☉江蘇省蘇州市立達中學 汪健

加強數(shù)學史的引入有效提升教學效率
——蘇科版八年級《數(shù)學》上冊“勾股定理的逆定理”解讀及教學實錄片段與感悟

☉江蘇省蘇州市立達中學 汪健

一、教材理解

勾股定理的逆定理是上節(jié)勾股定理的繼續(xù)和深化，是對直角三角形的再認識，是判定一個三角形是直角三角形的一種重要方法，在以后的解題中，它將有十分廣泛的應(yīng)用；同時它還是向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合思想的很好素材，其中滲透的利用代數(shù)計算方法證明幾何問題的思想，還為將來學習解析幾何埋下伏筆，所以本節(jié)是本章的重要內(nèi)容之一.

《標準》關(guān)于“勾股定理的逆定理”的要求是：會用勾股定理的逆定理判定直角三角形.

基于以上理解，本節(jié)課的教學目標確定為：

（1）會闡述直角三角形的判定條件（勾股定理的逆定理）.

（2）會應(yīng)用直角三角形的判定條件判定一個三角形是直角三角形.

（3）經(jīng)歷探索一個三角形是直角三角形的條件的過程，發(fā)展合情推理的能力，體會“形”與“數(shù)”的內(nèi)在聯(lián)系.

學生雖然已經(jīng)學習了勾股定理，并在先前學習其他內(nèi)容中已經(jīng)積累了一定的逆向思維和逆向研究的經(jīng)驗，因而，由勾股定理出發(fā)逆向思考獲得逆命題，學生應(yīng)該已經(jīng)具備這樣的意識，但具體研究中，可能要用到“同一法”，這對現(xiàn)階段學生而言可能還具有一定困難，需要教師適時地引導.教科書把此單元設(shè)計為1個課時，是在介紹古巴比倫泥板上神秘的數(shù)組的基礎(chǔ)上，引導學生通過自己畫圖，并嘗試驗證，從而獲得勾股定理的逆定理.

勾股定理的逆定理是初中幾何中的重要內(nèi)容之一，為了更好地體現(xiàn)了它的文化價值，教科書提供了較為豐富的歷史和現(xiàn)實的例子來展示它們的應(yīng)用，因此理解并掌握勾股定理的逆定理，并會應(yīng)用就成為本節(jié)課的教學重點；盡管初二上學期學生的知識增多，能力增強，但思維的局限性還很大，而勾股定理的逆定理的證明方法學生第一次見到，它要求學生按已知數(shù)據(jù)畫出三角形，并通過量角器進行測量三角形三個內(nèi)角的度數(shù)來獲得一個三角形是直角三角形的有關(guān)邊的條件，或讓學生根據(jù)已知條件構(gòu)造一個直角三角形，然后進行全等證明.根據(jù)學生的現(xiàn)有智能狀況，學生不容易想到，因此勾股定理的逆定理的驗證就成為本節(jié)課的教學難點.

二、設(shè)計思路

（一）勾股定理的逆定理引入

1.設(shè)計方案1

（1）情境創(chuàng)設(shè).

美國哥倫比亞大學圖書館收藏著一塊編號為“普林頓322”（plinmpton322）的古巴比倫泥板，上面密密麻麻的寫著一些神秘符號，引起世界上許多學者的興趣.經(jīng)過專家的研究發(fā)現(xiàn)泥板上的一些神秘符號實際上是一些數(shù)組（如圖1）.

問題：古巴比倫泥板上的數(shù)組揭示了什么奧秘呢？你們想知道嗎？

（2）引出課題.

2.設(shè)計方案2

（1）情境創(chuàng)設(shè).

很久以前，古埃及人把一根長繩打上等距離的13個結(jié)，然后用樁釘成如圖2所示的一個三角形.

問題：你知道這個三角形的形狀嗎？為什么？

（2）引出課題.

圖2

設(shè)計意圖：一堂課的開始引入如果能從數(shù)學史中選取素材，讓學生體驗到在數(shù)學的發(fā)展進程中數(shù)學來源于實踐；同時所提問題如果能激起學生已有知識與待研究知識的認知沖突，創(chuàng)造出“我要學”的氣氛，從而讓學生能全身心地投入到探索新知識中來.方案1以“古巴比倫泥板上的數(shù)組揭示了什么奧秘”引入直角三角形的判定條件的探究，這樣容易激發(fā)學生探索問題的興趣；方案2的設(shè)計是創(chuàng)設(shè)了古埃及人利用結(jié)繩的方法得到直角的情境，展現(xiàn)勾股定理的逆定理在解決問題中的作用，認識到現(xiàn)實世界中蘊含著豐富的數(shù)學信息.這兩種設(shè)計方案都對數(shù)學教學素材進行歷史挖掘，讓學生感受數(shù)學文化的淵源.

（二）勾股定理的逆定理探索

1.設(shè)計方案1

以古巴比倫泥板上的一組數(shù)組60、45、75為例.

（1）算一算：通過計算發(fā)現(xiàn)數(shù)組60、45、75之間的數(shù)量關(guān)系為602+452=752.

（2）畫一畫：畫△ABC，使△ABC的三邊長為60cm、45cm、75cm.

（3）量一量：用量角器量所畫三角形的3個內(nèi)角，看有無直角.

（4）議一議：三角形三邊的數(shù)量關(guān)系與三角形的形狀特征有什么關(guān)系？

（5）練一練：再畫兩個三角形，使它們的三邊長分別為3cm、4cm、5cm和5cm、12cm、13cm，用量角器量一量所畫三角形的3個內(nèi)角，看有無直角.

（6）猜一猜：由此你能得到什么結(jié)論？

（7）想一想：你得到的結(jié)論與勾股定理有怎樣的關(guān)系？

2.設(shè)計方案2

（1）畫一畫：同桌2人一組，分別進行畫圖練習：1人畫一個三角形，使三角形的三邊長為3cm、4cm、5cm；另1人畫一個直角三角形，使兩直角邊長為3cm、4cm.

（2）做一做：同桌2人各自剪下所畫三角形，看兩個三角形能否重合，是否全等.

（3）算一算：通過計算發(fā)現(xiàn)數(shù)組3、4、5之間的數(shù)量關(guān)系為32+42=52.

（4）議一議：三角形三邊的數(shù)量關(guān)系與三角形的形狀特征有什么關(guān)系？

（5）練一練：同桌2人一組，分別再畫一個三角形：1人畫一個三角形，使三角形的三邊長為5cm、12cm、13cm；另1人畫一個直角三角形，使兩直角邊長為5cm、12cm.畫好后各自剪下所畫三角形，看兩個三角形能否重合，是否全等.接著通過計算找出此時數(shù)組5、12、13之間的數(shù)量關(guān)系.

（6）猜一猜：由此你能得到什么結(jié)論？

（7）議一議：你能運用三角形的全等對你的猜想進行證明嗎？

（8）想一想：你得到的結(jié)論與勾股定理有怎樣的關(guān)系？

設(shè)計意圖：八年級學生對幾何圖形的觀察和對幾何圖形的分析已有一定的基礎(chǔ)和能力，能夠正確歸納所學知識，通過學習小組討論交流，形成解決問題的思路.方案1是讓學生自己操作實踐，通過一系列的活動：算一算、畫一畫、量一量、議一議、練一練、猜一猜、想一想，步步深入探討問題，但這種研究問題的方法還是實驗幾何法；而方案2的設(shè)計則重在操作、猜想、驗證，是推理幾何的研究方法，在說明所畫三角形是直角三角形時，是通過證明全等三角形來說明的，這樣學生比較容易理解和信服.

三、教學片段

師：同學們，今天我們一起做一個游戲：老師這里有一根用13個等距的結(jié)把它分成等長的12段的繩子，請一組3個同學上臺，按老師的要求操作：一人同時握住繩子的第1個結(jié)和第13個結(jié)，另兩人分別握住其中的其他一個結(jié)，拉緊繩子構(gòu)成三角形.請說出你們所構(gòu)成的三角形的三邊長，并指出三角形的形狀？

生：我們組第2個人握住第5個結(jié)，第3個人握住第9個結(jié)，此時三角形的三邊長分別為4、4、4，這時構(gòu)成的三角形是等邊三角形.

師：好！這是其中一種類型，還有嗎？

……

生：我們組第2個人握住第4個結(jié)，第3個人握住第8個結(jié)，此時三角形的三邊長分別為3、4、5，這時構(gòu)成的三角形不知是什么形狀.

師：好！這是一種什么類型的三角形呢？大家可以猜想一下！

工程法律風險是產(chǎn)生于項目實施過程中，由于行為人的具體行為不規(guī)范而導致的，與企業(yè)或項目預期目標相違背的法律不利后果發(fā)生的可能性。法律風險發(fā)生于工程運作過程中，法律風險控制是工程項目管理的重要手段，是全面風險管理的重要支撐。加強工程法律風險管理具有重要的現(xiàn)實意義和經(jīng)濟效益，是油田企業(yè)工程項目的內(nèi)在要求，是企業(yè)適應(yīng)內(nèi)外部環(huán)境變化的必然選擇，是提升管理水平、實現(xiàn)跨越式發(fā)展的迫切需要。

生：好像是直角三角形.

師：為了驗證同學們的猜想是否正確，下面我們再進行一組畫圖練習，要求同桌2人一組，分別畫圖：1人畫一個三角形，使三角形的三邊長為3cm、4cm、5cm；另1人畫一個直角三角形，使兩直角邊長為3cm、4cm.

……

師：畫好第1個三角形的同學可先用量角器量一量，看它是否是直角三角形，2人都畫好后，各自剪下所畫三角形，與同桌所畫的三角形進行比較，看兩個三角形能否重合，是否全等.

……

師：由此你有什么想法？

生：以3、4、5為邊長的三角形是直角三角形.

……

師：由此你能得到什么結(jié)論？

生：如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形.

師：這個猜想是否正確呢？下面我們一起來證明.

如圖3，已知：△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，且a2＋b2=c2，求證：∠C=90°.

證明：作△A1B1C1，如圖4，使∠C1=90°，B1C1=a，C1A1=b，由勾股定理得A1B12=a2＋b2.

因為a2＋b2=c2，所以A1B1=c.

在△ABC和△A1B1C1中，因為BC=a= B1C1，CA=b=C1A1，AB=c=A1B1，所以△ABC≌△A1B1C1.所以∠C=∠C1=90°.

師：現(xiàn)在證明了你們的猜想是正確的，那么我們今天得到的這個真命題與前面學習的勾股定理有什么不同呢？

生：……

師：勾股定理的逆定理與勾股定理之間有什么聯(lián)系和區(qū)別嗎？

生：……

師：說的都很好！勾股定理是通過“形”的狀態(tài)來反映“數(shù)”的關(guān)系，而勾股定理的逆定理是通過“數(shù)”的關(guān)系來反映“形”的狀態(tài).二者關(guān)系可列表如下：

圖3

圖4

定理勾股定理勾股定理的逆定理內(nèi)容如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形題設(shè)直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2結(jié)論a2＋b2＝c2這個三角形是直角三角形用途是直角三角形的一個性質(zhì)是直角三角形的一種判定方法

師：我們把滿足a2＋b2＝c2的3個正整數(shù)a，b，c稱為勾股數(shù).例如，3、4、5和5、12、13都是勾股數(shù)，利用勾股數(shù)可以構(gòu)造直角三角形.

師：美國哥倫比亞大學圖書館收藏著一塊編號為“普林頓322”（plinmpton322）的古巴比倫泥板，上面密密麻麻地寫著一些神秘符號，經(jīng)專家研究發(fā)現(xiàn)泥板上的一些神秘符號是一些數(shù)組，只要再添加一列數(shù)就和其中兩列數(shù)字組成一組組勾股數(shù)（圖略）.

……

四、教學感悟

本節(jié)課的課題引入是通過把古埃及人用長繩打結(jié)得直角的方法改編成游戲，讓學生在做游戲中不知不覺地進入新課題的學習，接著讓學生先觀察滿足條件的三角形直觀感覺上的形狀，再畫三角形通過剪量、拼圖去驗證猜想.這樣整個證明過程自然、無神秘感，實現(xiàn)了從生動直觀向抽象思維的轉(zhuǎn)化，同時學生親身體驗了操作—觀察—猜測—探索—論證—應(yīng)用的全過程，學生在這一過程中學習興趣和學習積極性都有所提高，并能享受到自我創(chuàng)造的快樂.

長期以來，由于數(shù)學的形式化導致了許多學生對數(shù)學的恐懼并進而導致了他們在數(shù)學學習上的失敗.但從本節(jié)課的教學過程我們可以看到：在數(shù)學教學中引入數(shù)學史能使這種局面有所改變.這是因為數(shù)學史中的趣聞和逸事等可以引起和保持學生對數(shù)學的興趣，而興趣一向被認為是最好的老師，引入數(shù)學史可以給數(shù)學一個更為人性化的面孔，從而使得數(shù)學對于許多學生來說會變得不那么可怕，因此數(shù)學史可作為一種激勵學生學習數(shù)學的因素；另外數(shù)學史還可以就教學內(nèi)容提供不同的視角和呈現(xiàn)方式而有助于學生的數(shù)學理解，特定數(shù)學知識的歷史背景還可以更好地幫助學生對數(shù)學知識的掌握，因此數(shù)學史可作為學生數(shù)學學習的認知工具；同時數(shù)學史還可以使得學生對數(shù)學與一般人類文化間的關(guān)系有更好的理解，有助于學生從文化的角度理解數(shù)學.因此在數(shù)學教學中我們應(yīng)加強數(shù)學史的引入，一方面可通過在教學中直接提供歷史信息而促進學生數(shù)學學習；另一方面可通過運用受數(shù)學歷史啟迪的教學方法而進行課堂教學.這都需要我們加大對數(shù)學教學素材進行歷史挖掘，讓學生感受數(shù)學文化的淵源.

1.汪健.理解教材精心設(shè)計主動學習［J］.中學數(shù)學（下），2014（5）.

2.張曉貴，張雪.國外數(shù)學教學中引入數(shù)學史的研究概述［J］.數(shù)學教育學報，2013（8）.W