過(guò)去少見(jiàn)的“式子”進(jìn)行研究，找出它們的共同特點(diǎn)，歸納提煉出方程的定義。

五、板書為什么要這樣設(shè)計(jì)？

板書素有“微型教案”之稱，它是課堂教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過(guò)程的縮影。好的課堂板書不僅能呈現(xiàn)知識(shí)的形成過(guò)程，顯現(xiàn)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，而且還能凸現(xiàn)教學(xué)的重難點(diǎn)，有利于學(xué)生建構(gòu)新知。下面是這節(jié)課的板書設(shè)計(jì)。

通過(guò)這個(gè)板書，想傳遞出的信息有兩點(diǎn)。一是左邊的流程圖呈現(xiàn)方程這一概念形成的過(guò)程，即通過(guò)天平平衡實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生找到天平兩端數(shù)量間的相等關(guān)系，明確等式的含義；到后面通過(guò)分類，找到含未知數(shù)的等式，揭示方程的意義；再通過(guò)習(xí)題的訓(xùn)練，使學(xué)生感受到，方程可以表示數(shù)量關(guān)系，數(shù)量關(guān)系也可以用方程來(lái)表示。當(dāng)然這也是本節(jié)課的一個(gè)教學(xué)過(guò)程的提煉，方便學(xué)生系統(tǒng)地了解新知產(chǎn)生的歷程；二是右邊的集合圖（當(dāng)然這幅集合圖是由學(xué)生親手繪制的），既能與上面方程的文字定義相對(duì)應(yīng)，又能直觀地呈現(xiàn)出方程與等式之間的聯(lián)系。

（作者單位：武漢市青山區(qū)教育科學(xué)研究中心）

責(zé)任編輯 林云志endprint