☉江蘇省儀征市香溝中心學(xué)校 余飛

重視考題教學(xué)價(jià)值，鼓勵(lì)學(xué)生交流展示
——以2014年湖北襄陽(yáng)卷第25題解題教學(xué)為例

☉江蘇省儀征市香溝中心學(xué)校 余飛

最近一次數(shù)學(xué)自習(xí)課上有學(xué)生問(wèn)了一道中考題，筆者感覺(jué)該題很有探究?jī)r(jià)值，于是就跟全體學(xué)生一起開(kāi)展多解探究，并反思了問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu)，占去一節(jié)課的時(shí)間，但大家感覺(jué)收獲很大.本文記錄這次習(xí)題課上的精彩片斷，并反思考題的教學(xué)導(dǎo)向，與同行研討.

一、考題及教學(xué)對(duì)話

題目（2014年湖北襄陽(yáng)卷第25題）如圖1，A、P、B、C是⊙O上的四點(diǎn)，∠APC＝∠BPC＝60°，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.

（1）求證：△ADP∽△BDA；

（2）試探究線段PA、PB、PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）若AD＝2，PD＝1，求線段BC的長(zhǎng).

1.第（1）問(wèn)的思路突破

生1：如圖2，作⊙O的直徑AE，由AE是⊙O的直徑，AD是⊙O的切線，得∠DAE＝∠APE＝90°，于是∠PAD＋∠PAE＝∠PAE＋∠E＝90°，所以∠PAD＝∠E.又∠PBA＝∠E，所以∠PAD＝∠PBA，所以△ADP∽△BDA.

生2：由圓周角定理可以先證出△ABC是等邊三角形.如圖3，作直徑AE，連接BE，得Rt△ABE，由∠2＝∠ACB＝60°，得∠1＝30°，從而∠BAD＝60°＝∠APD.再結(jié)合公共角∠D＝∠D，可得△ADP∽△BDA.

生3：如圖4，連接OA、OB，由圓周角和圓心角的關(guān)系，有∠3＝2∠ACB＝120°，得∠1＝∠2＝30°，從而∠BAD＝60°＝∠APD，就可以轉(zhuǎn)到上面生2的思路了.

圖1

圖2

圖3

圖4

生4：如圖5，連接OA、OB、OC，證明△OAB≌△OBC，得∠1＝∠2＝30°，從而∠BAD＝60°＝∠APD.

生5：我感覺(jué)前面生1的證法中轉(zhuǎn)了半天得到的“∠PAD＝∠PBA”就是老師以前補(bǔ)充的弦切角性質(zhì)，是不是可以直接用呢？

師：這個(gè)問(wèn)題提得很好，對(duì)這道題來(lái)說(shuō)，建議不能直接使用，因?yàn)榻滩纳蠈⑾仪薪切再|(zhì)定理刪減了，并沒(méi)有用“黑體字”形式出現(xiàn)，所以在這道解答題中還是要展示一下推理的過(guò)程；當(dāng)然，如果是填空、選擇或者較復(fù)雜的綜合題，也可以作為一種思路啟示直接使用.

2.第（2）問(wèn)思路突破

生6：可以猜想PA＋PB＝PC.如圖6在線段PC上截取PF＝PB，連接BF，由PF＝PB，∠BPC＝60°，可證得△PBF是等邊三角形，所以PB＝PF，∠BFP＝60°，有∠BFC＝180°-∠PFB＝120°.又因?yàn)椤螧PA＝∠APC＋∠BPC＝120°，所以∠BPA＝∠BFC.可證△BPA≌△BFC，所以PA＝FC，AB＝BC，所以PA＋PB＝FC＋PF＝PC.

師：很好，看來(lái)你的這條輔助線BF起到關(guān)鍵的作用，你是怎么想到這條輔助線的呢？

生6：我是想構(gòu)造出等邊△PBF，再想辦法證△BPA≌△BFC.

生7：如圖7，在PC上截取PG＝PA，連接AG，先證△APG為等邊三角形，再證△APB≌△AGC；或者在PC上截取CG＝PB，連接AG，先證∠ABP＝∠ACG，得△APB≌△AGC，再證△APG為等邊三角形.

生8：如圖8，在PA的延長(zhǎng)線上截取AG＝PB（延長(zhǎng)PA到點(diǎn)G，使AG＝PB），連接CG，證△ACG≌△BCP，得∠G＝∠4＝60°，再證△CPG為等邊三角形.

圖5

圖6

圖7

圖8

生9：如圖9，在AP的延長(zhǎng)線上截取PH=PB（延長(zhǎng)AP到點(diǎn)H，使PH=PB），連接BH，證△ABH≌△CBP，得∠H=∠4=60°，再證△BPH為等邊三角形.

師：看來(lái)你們都是充分利用了截長(zhǎng)補(bǔ)短策略先構(gòu)造等邊三角形，再證全等，思路都差不多.大家還可以想想，這道問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu)是什么？跟前面曾經(jīng)練習(xí)過(guò)的哪類(lèi)問(wèn)題相似？

生10：以前在八年級(jí)曾經(jīng)練習(xí)過(guò)下面這道問(wèn)題，如圖10，點(diǎn)D、E分別為等邊△ABC內(nèi)、外一點(diǎn)，好像能證△ABE≌△CBD，具體條件和要求記不清了.

師：是的，可以從旋轉(zhuǎn)的角度認(rèn)識(shí)你提到的圖10這個(gè)基本問(wèn)題.對(duì)于上面第（2）問(wèn)的思路確實(shí)有啟發(fā)作用.

圖9

圖10

3.第（3）問(wèn)思路突破

師：不錯(cuò)！這種解法沒(méi)有添加輔助線也獲得了思路的貫通，大家覺(jué)得思路中的哪個(gè)步驟最為關(guān)鍵？

生11：發(fā)現(xiàn)△ADP∽△CAP，得出AP2=PC·PD.

生12：由（2）中的數(shù)量關(guān)系“PA+PB=PC”，然后改寫(xiě)為AP2=（3+AP）·1，這樣就可以利用一元二次方程來(lái)求解了.

圖11

師：正確.還有不同的思路嗎？

生13：還是要由第（1）問(wèn)△ADP∽△BDA，求出BD=4.接著如圖11，作DK⊥AB于點(diǎn)K，在Rt△ADK中，由AD=2和∠DAB=60°，求得AK、DK的長(zhǎng)，再在Rt△BDK中，由DK、BD求得BK的長(zhǎng)，從而B(niǎo)C=AB=AK+BK.

師：很好，這是利用等邊三角形邊長(zhǎng)相等，將BC轉(zhuǎn)化為求AB，然后再把AB用輔助線（高DK）分成兩部分，各個(gè)擊破，這個(gè)思路能夠啟發(fā)其他同學(xué)嗎？

生14：如圖12，作DM⊥AP于點(diǎn)M，在Rt△PDM中，由PD=1和∠DPM=60°，求得PM、DM的長(zhǎng)，再在Rt△ADM中，由DM、AD求得AM的長(zhǎng)，從而AP=AM+ PM；由第（1）問(wèn)△ADP∽△BDA，可求得AB的長(zhǎng)，即得BC的長(zhǎng).

師：很好，你的這種思路利用了切線、垂徑定理，構(gòu)造出矩形，雖然輔助線多了些，但都是基于特殊圖形而思考，也是很自然的，值得學(xué)習(xí).

圖12

圖13

二、教后反思

一次自習(xí)課卻被一道習(xí)題占去一節(jié)課，但是很多學(xué)生在課后的反思寫(xiě)作中對(duì)這節(jié)課都很有體會(huì)，表達(dá)了對(duì)這道題的深刻認(rèn)識(shí).作為教者，這節(jié)課除了梳理學(xué)生上述的多解以外，還深入思考了命題研究、解題教學(xué)等問(wèn)題，下面展開(kāi)闡釋.

1.好的試題往往入口較寬，滿足不同思維特點(diǎn)的考生

人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室資深編審章建躍教授在文1中指出：“好的題目應(yīng)該滿足一些基本條件，例如：反映數(shù)學(xué)本質(zhì)，與重要的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)相關(guān)，不糾纏于細(xì)枝末節(jié)，體現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系性，解題方法自然、多樣，具有發(fā)展性，表述形式簡(jiǎn)潔、流暢且好懂等.”從這個(gè)角度來(lái)看，上文中的這道考題關(guān)注于幾何圖形中重要的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)，體現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，特別是解題方法自然、多樣，是一道很好的試題.這里也可順便提及德國(guó)Rita Borromeo Ferri“關(guān)于數(shù)學(xué)思維風(fēng)格的理論及其實(shí)證研究”表明：“那些和教師擁有不同數(shù)學(xué)思維風(fēng)格的學(xué)生可能在理解方面有一定的問(wèn)題，如果教師能夠意識(shí)到這點(diǎn)，并對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)運(yùn)算不同的方式進(jìn)行講解，這類(lèi)問(wèn)題將會(huì)避免.”［2］從上面的課堂實(shí)錄看出，不同思維特點(diǎn)的學(xué)生有不同的解法出現(xiàn)，比如在第（2）問(wèn)的求解中，生6~生9思路雖然差不多，但是反映了他們著眼點(diǎn)的不同，有人是著眼于圖形內(nèi)部構(gòu)造等邊三角形，有人是著眼于向外構(gòu)造.

2.選用考題開(kāi)展解題教學(xué)，需要鼓勵(lì)學(xué)生有不同解法

一般來(lái)說(shuō)，選用中考試題開(kāi)展解題教學(xué)是很多教師經(jīng)常開(kāi)展的，問(wèn)題是如何把這些考題的價(jià)值得到充分的發(fā)揮，追求“入寶山不空返”是值得認(rèn)真思考的.從上文的解題教學(xué)實(shí)錄來(lái)看，當(dāng)我們放手讓學(xué)生思考、表達(dá)或展示時(shí)，學(xué)生往往有自己的精彩觀點(diǎn)或思路.從上面對(duì)話中，生10基于圖10獲得的破題念頭就是很好的解題經(jīng)驗(yàn)分享，一方面他本人獲得問(wèn)題的思路，另一方面這種破題的心得也通過(guò)對(duì)話傳遞給其他學(xué)生.而在第（3）問(wèn)的思路突破中，生11沒(méi)有構(gòu)造輔助線也實(shí)現(xiàn)了問(wèn)題的突破，而其他學(xué)生的輔助線都不一樣，最后一個(gè)學(xué)生雖然輔助線用得多了些，但是基于常見(jiàn)圖形的啟發(fā)，也是值得鼓勵(lì)的.這也是筆者最后在點(diǎn)評(píng)時(shí)特別強(qiáng)調(diào)的.

3.對(duì)考題的進(jìn)一步變式思考

章建躍教授在文1中還曾指出：“解題目的應(yīng)聚焦于加深理解和掌握雙基；學(xué)會(huì)思考，培養(yǎng)和發(fā)展思維能力；查漏補(bǔ)缺；培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣；培養(yǎng)創(chuàng)造力等.”而這些目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，根本上還要依靠“好題”.這里，“好題”絕不是當(dāng)前教輔資源中盛行的那種人為制造的“題目”，而應(yīng)該是“真正的數(shù)學(xué)題”.以下我們接著對(duì)上文這道考題再做一些發(fā)展性的改編，供研討.

改編題如圖14，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，連接AP，CP，作射線BP.

（1）求證：PC平分∠APB.

（2）試探究線段PA、PB、PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

（3）過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線交射線BP于點(diǎn)D.若AD＝2，PD＝1，求⊙O的半徑.

命題說(shuō)明：這樣前兩問(wèn)的圖形更為簡(jiǎn)潔，而且是逐次展開(kāi)、自然生長(zhǎng)，由圓周角性質(zhì)可證第（1）問(wèn)，繼續(xù)思考第（2）問(wèn)時(shí)由上面獲得60°的啟發(fā)，也有助于分析思路；到第（3）問(wèn)整合了原考題的第（1）、（3）問(wèn)，避免了原來(lái)第（1）、（3）問(wèn)之間的關(guān)聯(lián)被第（2）問(wèn)所隔斷的不足.

圖14

1.章建躍.發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，為學(xué)生謀取長(zhǎng)期利益［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（2）.

2.［德］Rita Borromeo Ferri.關(guān)于數(shù)學(xué)思維風(fēng)格的理論及其實(shí)證研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2011（3）.W