☉江蘇省如皋市長(zhǎng)江鎮(zhèn)郭園初級(jí)中學(xué) 沙志寧

基于邏輯主線(xiàn)之上的幾何教學(xué)
——以人教版“4.2直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段（1）”為例

☉江蘇省如皋市長(zhǎng)江鎮(zhèn)郭園初級(jí)中學(xué) 沙志寧

在初中階段的教學(xué)中，不僅要發(fā)展學(xué)生的空間觀念，還要發(fā)展學(xué)生的推理能力.推理既包括合情推理，又包括演繹推理.培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，幾何教學(xué)責(zé)無(wú)旁貸.在日常教學(xué)中，我們應(yīng)努力從已有的事實(shí)和規(guī)則出發(fā)，按照邏輯推理的法則生成新的知識(shí)和技能，以完整的知識(shí)生成過(guò)程的經(jīng)歷，來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的推理能力.這就告訴我們，要想培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，就必須緊扣幾何認(rèn)知的邏輯主線(xiàn)展開(kāi)教學(xué)，讓舊知的回顧與新知生成均在這一主線(xiàn)上進(jìn)行.本文擬以人教版“4.2直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段（1）”的幾則教學(xué)片斷為例，談?wù)劵谶壿嬛骶€(xiàn)之上的幾何教學(xué)，希望能給您帶來(lái)啟示.

一、幾則教學(xué)片斷及分析

片斷1：歸納基本事實(shí).

問(wèn)題1：固定一根木條，至少需要幾枚釘子？

利用老師提供的木條和圖釘展開(kāi)實(shí)驗(yàn)探究，經(jīng)過(guò)兩分鐘的探究，學(xué)生歸納結(jié)論：固定一根木條，至少要兩枚釘子.

問(wèn)題2：過(guò)一點(diǎn)A能作幾條直線(xiàn)？過(guò)兩點(diǎn)A、B能作幾條直線(xiàn)？

學(xué)生板演“作直線(xiàn)”，并給出答案：過(guò)一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條直線(xiàn)，過(guò)兩點(diǎn)只能作一條直線(xiàn).

兩個(gè)問(wèn)題探究結(jié)束，教師帶領(lǐng)學(xué)生歸納“兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)“的基本事實(shí)，并進(jìn)行板書(shū).

片斷分析：“兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)”的基本事實(shí)已經(jīng)蘊(yùn)含于學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，學(xué)生對(duì)這一事實(shí)是有較為深刻的認(rèn)知的.教者通過(guò)一個(gè)并不復(fù)雜的“固定木條”實(shí)驗(yàn)，喚醒了學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，順利得出了教師期待的結(jié)論；分別過(guò)一點(diǎn)、兩點(diǎn)作直線(xiàn)，將生活中的數(shù)學(xué)抽象，以便學(xué)生從已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中提取出數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn).兩個(gè)問(wèn)題的順利解決，提取了學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，推動(dòng)了基本事實(shí)的快速生成.整個(gè)探究歷程，緊貼學(xué)生的已有認(rèn)知，讓他們感知到數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，為下一步的強(qiáng)化體驗(yàn)埋下伏筆.

片斷2：感悟生活中的“事實(shí)”應(yīng)用.

問(wèn)題3：植樹(shù)時(shí)，怎樣才能讓所有樹(shù)坑的位置在如圖1所示的直線(xiàn)上？

圖1

圖2

問(wèn)題4：如圖2，建筑工人在砌墻時(shí)會(huì)在墻的兩頭分別固定兩枚釘子，然后在釘子之間拉一條繩子，定出一條直的參照線(xiàn)，這樣砌出的墻就是直的.你知道這么做的數(shù)學(xué)道理嗎？

學(xué)生先自主探究?jī)蓚€(gè)問(wèn)題，然后在小組中交流各自的想法，最后教師組織學(xué)生開(kāi)展全班交流，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：在生活中，“兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)”這一基本事實(shí)有著較為廣泛的應(yīng)用.

片斷分析：基本事實(shí)的生成源于學(xué)生的生活和教者預(yù)設(shè)的探究活動(dòng)，這是一個(gè)抽象的過(guò)程，抽象不能是“空中樓閣”，必須重新回到現(xiàn)實(shí)，兩則看似簡(jiǎn)單的應(yīng)用實(shí)例的分析，讓學(xué)生對(duì)事實(shí)的認(rèn)知進(jìn)一步升華，明了“兩點(diǎn)”與“一條直線(xiàn)”的關(guān)系，為下一步探究表示方法積累經(jīng)驗(yàn).在基本事實(shí)的應(yīng)用過(guò)程中，濃濃的生活氣息，讓學(xué)生感知到數(shù)學(xué)中的生活和生活中的數(shù)學(xué)，對(duì)“數(shù)學(xué)源于生活而又服務(wù)于生活”有了更為深刻的認(rèn)識(shí).

片斷3：體會(huì)數(shù)學(xué)中的“事實(shí)”應(yīng)用.

師：老師這里有一條直線(xiàn)，你能根據(jù)字母表示點(diǎn)的經(jīng)驗(yàn)為它起個(gè)名字嗎？

生1：叫直線(xiàn)A.（師在直線(xiàn)的上方板書(shū)A，如圖3）

圖3

生1話(huà)音剛落，部分學(xué)生就在下面竊竊私語(yǔ).

生2（激動(dòng)地）：我認(rèn)為不對(duì)，這和點(diǎn)A的名字一樣了，容易混淆.

師：你認(rèn)為怎么表示才能不混呢？

生2：用小寫(xiě)字母表示.

師：嗯，這是一種不錯(cuò)的方法.（在直線(xiàn)上方板書(shū)a，如圖3）這根直線(xiàn)就叫什么呢？

生（齊）：直線(xiàn)a.（師板書(shū)：直線(xiàn)a）

師：有沒(méi)有其他方法呢？

學(xué)生一陣沉默，教師稍作停頓，在剛剛字母“A”的下方點(diǎn)上一個(gè)點(diǎn).

生3（立即起立，非常激動(dòng)）：我認(rèn)為可以在直線(xiàn)上再取一個(gè)點(diǎn)B.

師：哦，是嗎？（在直線(xiàn)上再取一個(gè)點(diǎn)B，如圖4）你說(shuō)說(shuō)這根直線(xiàn)叫什么？

圖4

生4：直線(xiàn)AB！

師：為什么？

生5：這根直線(xiàn)經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)”，既過(guò)點(diǎn)A又過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)就只有這一條了.所以這根直線(xiàn)是唯一的，叫它“直線(xiàn)AB”是有道理的.

師：很好！那么我們就給它起名“直線(xiàn)AB”了，（板書(shū)：直線(xiàn)AB）你們同意嗎？

生（齊）：同意！

師：你還有其他表示方法嗎？

生6：直線(xiàn)BA.

師：可以這么表示嗎？

生7：可以，因?yàn)橹本€(xiàn)是向兩個(gè)方向無(wú)限延伸的，直線(xiàn)AB和直線(xiàn)BA表示的是同一條直線(xiàn).

師：很好.（教師板書(shū)：直線(xiàn)BA.順手在直線(xiàn)AB上標(biāo)上一點(diǎn)C，如圖4）這根直線(xiàn)還可以怎么表示？

生8：直線(xiàn)AC，直線(xiàn)CA.

生9：直線(xiàn)BC或直線(xiàn)CB.

師：這樣一來(lái)，根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)”的事實(shí)，我們又獲得了一種直線(xiàn)的表示方法.我們知道，射線(xiàn)和線(xiàn)段是直線(xiàn)的一部分，你能給這條射線(xiàn)起個(gè)名嗎？（動(dòng)畫(huà)隱去圖3中點(diǎn)A左側(cè)部分，如圖5）

圖5

生10：射線(xiàn)AB.

師：還可以怎么表示？

生11：射線(xiàn)BA或射線(xiàn)a.

生12（很迫切）：不可以表示為射線(xiàn)BA.

師：為什么？

生13：射線(xiàn)就像手電筒發(fā)出的光一樣是有方向的，我們應(yīng)該將射線(xiàn)的端點(diǎn)放在前面.

師：對(duì)！端點(diǎn)A應(yīng)該放在前面.（板書(shū)：射線(xiàn)AB）如果在圖中的射線(xiàn)上再取一個(gè)點(diǎn)D（在圖5中標(biāo)出點(diǎn)D），這條射線(xiàn)還可以怎么表示呢？

生14：射線(xiàn)AD.

師：還有其他表示方法嗎？

學(xué)生立即安靜下來(lái)，片刻后一生起立作答.

生15：老師，除了上面的這種方法，我認(rèn)為沒(méi)有了.師：為什么？

生16：根據(jù)剛才的經(jīng)驗(yàn)，我們可以用兩個(gè)點(diǎn)來(lái)表示射線(xiàn)，但端點(diǎn)必須放在前面，所以這種表示方法只有射線(xiàn)AB和射線(xiàn)AD了.

師：看來(lái)用兩個(gè)點(diǎn)表示一條射線(xiàn)時(shí)，不光要關(guān)注點(diǎn)的名稱(chēng)，還要關(guān)注點(diǎn)的位置?。▌?dòng)畫(huà)演示，隱去圖5中點(diǎn)B右側(cè)的部分，如圖6）這條線(xiàn)段現(xiàn)在你們會(huì)表示了嗎？

圖6

生17：線(xiàn)段AB、BA或線(xiàn)段a.

師：說(shuō)說(shuō)你的理由！

生18：我們已經(jīng)知道了“兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)”的事實(shí)，而線(xiàn)段是直線(xiàn)的一部分，所以我們除了可以用一個(gè)小寫(xiě)字母表示這條線(xiàn)段外，也可以用兩個(gè)點(diǎn)來(lái)表示一條線(xiàn)段.

教師：這兩個(gè)點(diǎn)有什么要求嗎？

生19：應(yīng)該是這條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn).因?yàn)榫€(xiàn)段不具有延伸性，只有取了兩個(gè)端點(diǎn)，才能將這條線(xiàn)段固定下來(lái).

師：很好！大家根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)”不僅獲得了直線(xiàn)的表示方法，還獲得了射線(xiàn)和線(xiàn)段的表示方法.下面我們一起來(lái)梳理一下這三種線(xiàn)的表示方法吧！

生20：都可以用一個(gè)小寫(xiě)字母表示.

生21：取直線(xiàn)上任意兩點(diǎn)，可以表示直線(xiàn)；取射線(xiàn)的端點(diǎn)和另一點(diǎn)有序擺放（端點(diǎn)在前面），可以表示射線(xiàn)；取線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)可以表示線(xiàn)段.

師：你們總結(jié)真到位！接下來(lái)，就請(qǐng)同學(xué)們用剛剛學(xué)到的知識(shí)完成下面的練習(xí).（投影練習(xí)）

片斷分析：直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段的表示方法是本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，它開(kāi)啟了符號(hào)化認(rèn)知幾何圖形的旅程.由于學(xué)生已經(jīng)具備了用字母表示點(diǎn)的經(jīng)驗(yàn)，教師以此為教學(xué)突破口，讓學(xué)生給一條直線(xiàn)“起名”，激起了學(xué)生的探究熱情.一名學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)給出了“直線(xiàn)A”的命名，很多學(xué)生意識(shí)到這樣表示是有問(wèn)題的.接下來(lái)生成的“小寫(xiě)字母表示法”和“兩點(diǎn)表示法”都是順著學(xué)生固有經(jīng)驗(yàn)得出的.應(yīng)該說(shuō)，為直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段命名，恰好是“基本事實(shí)”在數(shù)學(xué)中的進(jìn)一步應(yīng)用，是順應(yīng)學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的新知的自然延伸.教者從這樣的起點(diǎn)出發(fā)，讓學(xué)生順著本課認(rèn)知的邏輯主線(xiàn)（基本事實(shí)）展開(kāi)學(xué)習(xí)，牢牢抓住“線(xiàn)段、射線(xiàn)是直線(xiàn)的一部分”，類(lèi)比直線(xiàn)的表示方法，探究得出另兩種線(xiàn)的表示方法.讓學(xué)生的已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)在新知生成中發(fā)揮作用，確保了邏輯主線(xiàn)的進(jìn)一步延伸.

二、幾點(diǎn)感悟

1.準(zhǔn)確抽取邏輯主線(xiàn)，確保學(xué)生認(rèn)知有根有序

初中階段的幾何學(xué)習(xí)，是從一個(gè)知識(shí)走向另一個(gè)知識(shí)的過(guò)程.實(shí)現(xiàn)知識(shí)間串聯(lián)的是邏輯主線(xiàn)，在教學(xué)中，準(zhǔn)確抽取探究的邏輯主線(xiàn)將能保證新知生成的基礎(chǔ)扎實(shí)，新知生成按部就班，逐次呈現(xiàn).以垂徑定理為例，生成這一新知的前提是“圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形”.課堂教學(xué)中，我們就應(yīng)該讓學(xué)生的探究在“圓的軸對(duì)稱(chēng)性”上展開(kāi)，讓學(xué)生在翻折中發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的聯(lián)系，從而生成眾多的附著于主線(xiàn)之上的新“四基”.在本文中“基本事實(shí)”是學(xué)生獲得三種線(xiàn)的表示方法的基礎(chǔ)，教者在教學(xué)開(kāi)展之初，便從學(xué)生的已有生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)中抽取出了這根主線(xiàn)，這對(duì)接下來(lái)的生活應(yīng)用的感悟和教學(xué)應(yīng)用的延續(xù)是十分有利的.正是基于教者的準(zhǔn)確抽取，才讓本課的教學(xué)“順流而下”，成效斐然.

2.緊貼主線(xiàn)生干長(zhǎng)枝，力求新知生成有量有質(zhì)

邏輯主線(xiàn)是學(xué)生獲取新知的主要線(xiàn)索，在邏輯主線(xiàn)上附著著各種數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、技能、思想方法和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)教學(xué)就是要將這些生成，在有限的時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的數(shù)學(xué)知識(shí)，為后續(xù)學(xué)習(xí)、生活數(shù)學(xué)化積淀.從教學(xué)成效看，這些生成越接近學(xué)生的現(xiàn)有認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)，越容易被內(nèi)化.所以教師要在附著于主線(xiàn)之上的知識(shí)中，盡可能地選擇出緊貼學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的知識(shí)及知識(shí)生成方式，確保在短暫的課堂教學(xué)時(shí)段內(nèi)，在教學(xué)的邏輯主線(xiàn)之上“生干長(zhǎng)枝，開(kāi)花結(jié)果”.以上面的教學(xué)歷程為例，在“兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)”這一邏輯主線(xiàn)之上，逐次生成了“與生活緊密關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)”，直線(xiàn)的表示方法，射線(xiàn)、線(xiàn)段的表示方法等，基于這些知識(shí)的數(shù)學(xué)探究經(jīng)驗(yàn)也成為主線(xiàn)之上的生成之一.如此眾多的教學(xué)生成，既有數(shù)量，又有質(zhì)量，它們開(kāi)啟了初中學(xué)段的幾何學(xué)習(xí)之旅，從此學(xué)生進(jìn)入演繹推理能力提升階段，幾何學(xué)習(xí)將由此過(guò)渡到實(shí)證階段.

3.合理應(yīng)用固有“四基”，強(qiáng)調(diào)知識(shí)生成有理有據(jù)

任何新知的生成都離不開(kāi)堅(jiān)實(shí)的“基礎(chǔ)”.學(xué)生的已有知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中，能夠生成新知的固有“四基”數(shù)量是龐大的，但在不同時(shí)段，認(rèn)知起點(diǎn)是不同的，也就是說(shuō)，對(duì)于不同的認(rèn)知階段，并非所有的“前知”作為引入鋪墊都適用.七年級(jí)幾何學(xué)習(xí)即將步入實(shí)證階段，幾何知識(shí)的獲得已由小學(xué)中的純圖形認(rèn)知過(guò)渡到了符號(hào)等，認(rèn)知過(guò)程的抽象程度很高.此時(shí)，過(guò)多地應(yīng)用形象的圖片與動(dòng)畫(huà)進(jìn)行教學(xué)已不再適合，我們應(yīng)從學(xué)生固有“四基”中，挖掘出能夠有效喚醒學(xué)生“主動(dòng)探究”的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生獲取“四基”建構(gòu)出數(shù)學(xué)化的鋪墊.小學(xué)中，在經(jīng)歷了由實(shí)物抽象出圖形的過(guò)程后，學(xué)生對(duì)圖形已經(jīng)有了較為直觀的認(rèn)知，本節(jié)課中，從實(shí)例和畫(huà)圖活動(dòng)中直接抽象出基本事實(shí)，簡(jiǎn)單的情境回歸后，便再度跟進(jìn)符號(hào)化，這種逐層遞進(jìn)式生成，搭建了一級(jí)級(jí)“四基”漸次生成的臺(tái)階，讓豐富的幾何認(rèn)知體驗(yàn)在“四基”的有效生成中獲得，激活了學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的熱情，提升了學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的興趣.

三、寫(xiě)在最后

邏輯主線(xiàn)是幾何知識(shí)生成的主線(xiàn)，也是學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的主線(xiàn).步入義務(wù)教育的第三學(xué)段，抽象思維的培養(yǎng)逐漸成為數(shù)學(xué)教學(xué)的主導(dǎo)，此時(shí)幾何教學(xué)顯得十分重要.它能推動(dòng)學(xué)生的認(rèn)知漸行漸豐，也能不斷提高學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度分析和解決問(wèn)題的能力.基于邏輯主線(xiàn)之上的幾何教學(xué)，將幾何知識(shí)置于整個(gè)幾何認(rèn)知的網(wǎng)絡(luò)之中，保證了新知的源和流，讓學(xué)生的幾何認(rèn)知從開(kāi)始就在網(wǎng)絡(luò)化、系統(tǒng)化的框架下進(jìn)行，這對(duì)日后幾何知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu)是大有益處的.

以上僅一家之言，不當(dāng)之處，敬請(qǐng)斧正！WG