葉獻(xiàn)輝，范晨光，蔡逢春，張毅雄

（1.中國(guó)核動(dòng)力研究設(shè)計(jì)院核反應(yīng)堆設(shè)計(jì)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610041；2.西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，成都 610031）

懸臂疊層板狀結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性研究

葉獻(xiàn)輝1，范晨光2，蔡逢春1，張毅雄1

（1.中國(guó)核動(dòng)力研究設(shè)計(jì)院核反應(yīng)堆設(shè)計(jì)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610041；2.西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，成都 610031）

將管道理論引入疊層板狀結(jié)構(gòu)的流致振動(dòng)研究，在勢(shì)流理論下，基于輸流管道的哈密頓原理，建立懸臂支承疊層板狀結(jié)構(gòu)的流致振動(dòng)模型，用微分求積法對(duì)模型的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行離散，運(yùn)用特征值分析與響應(yīng)分析結(jié)合的方法，確定系統(tǒng)失穩(wěn)的臨界流速與形式，并研究不同參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響。結(jié)果表明，懸臂疊層板發(fā)生顫振失穩(wěn)，間隙，管／液質(zhì)量比，間隙和流速非對(duì)稱(chēng)參數(shù)對(duì)顫振流速有一定的影響，但在該研究參數(shù)范圍內(nèi)對(duì)系統(tǒng)失穩(wěn)形式?jīng)]有影響。

穩(wěn)定性；微分求積法；疊層板；不可壓縮流；臨界流速

疊層板狀結(jié)構(gòu)在反應(yīng)堆結(jié)構(gòu)工程中有重要的應(yīng)用。當(dāng)平行疊層板結(jié)構(gòu)被安裝在剛性矩形管內(nèi)時(shí)，冷卻流由于受到管道約束而呈現(xiàn)出管流特征。為研究方便起見(jiàn)，可以將這種結(jié)構(gòu)近似視為管道結(jié)構(gòu)。與管道不同的是，薄板所處的流體環(huán)境導(dǎo)致了單塊板上、下兩面存在著壓強(qiáng)差和流速差。在這種情況下，流體對(duì)單個(gè)板乃至整個(gè)疊層結(jié)構(gòu)的振動(dòng)都具有很強(qiáng)的耦合效應(yīng)［1］。因此，對(duì)這種結(jié)構(gòu)進(jìn)行穩(wěn)定性分析具有一定難度。

對(duì)該問(wèn)題前人已有不少工作。早先人們發(fā)現(xiàn)冷卻劑流經(jīng)管道時(shí)，由于兩側(cè)通道的壓強(qiáng)差和流速差，會(huì)使板產(chǎn)生屈曲破壞。國(guó)外較早的研究者大都采用單塊板模型，對(duì)流體的處理也較為初步。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)的研究取得了很大進(jìn)展。郭長(zhǎng)青等［2－3］采用板狀梁的力學(xué)模型，對(duì)疊層板結(jié)構(gòu)的干模態(tài)的固有頻率和振型進(jìn)行了研究；采用勢(shì)流理論導(dǎo)出的流體力研究了疊層板在流場(chǎng)中的固有頻率特性，并計(jì)算了其臨界流速。楊翊仁等［4－6］研究一個(gè)置于水槽中的多跨寬梁，考慮流體的黏性和耦合效應(yīng)，求出了該模型中水的附加質(zhì)量和阻尼，并將其推廣到疊層板狀梁結(jié)構(gòu)中，獲得了靜水中的固有頻率和振型，與實(shí)驗(yàn)做了比較；同時(shí)還利用假設(shè)模態(tài)法研究了Poiseuille流中剛性矩形管內(nèi)的板狀梁的動(dòng)力特性和穩(wěn)定性［7］。陳貴清等［8］首先研究了有不可壓縮無(wú)黏流體的彈性矩形管內(nèi)的簡(jiǎn)支板狀梁的穩(wěn)定性，而后研究了線性和非線性支承對(duì)發(fā)散臨界流速的影響［9－10］。由于疊層板狀結(jié)構(gòu)類(lèi)似于矩形輸流管道，本文針對(duì)這一特點(diǎn)，借鑒輸流管道對(duì)流體的處理方法，研究疊層板狀結(jié)構(gòu)流固耦合系統(tǒng)的動(dòng)力特性和臨界流速問(wèn)題。

1 動(dòng)力學(xué)方程

考慮如圖1所示的疊層板狀結(jié)構(gòu)的管道模型。與梁式模型相同的是，將每個(gè)燃料板視為只有橫向振動(dòng)的梁，不同的是，梁與梁之間與側(cè)壁共同構(gòu)成了類(lèi)似于管道的流體環(huán)境。為方便推導(dǎo)，進(jìn)行下列假設(shè)：

（1）流體是無(wú)旋、無(wú)黏性，并且不可壓縮；

（2）模型X向兩側(cè)由薄板密封，但不約束疊層板Y向位移，不計(jì)上下流道流體交換；

（3）上、中、下三層板做梁式橫向彎曲變形，在長(zhǎng)度方向不可伸長(zhǎng)；

（4）結(jié)構(gòu)做微幅振動(dòng)；

（5）忽略重力和材料阻尼的影響。

圖1 疊層板狀結(jié)構(gòu)的管道模型Fig.1 Plate-type pipemodel

一端固支，另一端自由的三塊長(zhǎng)度為L(zhǎng)的彈性板相互平行，間隙中充滿(mǎn)水。下、中、上三塊板厚度分別為t1、t2、t3，單位長(zhǎng)度質(zhì)量為m1、m2、m3；下、上流道水的流速分別為U1和U2，單位長(zhǎng)度質(zhì)量為mf1、mf2；其它參數(shù)見(jiàn)圖1。

下、中、上三塊板的Y向位移分別用u1（z，t）、u2（z，t）和u3（z，t）表示，下、上間隙中面水的Y向位移用uf1（z，t）和uf2（z，t）表示。根據(jù)1、2假設(shè)，有uf1＝（u1+u2）／2，uf2＝（u2+u3）／2，mf1＝ρ1B（h1+u2－u1），mf1＝ρ1B（h2+u3－u2），其中ρ1為流體的密度。設(shè)ez和ey分別為Z向和Y向的單位向量，則流動(dòng)速度Uf1和Uf2為

式中“′”和“·”分別表示對(duì)z和時(shí)間的微分，Cf1，Cf2為板彎曲引起流體在z負(fù)向上的位移，其大小為

系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)是：

式中，Ts，Vs為板的動(dòng)能和勢(shì)能；Tf，Vf為流體的動(dòng)能和勢(shì)能，它們?yōu)?/p>

由于流體不可壓縮

自由端的位置向量R和與出口過(guò)流斷面垂直的單位向量τ分別為

將式（1）～（5）代入式（6），外力虛功W為零，經(jīng)過(guò)變分整理可得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

式中：

雖然在運(yùn)動(dòng)方程的推導(dǎo)中已經(jīng)做了取舍，但式（7）仍非常復(fù)雜，為簡(jiǎn)化問(wèn)題，取

同時(shí)舍去高階項(xiàng)，然后將方程無(wú)量化并按文獻(xiàn)［1］對(duì)方程采用微分求積法離散，可得：

將式（10）與式（11）合并，得到一般形式

對(duì)式（14）求解，得到復(fù)數(shù)形式的Ω，其中Im（Ω）為系統(tǒng)的無(wú)量綱自振頻率。隨著流速的增大，可以得到對(duì)應(yīng)于流速的一系列Ω值，當(dāng)Re＞0，且Im（Ω）≠0時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生顫振失穩(wěn)；當(dāng)Re（Ω）＞0且Im（Ω）＝0時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生屈曲失穩(wěn)。

2 疊層板狀結(jié)構(gòu)的臨界流速和失穩(wěn)特性

取結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)L＝0.4 m、B＝0.05 m、t＝0.002 m；材料密度ρ2＝8 400 kg／m3；彈性模量E＝98 GPa；間隙h1＝h2＝h＝0.01 m；流體密度ρ1＝1 000 kg／m3，代入式（14），采用Matlab計(jì)算系統(tǒng)Ω。

圖2給出了懸臂支承疊層板狀結(jié)構(gòu)前7階模態(tài)的復(fù)頻率特性。當(dāng)u很小時(shí)，頻率方程的根都是在復(fù)平面的下半部分或在虛數(shù)軸上。隨著流速的增加，1階特征值的實(shí)部最先是呈負(fù)向增長(zhǎng)的趨勢(shì)，虛部則呈現(xiàn)出減小趨勢(shì)，當(dāng)流速增大至某一值時(shí)，在圖2中為u＝6.8，系統(tǒng)1階特征值的虛部為0，而實(shí)部則出現(xiàn)了兩個(gè)分支。在實(shí)部軸上的，軌跡曾一度接近原點(diǎn)，但隨后又離開(kāi)原點(diǎn)，沒(méi)有穿過(guò)虛軸進(jìn)入不穩(wěn)定區(qū)。通過(guò)對(duì)該流速段系統(tǒng)在流體激勵(lì)下的響應(yīng)分析得知，系統(tǒng)經(jīng)歷有阻尼的振動(dòng)并未出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象。圖3（a）給出了u＝7.0時(shí)上板中點(diǎn)響應(yīng)的相圖。在這種情況下，1階模態(tài)沒(méi)有產(chǎn)生屈曲型不穩(wěn)定。對(duì)于第4階頻率，隨著流速的增大，先是經(jīng)歷了有阻尼的振動(dòng)過(guò)程。當(dāng)無(wú)量綱流速等于9.6時(shí)，第4階模態(tài)穿過(guò)虛軸進(jìn)入復(fù)平面的上半部分，系統(tǒng)發(fā)生了顫振，此時(shí)有比較規(guī)則的振型，系統(tǒng)存在周期解，如圖3（b）為此時(shí)上板中點(diǎn)響應(yīng)的相圖。當(dāng)無(wú)量綱流速大于9.6時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生了顫振型不穩(wěn)定，圖3（c）給出了u＝10.2時(shí)上板中點(diǎn)響應(yīng)的相圖。因此，u ＝9.6就是系統(tǒng)產(chǎn)生顫振失穩(wěn)的臨界流速。

圖2 懸臂支承模型前7階的Argand圖Fig.2 The first7 frequencies Argand graph of the cantilevered model

圖3 模型響應(yīng)的相圖Fig.3 The phase graph of the cantilevered model

3 不同參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的影響

3.1 幾何參數(shù)的影響

板的間隙對(duì)結(jié)構(gòu)的臨界流速有著重要的影響。圖4給出了間隙h在0.002～0.02 m之間變化時(shí)實(shí)際臨界流速的變化趨勢(shì)。從圖可以看出，在有量綱的情況下，隨著間隙的增大，最低臨界流速大體都呈下降趨勢(shì)。在h＝0.005m之前及h＝0.01m之后的趨勢(shì)較為明顯，在時(shí)，最低臨界流速呈現(xiàn)出先減小又增大的趨勢(shì)。在研究中發(fā)現(xiàn)，間隙的非對(duì)稱(chēng)顯著影響著結(jié)構(gòu)的固有頻率和響應(yīng)。式（9b）取間隙非對(duì)稱(chēng)參數(shù)γ＝h2／h1可推導(dǎo)式（10）類(lèi)似方程，保持h1＝0.01 m，在0.5～2之間變化γ，其它參數(shù)不變，圖5給出了γ與臨界流速Ucr的關(guān)系圖。由圖5可知，間隙非對(duì)稱(chēng)參數(shù)γ對(duì)臨界流速的影響基本上與板的間隙對(duì)臨界流速的影響趨勢(shì)大致相同。在本文研究的參數(shù)變化范圍內(nèi)，γ在0.9附近時(shí)，有最大的臨界流速，但沒(méi)有發(fā)現(xiàn)間隙非對(duì)稱(chēng)參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)類(lèi)型有影響。

圖4 h與臨界流速Ucr關(guān)系圖Fig.4 h vs Ucr

圖5 γ與臨界流速Ucr關(guān)系Fig.5γvs Ucr

圖6 β與臨界流速Ucr關(guān)系Fig.6βvs Ucr

3.2 質(zhì)量參數(shù)的影響

圖6給出了質(zhì)量無(wú)量綱量參數(shù)β與無(wú)量綱臨界流速Ucr的關(guān)系曲線。從圖6得知，最低無(wú)量綱臨界流速隨無(wú)量綱量β的增大呈上升趨勢(shì)。這是因?yàn)?，在回轉(zhuǎn)守恒系統(tǒng)中，結(jié)構(gòu)由于發(fā)散而失去穩(wěn)定，即在臨界流速下，無(wú)量綱頻率為零。發(fā)散是一種靜力現(xiàn)象，因此時(shí)間相關(guān)項(xiàng)不影響臨界流速。文獻(xiàn)［11］中研究了在不同的β值時(shí)，一根兩端簡(jiǎn)支管道的頻率比與無(wú)量綱流速的關(guān)系，表明：“對(duì)應(yīng)于不同β值的頻率，在同樣的無(wú)量綱流速下變?yōu)榱恪?，“只要系統(tǒng)是回轉(zhuǎn)守恒系統(tǒng)，則確定發(fā)散的臨界流速的方法與確定一個(gè)梁承受軸向壓縮力而失穩(wěn)的方法一樣”。

3.3 上下流道流速不等的影響

當(dāng)結(jié)構(gòu)上下兩個(gè)流道存在流速差時(shí)，由于同時(shí)存在兩個(gè)流速，此時(shí)臨界流速的概念需要做如下補(bǔ)充。定義λ＝U2／U1，當(dāng)參數(shù)取定后，結(jié)構(gòu)發(fā)生失穩(wěn)所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)流速中較小者稱(chēng)作對(duì)應(yīng)于λ的臨界流速。式（9b）取流速非對(duì)稱(chēng)參數(shù)λ可推導(dǎo)式（10）類(lèi)似方程，在0.5～2之間變化無(wú)量綱參數(shù)λ，其他參數(shù)不變，圖7給出了lnλ與對(duì)應(yīng)于λ的無(wú)量綱臨界流速Ucr的關(guān)系圖。由圖7可知，對(duì)應(yīng)于λ的無(wú)量綱臨界流速都在lnλ＝0（即λ＝1）時(shí)達(dá)到最大，流速差越大，對(duì)應(yīng)于λ的無(wú)量綱臨界流速越小。在本文研究的參數(shù)變化范圍內(nèi)，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)無(wú)量綱流速非對(duì)稱(chēng)參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)類(lèi)型有影響。

圖7 Inλ與臨界流速Ucr關(guān)系Fig.7 Inλvs Ucr

4 結(jié) 論

本文運(yùn)用管道理論對(duì)懸臂疊層板狀結(jié)構(gòu)力學(xué)模型進(jìn)行了較為系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究。將微分求積法引入疊層板狀結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程的數(shù)值求解。運(yùn)用特征值分析與響應(yīng)分析結(jié)合的方法，研究了系統(tǒng)失穩(wěn)的臨界流速與失穩(wěn)形式，并探討了不同參數(shù)對(duì)系統(tǒng)失穩(wěn)值的影響。算例分析研究表明：懸臂疊層板以顫振的形式發(fā)生失穩(wěn)。顫振臨界隨著管／液質(zhì)量比的增加而增加；隨著上下流道流速差的增加而減?。浑S間隙的增加，臨界流速先減小后增大，大于0.01后顫振速度減??；隨間隙非對(duì)稱(chēng)參數(shù)不是單調(diào)變化，在0.9附近時(shí)有最大的臨界流速。間隙，管／液質(zhì)量比，間隙和流速非對(duì)稱(chēng)參數(shù)對(duì)顫振流速有一定的影響，在本文研究參數(shù)范圍內(nèi)對(duì)系統(tǒng)失穩(wěn)形式?jīng)]有影響。

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Stability of a cantilever lam inated-p late structure

YE Xian-hui1，F(xiàn)AN Chen-guang2，CAIFeng-chun1，ZHANGYi-xiong1

（1.Key Laboratory of Reactor System Design Technology，China Nuclear Power Research and Design Institute，Chengdu 610041，China；
2.School of Mechanics and Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China）

The pipe theory was introduced into the flow-induced vibration study of a laminated plate-type structure.Themechanicalmodelwas set to describe the plate-type structure in potential flow.The dynamic equation was deduced based on Hamilton principle.The differential quadrature method was used to solve the differential equations.And the effects of various parameters on the instability of the system were investigated.The results showed that the cantilevered model has the flutter over the critical flow velocity；parameters of gap，mass ratio，gap asymmetrical parameter and velocity asymmetrical parameter have influences on the flutter velocity，but they have no effect on the system's instability forms in the ranges of parameters considered here.

stability；differential quadraturemethod；plate-type structure；uncompressible flow；critical flow velocity

O323

A

10.13465／j.cnki.jvs.2015.21.031

國(guó)家自然科學(xué)基金青年基金（11102170）資助項(xiàng)目

2014－03－31 修改稿收到日期：2015－03－25

葉獻(xiàn)輝男，博士，高級(jí)工程師，1980年生