☉南京師范大學(xué)附屬中學(xué)樹人學(xué)校 王玉琴

意料之外，情理之中
——勾股定理之外的智慧“生成”

☉南京師范大學(xué)附屬中學(xué)樹人學(xué)校 王玉琴

每個(gè)學(xué)生都是鮮活靈動(dòng)的智慧生命個(gè)體，并非是按照預(yù)設(shè)程序機(jī)械運(yùn)動(dòng)的機(jī)器，因而隨機(jī)生成的“意外”是課堂上常見的現(xiàn)象.有些意外的生成能夠帶來豐碩的成果，教師如果善用教學(xué)智慧，實(shí)現(xiàn)師生、生生之間智慧的碰撞，那么很多課堂將演化成師生的一段智慧生命的精神之旅.正如蘇霍姆林斯基說：“教育的技巧并不在于能預(yù)見到課堂的細(xì)枝末節(jié)，而在于根據(jù)當(dāng)時(shí)的具體情況，巧妙地在學(xué)生不知不覺中做出相應(yīng)的變動(dòng).”但意料之外的智慧生成，也并非完全出于偶然，正如靈感的出現(xiàn)，也是基于學(xué)習(xí)或研究者一定的知識(shí)基礎(chǔ)和對(duì)問題的深入思索，而且，由于教學(xué)時(shí)間的限制，我們不可能對(duì)所有課都任由學(xué)生自由探索，一個(gè)智慧課堂，應(yīng)更多地探討適合學(xué)生知識(shí)、能力基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)方式、心理特點(diǎn)的有價(jià)值的問題.這就需要我們對(duì)一些典型的智慧生成教學(xué)案例，做必要的反思、探究，以便在有限的教學(xué)時(shí)空內(nèi)，更多地激發(fā)學(xué)生潛在的智慧和求知熱情.

一、課堂簡(jiǎn)錄

筆者平時(shí)上兩個(gè)班的課，在進(jìn)行勾股定理新授課教學(xué)時(shí)，其中一個(gè)班的課上出現(xiàn)了一個(gè)意外提問.

生1：老師，那么非直角三角形的三邊的平方具有什么關(guān)系？

當(dāng)時(shí)筆者聽了之后再想是繼續(xù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容還是解決該生的問題？在筆者任教的兩個(gè)班中，這個(gè)班的同學(xué)基礎(chǔ)好、能力強(qiáng)，平時(shí)就有許多同學(xué)喜歡鉆研數(shù)學(xué)問題，也常有不少小發(fā)現(xiàn)，而且這位同學(xué)提出的問題是剛學(xué)的勾股定理的自然拓展，也是思維觸角的自然延伸，從方法、思維上均有貫通之處，既有進(jìn)一步研究的基礎(chǔ)和價(jià)值，又比較適合這個(gè)班的學(xué)情，相信他們中多數(shù)人有能力探究這個(gè)問題，這對(duì)鼓勵(lì)他們的探究熱情、激活他們的思維、鞏固所學(xué)的知識(shí)均有益處，顯然比課后做幾道勾股定理的應(yīng)用題更有意義.瞬間猶豫后，筆者決定把時(shí)間讓給學(xué)生，讓他們?cè)诓僮鳌⑺伎贾?，展現(xiàn)、張揚(yáng)個(gè)體生命中的智慧.如果一個(gè)個(gè)鮮活靈動(dòng)而富有個(gè)性的智慧生命被完全禁錮在教師事先給定的框架中，這既是教育的悲哀，也是對(duì)智慧的漠視.

師：這個(gè)問題問得非常好！請(qǐng)同學(xué)們分學(xué)習(xí)小組討論，看哪個(gè)小組能幫助他解決這個(gè)問題.

這下課堂炸開了鍋，討論氛圍之熱烈超乎筆者的想象，立刻便有人躍躍欲試.

生2：老師，∠C還是最大角嗎？

師：好，為了表達(dá)方便，我們不妨規(guī)定鈍角△ABC中，a≤b≤c.

生3：構(gòu)造以a、b為直角邊的直角三角形，如圖1，過頂點(diǎn)C作CD⊥AC，同時(shí)取CD=CB=a（這里不夠嚴(yán)謹(jǐn)，但容易說明點(diǎn)D在△ABC外——筆者注），在Rt△ACD中，a2+ b2=AD2，而∠ADB＞∠CDB=∠CBD＞∠ABD，所以AB＞AD，即a2+b2＜AB2=c2.（證法1）

圖1

圖2

生3剛說完，生4迫不及待地舉起了手.

生4：老師，c＞AD還可這樣說理：如圖2，作∠DCB的平分線CE，交AB于點(diǎn)E，連接ED，可得△DCE≌△BCE，于是有ED=EB，而AE+ED＞AD，所以c＞AD.（證法2）

師：很棒！上面的證法構(gòu)造了以a、b為直角邊的直角三角形，運(yùn)用勾股定理得到直角三角形的三邊平方關(guān)系，然后再將這個(gè)直角三角形的斜邊AD與鈍角三角形的最長(zhǎng)邊c做比較，最終得出結(jié)論.還可以構(gòu)造怎樣的直角三角形呢？

生5：還可構(gòu)造以c為斜邊的直角三角形，如圖3（嚴(yán)格說來，易證點(diǎn)E在△ABC外），由于∠ACE與∠BCE均為鈍角，即為三角形中的最大角，所以有AE＞AC，BE＞BC，而AE2+BE2=AB2，所以a2+b2＜AB2=c2.（證法3）

圖3

師：簡(jiǎn)潔明了，非常漂亮！可見，欲求鈍角三角形的三邊平方關(guān)系，可將鈍角三角形問題轉(zhuǎn)化為與它相關(guān)的直角三角形問題.至于怎樣轉(zhuǎn)化，怎樣構(gòu)造直角三角形，方法可以是多種多樣的，大家再試試.

生6：也可以過點(diǎn)B作高線，如圖4，過點(diǎn)B作BE⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，由勾股定理有x2+y2=a2，（x+b）2+y2= c2，將兩式相減得c2-a2=2xb+ b2，所以a2+b2＜c2.（證法4）

圖4

師：好！通過作高BE，化斜為直，構(gòu)造了兩個(gè)直角三角形：△BEC，△BEA.以上幾種證法的思路，都是構(gòu)造直角三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，借助于勾股定理的結(jié)論解決問題.想一想，從勾股定理的學(xué)習(xí)過程中我們還能得到什么啟發(fā)，還可以找到其他的證明思路嗎？

生7：老師，老師，還可以用圖形的面積來解決！

師：太好了！這是證明勾股定理的主要方法，學(xué)習(xí)一個(gè)定理，我們不僅要知道它的結(jié)論和應(yīng)用，還要理解證明的過程和方法，并學(xué)會(huì)將方法用于解決其他問題.生7，請(qǐng)把你的面積方法說給大家聽聽.

生7：將△ABC繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′B′C，如圖5，連接AA′、A′B、BB′、B′A，因?yàn)樗倪呅蜛A′BB′的面積為AB· A′B′=c2，同時(shí)它又等于△BCB′、△ACA′、△BCA′、△ACB′的面積和，所以所以（.證法5）

圖5

學(xué)生7發(fā)現(xiàn)如此精巧的證明方法，贏得了大家的喝彩.這時(shí)課堂研討氣氛之熱烈，學(xué)生思維之活躍，興趣之濃厚，讓筆者感慨萬分.此法一經(jīng)說出似乎平易，實(shí)為天資聰明的學(xué)生靈機(jī)一動(dòng)閃出的智慧火花，多數(shù)學(xué)生不易想到.

此時(shí)，同學(xué)們和筆者的臉上都洋溢著收獲的喜悅，下課的鈴聲在不知不覺中已悄然響起，可同學(xué)們還意猶未盡.掌聲也在不經(jīng)意中再次驟然響起，這或許是同學(xué)們此時(shí)心態(tài)的最好呈現(xiàn).

圖6

二、感悟與反思

這堂課大大超出了筆者的預(yù)設(shè)，但這樣的意外卻帶來了精彩的智慧生成，不能不反思，自己在課堂上幸運(yùn)地占有了如此豐富的教學(xué)資源（優(yōu)秀的學(xué)生群體，學(xué)生的思維、創(chuàng)新方法的多樣性，還包括學(xué)生自然生成的有價(jià)值的提問等），卻差點(diǎn)扼殺了學(xué)生的思維，錯(cuò)過使學(xué)生享受探求知識(shí)過程的樂趣和摘到智慧果實(shí)的良機(jī).因此，有必要以此為契機(jī)，深入探討數(shù)學(xué)課堂智慧生成的特征和條件.

成尚榮教授曾指出：“智慧是一種整體品質(zhì)，它在情境中誕生和表現(xiàn)，以美德和創(chuàng)造為方向，以能力為核心，以敏感和頓悟?yàn)樘卣?，以機(jī)智為主要表現(xiàn)形式，科學(xué)素養(yǎng)與人文素養(yǎng)的結(jié)合賦予它底蘊(yùn)和張力.”

數(shù)學(xué)課堂的智慧生成，是在數(shù)學(xué)思維的激發(fā)態(tài)、數(shù)學(xué)思想火花的靈光乍現(xiàn)中孕育迸發(fā)的.

反思這節(jié)課上學(xué)生的精彩生成，可以發(fā)現(xiàn)處于思維激發(fā)態(tài)的智慧具有以下一些特征，從中也許我們可以悟出一些數(shù)學(xué)教學(xué)的“真經(jīng)”.

（一）智慧生成的特征

1.借力借法，變形變通

智者不以一己之力蠻干，而善于借助已有成果、方法，或借助于他人的思維、力量進(jìn)行碰撞、交流；若問題不具備條件，則善于改造、變通，將其轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題.這種轉(zhuǎn)化化歸的思想，在數(shù)學(xué)解題中屢見不鮮.例如證法1～4，將鈍角三角形中邊的平方關(guān)系問題通過構(gòu)造、分解圖形的方法，轉(zhuǎn)化為直角三角形問題，從而運(yùn)用勾股定理獲證.

2.思維靈動(dòng)，動(dòng)靜相生

思維靈動(dòng)而充滿創(chuàng)造性，是智慧課堂的重要特征.幾何學(xué)研究運(yùn)動(dòng)變化中的不變性，新課程幾何引入旋轉(zhuǎn)、平移、對(duì)稱、相似等變換，借助它們進(jìn)行線段、角、區(qū)域的恒等、放縮轉(zhuǎn)換，使圖形成為動(dòng)態(tài)的，在分分合合、運(yùn)動(dòng)變化中我們抓住不變性（量），給創(chuàng)造帶來更多的空間和靈性.本課的多種證法中，不乏對(duì)稱、等積變換的身影.

3.大膽想象，不離本質(zhì)

證法1中，可以把角C想象成一把開合自如的剪刀，著張角C的減小，剪刀開口兩個(gè)尖端的距離也在縮小.股定理的面積法證明，其本質(zhì)是構(gòu)造圖形，使其面積含有與三邊a，b，c平方有關(guān)的量，其中多數(shù)證法是構(gòu)造正方形、直角三角形、梯形等規(guī)則圖形.證法5卻大膽想象，構(gòu)造了一個(gè)不規(guī)則四邊形.

4.整體感悟，直覺把握

智慧往往表現(xiàn)為對(duì)事物的宏觀的把握，或一種穿越細(xì)節(jié)和邏輯鏈條的直覺、頓悟，如證法3，學(xué)生可以從整體上感悟到當(dāng)角C為鈍角時(shí)，所對(duì)的邊c相對(duì)于a、b比角C為直角時(shí)要大些，因而直覺上感到可與角C為直角時(shí)相應(yīng)的勾股定理的結(jié)論聯(lián)系起來.當(dāng)學(xué)生7興奮地說：“老師，老師，還可以用圖形的面積來解決！”這時(shí)他很可能是由于頓悟而驚喜.

5.整合遷移，融會(huì)貫通

智慧常生成于知識(shí)交匯處，這里是思想碰撞、知識(shí)聯(lián)系的沃土，也是創(chuàng)造的源泉之一.如證法5，將面積法和變換法結(jié)合起來，顯得新穎別致.智慧也常生成于知識(shí)、方法的遷移、類比，如魯班從葉子的銳利類比聯(lián)想，發(fā)明了鋸子.證法6正是從勾股定理的歐幾里得證法，加以巧妙遷移而得.

（二）智慧生成的條件

本節(jié)課上，學(xué)生的智慧火花迸發(fā)，處于思如涌泉的激發(fā)態(tài)，我們不妨冷靜地進(jìn)行理性反思：為何這個(gè)問題能產(chǎn)生如此豐富的結(jié)果？除了學(xué)生的良好素質(zhì)、教師的熱情鼓勵(lì)與適時(shí)點(diǎn)撥、平時(shí)探究能力和創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)以外，問題的提出、知識(shí)的儲(chǔ)備、方法的掌握、能力的培養(yǎng)等，也為智慧的生成打下了基礎(chǔ).細(xì)思之，本課的智慧生成，既是意料之外，也在情理之中.

綜上所述，把握智慧課堂的特點(diǎn)，了解智慧孕育的條件，可以更好地抓住課堂上稍縱即逝的意外契機(jī)，及時(shí)促進(jìn)智慧的生成，有意識(shí)地營(yíng)造智慧的課堂.

1.馬夫.初中數(shù)學(xué)教學(xué)策略［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2010.

2.黃建平.通過巧設(shè)橋梁來提升學(xué)生的數(shù)學(xué)說題能力［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（9）.W