☉安徽省合肥第八中學(xué) 孫勇軍☉安徽省合肥市教研室 許曉天

注重基礎(chǔ)創(chuàng)新達(dá)到平穩(wěn)過渡
——2015年安徽省高考數(shù)學(xué)試卷評(píng)析

☉安徽省合肥第八中學(xué) 孫勇軍☉安徽省合肥市教研室 許曉天

安徽省數(shù)學(xué)高考自主命題始于2006年，時(shí)至2015年已經(jīng)走過了十年的歷程.今年的安徽省數(shù)學(xué)高考試題是安徽省自主命題的收關(guān)之作，明年將使用全國(guó)課標(biāo)卷.仔細(xì)研讀試題，頗感命題專家的意圖與苦心，降低難度，凸顯“過渡”.

一、總體分析

1.考點(diǎn)常規(guī)——題型與分值穩(wěn)定今年的安徽高考數(shù)學(xué)試卷與往年的安徽高考數(shù)學(xué)試卷結(jié)構(gòu)和分值相同：?jiǎn)雾?xiàng)選擇題10道，填空題5道，每題5分，共75分；解答題6道，共75分.數(shù)學(xué)試題考查的內(nèi)容常規(guī)，重點(diǎn)內(nèi)容?？疾淮?以下是今年高考數(shù)學(xué)試卷知識(shí)點(diǎn)分布及分值分布統(tǒng)計(jì)表.

2015年安徽高考數(shù)學(xué)試卷知識(shí)點(diǎn)分布及分值分布統(tǒng)計(jì)表

2.難度降低——平穩(wěn)與過渡凸顯

今年的理科數(shù)學(xué)試題難度明顯降低，首先，前8個(gè)選擇題均是較基礎(chǔ)的題目，不需要太多的計(jì)算便可作答.降低選擇題難度后使考生心理放松，能充分發(fā)揮其水平.其次，填空題的難度也有所降低，第16題往往是安徽省命題者“匠心獨(dú)運(yùn)”的問題，是具有較高選拔性的問題之一，但今年試題的難度有較大的降低.最后，6個(gè)解答題由淺入深，由易到難，幾乎每題都易于入手，避免了過去特難的題目（如2010年理科21題，2013年理科21題，2014年理科21題，得分率極低，無(wú)法反映考生的真實(shí)水平，失去選拔功能）.

數(shù)學(xué)試題難度的降低，有利于減輕中學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān).克服了過去高考數(shù)學(xué)成績(jī)分布長(zhǎng)期集中于低分段的狀況，提高了數(shù)學(xué)學(xué)科在高考評(píng)價(jià)中的地位.更重要的是，全國(guó)課標(biāo)卷的相對(duì)難度往往是低于以往安徽省自主命題難度的，今年的試題為明年教師的高考復(fù)習(xí)教學(xué)提供了難度上的參考，為平穩(wěn)銜接到明年的新課標(biāo)卷的高考，做了有益的鋪墊.

3.考查知識(shí)——基礎(chǔ)與重點(diǎn)并重

文、理科試題對(duì)知識(shí)的考查，都特別注重考查高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，但并不刻意追求知識(shí)的覆蓋面，著重考查了支撐學(xué)科知識(shí)體系的主干知識(shí)，以重點(diǎn)知識(shí)為主線組織全卷的內(nèi)容.如函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，文、理科分別占33分和21分，三角函數(shù)、解三角形等每年都作為重點(diǎn)考查內(nèi)容.理科前8道選擇題都是考查基本概念和公式的題型，都可以在課本習(xí)題中尋找到其“母題”或其“影子題”.

4.文、理試卷——差距進(jìn)一步縮小

以往安徽省高考文理科數(shù)學(xué)試題差異較大，去年文理科試卷內(nèi)容重疊的考題有8道，其中3道完全相同的試題，5道部分一致的姊妹題.

今年文、理科數(shù)學(xué)試卷15個(gè)選擇題、填空題中，相同的有6個(gè)，共30分；6個(gè)解答題中有一道解析幾何題基本相同，全卷文、理科相同試題的分值為46分.可見差距進(jìn)一步縮小.

要引起我們注意的是，今年文科第16題三角函數(shù)題難度比理科第16題解三角形要難一點(diǎn)，所以今年安徽省文科平均分與理科平均分的差距也進(jìn)一步加大.這也許是命題專家從更長(zhǎng)遠(yuǎn)的文理合卷的角度思考的結(jié)果.從文、理科相同試題得分情況看，今年文科考生數(shù)學(xué)水平較理科考生差異較大，如：基本相同的解析幾何題，理科平均4.8分，文科僅為2.99分.這一現(xiàn)象應(yīng)該引起中學(xué)數(shù)學(xué)教育，特別是今后安徽省數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)的注意.

二、具體特色

1.題型常規(guī)方法多

如今年的立體幾何題，結(jié)論是證明線線平行與求二面角的余弦值.載體是正方體截去一個(gè)角得到的多面體.題型常規(guī)，情景熟悉.本題對(duì)空間想象能力的考查與計(jì)算緊密結(jié)合，而且有多種途徑可以解決問題，給考生以發(fā)揮的空間.

第19題（本小題滿分13分）如圖1所示，在多面體A1B1D1DCBA中，四邊形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均為正方形，E為B1D1的中點(diǎn)，過A1，D，E的平面交CD1于點(diǎn)F.

圖1

（Ⅰ）證明：EF∥B1C；

（Ⅱ）求二面角E-A1D-B1的余弦值.

方法1：（Ⅰ）由正方形的性質(zhì)可知A1B1∥AB∥DC，且A1B1=AB=DC，所以四邊形A1B1CD為平行四邊形，從而B1C∥A1D.又A1D?面A1DE，B1C?面A1DE，于是B1C∥面A1DE.又B1C?面B1CD1，面A1DE∩面B1CD1=EF，所以EF∥B1C.

（Ⅱ）因?yàn)樗倪呅蜛A1B1B，ADD1A1，ABCD均為正方形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，AB⊥AD.

圖2

而E為B1D1的中點(diǎn)，所以E點(diǎn)的坐標(biāo)為（0.5，0.5，1）.

設(shè)面A1DE的法向量n1=（r1，s1，t1），而該平面上向量得r1，s1，t1應(yīng)滿足的方程一組解，所以可取n1=（-1，1，1）.

設(shè)面A1B1CD的法向量n2=（r2，s2，t2），而該平面上向量由此同理可得n2=（0，1，1）.

所以結(jié)合圖形知，二面角E-A1D-B1的余弦值為

方法2：（Ⅰ）在平面B1A1D1內(nèi)作連接C1D1，C1C，C1F，C1E，如圖3所示，所以四邊形A1B1C1D1為平行四邊形，從而

又因?yàn)樗倪呅蜛A1B1B，ABCD均為正方形，所以于是，故四邊形CDD1C1為平行四邊形.

在平行四邊形A1B1C1D1中，E為B1D1的中點(diǎn)，所以A1，E，C1三點(diǎn)共線，從而面A1ED與面A1C1D為同一平面.故F為CD1與C1D的交點(diǎn)，即F為CD1的中點(diǎn).所以EF∥B1C.

（Ⅱ）連接C1B，交B1C為M點(diǎn)，取A1D中點(diǎn)N，連接C1N，MN，如圖4.

因?yàn)镃C1∥DD1∥AA1，而AA1⊥AB，AA1⊥AD，且AB∩AD=A，所以AA1⊥面ABCD，從而CC1⊥面ABCD.

所以ABCD-A1B1C1D1為正方體，因而C1M⊥B1C.

又A1B1⊥面B1C1CB，所以C1M⊥A1B1.又A1B1∩B1C= B1，所以C1M⊥面A1B1CD，從而C1M⊥A1D.

在三角形A1C1D中，A1C1=C1D，N為A1D的中點(diǎn)，從而C1N⊥A1D.

因?yàn)锳1B1⊥面A1D1DA，從而A1B1⊥A1D，而MN∥A1B1，所以MN⊥A1D，從而∠C1NM為二面角E-A1D-B1的平面角.

設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1，在Rt△C1MN中，MN=1，C1M=

圖3

圖4

所以二面角E-A1D-B1的余弦值

圖5

又平面A1ED∩CD1=F，F(xiàn)∈CD1，所以M點(diǎn)與F點(diǎn)重合，即EF∥B1C.

（Ⅱ）連接AD1，交A1D于點(diǎn)Q，連接B1Q，取B1Q中點(diǎn)P，連接EP，如圖6.

過點(diǎn)P作PO∥A1B1交A1Q于點(diǎn)O，連接EO.

因?yàn)锳B⊥AD，AB⊥AA1，AD∩AA1=A，所以AB⊥面ADD1A1.從而AB⊥D1Q，A1B1⊥D1Q.

又因?yàn)镈1Q⊥A1D，D1Q⊥A1B1，A1D∩A1B1=A1，所以D1Q⊥面A1B1CD.

又因?yàn)镋P是△B1QD1的中位線，所以EP∥D1Q，所以EP⊥面A1B1CD.

又因?yàn)锳1B1⊥A1D，所以PO⊥A1D，所以∠EOP為二面角E-A1D-B的平面角.

圖6

方法4：（Ⅰ）因?yàn)樗倪呅蜛A1B1B，ADD1A1，ABCD均為正方形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，AB⊥AD.

圖7

由已知可得A1（0，0，1），B1（1，0，1），D（0，1，0），CD1的中點(diǎn)，所以EF∥B1C.

2.注重銜接有新意

今年高考數(shù)學(xué)試卷中的數(shù)列問題，曾經(jīng)多次在高考或?？贾谐霈F(xiàn)過.如2009年山東理科20題考查的數(shù)列題：

等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意的n∈N*，點(diǎn)（n，Sn）均在函數(shù)y=bx+r（b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù)）的圖像上.

（Ⅰ）求r的值.

（Ⅱ）當(dāng)b=2時(shí)，記bn=2（log2an+1）（n∈N*）.

解析：（Ⅰ）略.

（Ⅱ）證法一：數(shù)學(xué)歸納法.

證法二：常規(guī)放縮法.

證法三：直接放縮，構(gòu)造輔助對(duì)偶式.

而2015年安徽理科18題數(shù)列題注重了與上述類似考題的銜接，又推陳出新.

第18題設(shè)n∈N*，xn是曲線y=x2n+1在點(diǎn)（1，2）處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

（Ⅰ）求數(shù)列｛xn｝的通項(xiàng)公式；

當(dāng)然也可用數(shù)學(xué)歸納法證明.

再如文科第21題，一道常規(guī)的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的壓軸題，注重了試題與課本的銜接.

第21題（本小題滿分13分）

仔細(xì)分析后發(fā)現(xiàn)此題在課本上都有原型.課本在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中有這樣的例題：某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米.已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm.

（1）瓶子半徑多大時(shí)，能使每瓶飲料的利潤(rùn)最大？（2）瓶子半徑多大時(shí)，能使每瓶飲料的利潤(rùn)最小？

3.少算多想考思路

在以往的考試中，圓錐曲線方面題目的計(jì)算煩瑣復(fù)雜，技巧性很強(qiáng)，對(duì)學(xué)生計(jì)算能力和細(xì)心程度都有較高要求.而今年的試題中圓錐曲線的題目不論小題還是解答題運(yùn)算量都比較小，這有利于考生有一個(gè)良好的心態(tài)去解決后面的解答題，并充分發(fā)揮自己的真實(shí)水平.今年的考題更注重考查數(shù)學(xué)思維方法，選擇題與填空題都不需要過多的復(fù)雜計(jì)算就可得出結(jié)論，而是重在思路的選取上.如文理20題：

第20題（本小題滿分13分）

（Ⅰ）求E的離心率e.

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-b），點(diǎn)N為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為求E的方程（理）.

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-b），點(diǎn)N為線段AC的中點(diǎn)，求證：MN⊥AB（文）.

方法2：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（xM，yM），由題知xM＞0，yM＞0，由點(diǎn)M在線段AB上，題設(shè)條件知，直線OM的斜率

4.能力要求更重要

今年理科函數(shù)大題，以學(xué)生熟悉的二次函數(shù)為載體，考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和最值.由于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和最值，特別是最值平時(shí)訓(xùn)練少，甚至沒有做過，因而得分率底.比如理科第21題，全省30萬(wàn)左右考生，5萬(wàn)2千左右考生得零分，難度系數(shù)0.18.所以加強(qiáng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)，提升學(xué)生的能力是當(dāng)務(wù)之急.

第21題（本小題滿分13分）

設(shè)函數(shù)f（x）=x2-ax+b.由此可知，z=b-滿足條件D≤1的最大值為1.

方法2：D≤1即為|a|+ |b|≤1（或|a+b|≤1且|b-a|≤以看做b是a的二次函數(shù)，其圖像向上平移時(shí)，z增大，最后離開區(qū)域|a|+|b|≤1接觸的點(diǎn)為a=0，b=1.

圖8

從函數(shù)小題來(lái)看，如理科的第15題，文科的第10題，兩個(gè)函數(shù)看似都是我們較熟悉的函數(shù)，當(dāng)然如果不仔細(xì)分析兩函數(shù)圖像的對(duì)稱性，很難解對(duì)這道題.文科的14題也是如此，研究函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)的題型在平時(shí)練習(xí)中是常見的，但要想做對(duì)也不是很容易.

總之，安徽省今年的考題，注重了基礎(chǔ)、銜接和創(chuàng)新，以期與明年安徽省開始執(zhí)行的新課標(biāo)數(shù)學(xué)卷有一個(gè)平穩(wěn)的過渡，值得大家研究和思考.A