☉江蘇省南京市六合區(qū)實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 王安寓

依托旋轉(zhuǎn)研究極限，函數(shù)思想破解難關(guān)

☉江蘇省南京市六合區(qū)實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 王安寓

“直線與圓”是解析幾何的重要組成部分，其地位同圓錐曲線.很多考試都會(huì)命制質(zhì)量上乘的考查直線與圓的位置關(guān)系的題目.求解直線與圓的位置的關(guān)系的題目，最關(guān)鍵的是靈活轉(zhuǎn)化——將題目所給的條件靈活轉(zhuǎn)化為相關(guān)的式子，要能透過表象看透本質(zhì)，看透命題人的目的，看透命題人想考查的知識(shí)點(diǎn)，看透命題人想考查的數(shù)學(xué)方法，應(yīng)用之求解.

題目1 （2014年江蘇南通五校聯(lián)考，18）已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A（-1，0）、B（1，0）、C（3，2），其外接圓為圓H.

（1）求圓H的方程；

（2）若直線l過點(diǎn)C，且被圓H截得的弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程；

（3）對(duì)于線段HB上的任意一點(diǎn)P，若在以C為圓心的圓上都存在不同的兩點(diǎn)M、N，使得點(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn)，求圓C的半徑r的取值范圍.

易求得：（1）x2+（y-3）2=10；（2）x=3或4x-3y-6=0.

本文主要研究第三問.

分析1：由（1）知H（0，3）.解析幾何的一個(gè)特點(diǎn)是數(shù)形結(jié)合.首先作出適合題意的圖形，如圖1，觀察圖1，我們發(fā)現(xiàn)：此題中圓心雖定，但半徑不定——圓C在動(dòng)；點(diǎn)P動(dòng)帶動(dòng)M、N動(dòng)，而且M、N的位置對(duì)于一個(gè)點(diǎn)P還可能有第二種可能.四個(gè)動(dòng)的元素間還沒有一個(gè)定其余隨之定的關(guān)系，而是既相互干擾又有變動(dòng).初讀題，覺得無(wú)從入手，找不到切入口.重新讀題，想到MN是圓的弦，而圓中既變（位置）又不變（長(zhǎng)度）的弦是直徑，是不是從圓的直徑入手？點(diǎn)P是線段HB上的動(dòng)點(diǎn)，是不是優(yōu)先考慮HB的端點(diǎn)？連接HC、BC，易知|HC|＞|BC|，取CH的靠近C的三等分點(diǎn)M0，以C為圓心，以|CM0|=為半徑作圓，延長(zhǎng)HC，與圓C交于N0，則|HM0|=|M0N0|，適合題意（如圖2）.當(dāng)P是線段HB上任意一點(diǎn)時(shí)（不與H重合），連接PC并延長(zhǎng)，與圓C交于M1、N1兩點(diǎn)，則|PM1|＜|HM0|=|M0N0|= |M1N1|，可將PM1N1繞P旋轉(zhuǎn)，則PM1變長(zhǎng)，M1N1變短，到某一位置PMN，必有|PM|=|MN|，即該圓C適合條件.隨著圓C的半徑增大總可以用旋轉(zhuǎn)的方法找到適合題意的割線PMN；而當(dāng)圓C的半徑太大時(shí)，直線HB與圓C不相離，不存在割線，不合題意；當(dāng)圓C的半徑太小時(shí)，連接HC，與圓C交于M2、N2兩點(diǎn)，則|HM2|＞|M2N2|，而M2N2是圓C的最長(zhǎng)的弦，無(wú)論怎樣旋轉(zhuǎn)都不會(huì)有|HM2|=|M2N2|，不合題意.從而求得圓C的半徑的范圍是

圖1

圖2

解析1：見分析1.

分析2：?P∈HB，都有P在圓C外，得|CP|-r＞0.|PM|= |MN|如何轉(zhuǎn)化？注意到MN是圓C的弦，因此聯(lián)系圓C的直徑，必有|MN|≤2r，PM是線段HB上任意一點(diǎn)與圓C上一點(diǎn)連線的長(zhǎng)度，自然與圓心C有關(guān)，依據(jù)三角形中兩邊之差小于第三邊得|CP|-r≤|PM|，從而形成不等式鏈0＜|CP|-r≤|PM|=|MN|≤2r，再考慮?P∈HB，自然轉(zhuǎn)化為最值求解.

解析2：依題意得0＜|CP|-r≤|PM|=|MN|≤2r，即r＜|CP|≤3r恒成立.

分析3：從代數(shù)的角度思考，求出BH的方程，設(shè)出P、N的坐標(biāo)，應(yīng)用中點(diǎn)公式求得M的坐標(biāo)，進(jìn)而考慮M、N在圓C上，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圓有公共點(diǎn)問題，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解.

解析3：易求得直線BH的方程為3x+y-3=0，設(shè)P（m，n）（0≤m≤1），N（x，y）.

因?yàn)樵摲匠探M有解，所以兩個(gè)圓（以（3，2）為圓心、以r為半徑的圓和以（6-m，4-n）為圓心、以2r為半徑的圓）有公共點(diǎn)，所以2r-r≤≤2r+r.

易求得f（m）=10m2-12m+10，m∈［0，1］的值域?yàn)?/p>

點(diǎn)評(píng)：解析1是依托運(yùn)動(dòng)（旋轉(zhuǎn)）找到解決的方法.解析2是由點(diǎn)P在圓C外得|PC|-r＞0，由三角形兩邊之差小于第三邊和圓的弦中直徑最長(zhǎng)，得到PC-r≤PM，MN≤2r，再由條件M為NP的中點(diǎn)溝通，形成一個(gè)不等式鏈，通過恒成立達(dá)到解題的目的，這種求解的想法是源于前面的分析，是通過特殊到一般才形成的解題過程.?P∈HB，都有r＜|CP|≤3r成立，自然運(yùn)用函數(shù)思想，轉(zhuǎn)化為最值問題求解.求解的過程簡(jiǎn)單，而思維的過程艱難.解析1呈現(xiàn)復(fù)雜而學(xué)生易于理解；解析2呈現(xiàn)簡(jiǎn)單而學(xué)生不易想到.如果把解析1的求解過程縮減，用相關(guān)的數(shù)學(xué)式子表征，那么就得到解析2.解析1是解析2的動(dòng)態(tài)演示.解析3是從代數(shù)的角度入手，將點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)圓的位置關(guān)系通過式子表示出來(lái)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解.解析3是解析2的代數(shù)化.

變式1：已知點(diǎn)B（1，0）、H（0，3）、C（3，2），P為線段HB上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作以C為圓心的圓的割線PMN，與圓C交于M、N，設(shè)M為PN的中點(diǎn)，則由所有滿足上述條件的圓C組成的圖形的面積為______.

變式2：已知點(diǎn)B（1，0）、H（0，3）、C（t，2），P為線段HB上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作以C為圓心、以為半徑的圓的割線PMN，與圓C交于M、N，設(shè)M為PN的中點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是_________.

變式3：已知點(diǎn)B（1，0）、H（0，3）、C（2，s），P為線段HB上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作以C為圓心、以為半徑的圓的割線PMN，與圓C交于M、N，設(shè)M為PN的中點(diǎn)，則實(shí)數(shù)s的取值范圍是_________.

變式4：已知點(diǎn)B（1，0）、H（0，3）、C（t，s），P為線段HB上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作以C為圓心、以為半徑的圓的割線PMN，與圓C交于M、N，設(shè)M為PN的中點(diǎn)，則所有適合條件的圓心C的軌跡所構(gòu)成的圖形的面積是________.

變式5：已知點(diǎn)B（1，0）、H（0，3）、C（t，s），P為線段HB上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作以C為圓心、以為半徑的圓的割線PMN，與圓C交于M、N，設(shè)M為PN的中點(diǎn)，則所有適合條件的圓的軌跡所構(gòu)成的圖形的面積是________.

變式6：已知點(diǎn)B（1，0）、H（0，3）、C（3，2），P為線段HB上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作以C為圓心的圓的割線PMN，與圓C交于M、N，設(shè)（λ＞0，λ為已知的數(shù)），則圓C的半徑的取值范圍是_________.

高考鏈接

題目2 （2014年江蘇，18）如圖3所示，為保護(hù)河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū).規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m.經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60m處，點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170m處（OC為河岸），tan∠BCO=

圖3

（1）求新橋BC的長(zhǎng).

（2）當(dāng)OM多長(zhǎng)時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？

題 目 3 （2011年 江 蘇 ，14） 設(shè) 集 合 A=≤（x-2）2+y2≤m2，x、y∈B =（｛x，y）|2m≤x+ y≤2m+1，x、y∈R｝，若A∩B≠?，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_______.

題目4 （2012年江蘇，12）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2+y2-8x+15=0，若直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最大值是_________.

題目5 （2013年江蘇，17）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），直線l：y=2x-4.設(shè)圓的半徑為1，圓心在l上.

（1）若圓心C也在直線y=x-1上，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；

（2）若圓C上存在點(diǎn)M，使|MA|=2|MO|，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.

直線與圓的呈現(xiàn)千姿百態(tài)、百媚千嬌，其求解過程美不勝收、令人流連，其答案馭繁于簡(jiǎn)、合理平實(shí).如果再深層探究，那么會(huì)更搖曳生姿，會(huì)變換得美輪美奐，會(huì)讓你進(jìn)入另一個(gè)仙景——圓錐曲線景觀.

1.王安寓.圓背景 橢圓題 推陳出新淡出奇［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2013（9）.A