王偉

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》指出：“數(shù)學(xué)探究是貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，滲透在每一個(gè)模塊或?qū)ｎ}中.”“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該倡導(dǎo)自主探究、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)方式，發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師的引導(dǎo)下的‘再創(chuàng)造過程.”互動(dòng)探究，就要研究教師在課堂教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索，實(shí)現(xiàn)師生和生生互動(dòng)，體現(xiàn)學(xué)生主體，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.筆者認(rèn)為要提高學(xué)生的互動(dòng)探究能力，彰顯數(shù)學(xué)課堂魅力，應(yīng)該從以下幾個(gè)方面著手.

一、創(chuàng)設(shè)情境 激發(fā)互動(dòng)探究欲望

成功的教學(xué)所需要的不是強(qiáng)制，而是激發(fā)學(xué)生的興趣.孔子曾說(shuō)過：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者.”只有“好之”“樂之”才能有高漲的學(xué)習(xí)熱情和強(qiáng)烈的求知欲望，才能以學(xué)為樂.而學(xué)生的興趣源自于具體情境，課堂教學(xué)又是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、實(shí)施主體教育的主陣地.因此，教師要設(shè)計(jì)新穎的導(dǎo)課形式：或以故事引入，或以懸念激趣，或以問題探究等，為學(xué)習(xí)新知起到鋪墊搭橋作用，為構(gòu)建新的知識(shí)結(jié)構(gòu)做好準(zhǔn)備.同時(shí)教師應(yīng)從學(xué)生的角度出發(fā)，根據(jù)學(xué)生的需要提供一切條件，如師生共同營(yíng)造活動(dòng)氛圍與空間，為學(xué)生的發(fā)展提供足夠的信息資料等. 當(dāng)然，設(shè)計(jì)材料要能迎合學(xué)生口味，要能激起學(xué)生的求知欲，提供的材料要具有一定的結(jié)構(gòu)性，利于學(xué)生探索發(fā)現(xiàn).

案例1 余弦定理的引入.

師：在我們班中，小明家離學(xué)校2000米，小紅家離學(xué)校4000米，問：小明家和小紅家相距多遠(yuǎn)？

學(xué)生面面相覷，很多學(xué)生積極討論著.半分鐘后展示用幾何畫板制作的動(dòng)畫片：隨著小明家與學(xué)校的連線和小紅家與學(xué)校的連線的夾角在變化，小明家和小紅家間的距離也在發(fā)生變化.

師：從這個(gè)動(dòng)畫片你發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：從這個(gè)動(dòng)畫片中我們可以發(fā)現(xiàn)小明和小紅家的距離是不確定的.

生2：它隨著小明家與學(xué)校的連線和小紅家與學(xué)校的連線的夾角變化而變化.若夾角確定，則小明和小紅家的距離確定；若夾角不確定，則小明和小紅家的距離也不確定.

師：所以上面這個(gè)問題還需要增加一個(gè)條件：小明家與學(xué)校的連線和小紅家與學(xué)校的連線的夾角.大家能否將這一實(shí)際問題抽象成一個(gè)數(shù)學(xué)模型？

學(xué)生的積極性馬上被調(diào)動(dòng)起來(lái)了，小組間熱烈討論著.

因此，借助豐富的情境，引導(dǎo)、組織學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、分析、抽象概括、推理等活動(dòng)，在相互交流中，使學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解數(shù)學(xué)概念，獲得結(jié)果，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)能力，并通過大膽、合理的猜想，生成猜想驗(yàn)證性信息，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力.

二、自主構(gòu)建 品嘗互動(dòng)探究樂趣

數(shù)學(xué)新課的展開、數(shù)學(xué)新知識(shí)的構(gòu)建、數(shù)學(xué)新技能的形成和數(shù)學(xué)問題的解決，不是教師對(duì)學(xué)生的贈(zèng)予，而是學(xué)生在教師的引導(dǎo)下積極主動(dòng)探索的智慧結(jié)晶.依據(jù)最近發(fā)展區(qū)觀點(diǎn)，教師應(yīng)教給學(xué)生探究的方法，或自學(xué)看書、或動(dòng)手操作、或觀察思考等等，給予個(gè)體獨(dú)立探索的時(shí)間.讓學(xué)生明確探索應(yīng)達(dá)到的目標(biāo)與要求.在探索過程中，學(xué)生應(yīng)對(duì)自己以為已懂的知識(shí)進(jìn)行歸納、整理，準(zhǔn)備在小組中發(fā)言交流，同時(shí)將尚未理解的問題逐項(xiàng)列出，以待與他人合作解決，從而獲得對(duì)新知識(shí)的理解. 這樣做使學(xué)生經(jīng)歷概念和規(guī)律的建構(gòu)過程，為學(xué)生的全面發(fā)展創(chuàng)造了廣闊的空間，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)、發(fā)展打下了良好的基礎(chǔ).

案例2 余弦定理的推導(dǎo).

在案例1情境下，學(xué)生展開熱烈的討論，給出自己的模型.

生3：在△ABC中，已知AB=c，AC=b，∠A=θ，請(qǐng)用c，b，θ來(lái)表示BC的長(zhǎng)a.

學(xué)生很快就得到了這樣的數(shù)學(xué)模型，教師隨即將其在屏幕上展示出來(lái).經(jīng)過師生共同討論，一致認(rèn)為BC的長(zhǎng)度與∠A的大小有關(guān).

師：由直觀圖大家可以得到什么？

生4：若∠A=90°，則a2=b2+c2；若0°<∠A<90°，則a2b2+c2.

師：我們希望得到是a2=“關(guān)于c，b，θ的表達(dá)式”，那么對(duì)于生4的結(jié)論進(jìn)行怎樣的處理呢？

學(xué)生經(jīng)過熱烈討論得到a2=b2+c2-k（θ）.

師：那現(xiàn)在的重點(diǎn)是研究k（θ）了，關(guān)于k（θ）大家還可以得到什么結(jié)論呢？

經(jīng)過一段時(shí)間思考，學(xué)生普遍感到無(wú)從下手，這時(shí)教師給與提醒，從特殊情況入手，尋找規(guī)律.當(dāng)θ=30°時(shí)，k（θ）的值是多少？經(jīng)過三分鐘的思考，一部分學(xué)生順利完成k（30°）的計(jì)算.

師：當(dāng)θ=45°，60°，120°，135°，150°時(shí)，a2分別等于多少？

學(xué)生自覺地以小組為單位，進(jìn)行運(yùn)算，并給出相應(yīng)的結(jié)果，并逐一在黑板上給予展示，在此筆者不一一列舉.

師：根據(jù)大家的計(jì)算，你們能進(jìn)一步得到關(guān)于k（θ）的信息嗎？

生5：通過觀察、比較發(fā)現(xiàn)k（θ）=2bccosθ.

師：很好！這就是余弦定理：a2=b2+c2-2bccosθ.

作為組織者，教師應(yīng)致力于組織學(xué)生發(fā)現(xiàn)、尋找、搜集和利用學(xué)習(xí)資源，在學(xué)習(xí)過程中為學(xué)生營(yíng)造積極的心理氛圍，通過設(shè)置問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度、不同側(cè)面自主探究，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程，使學(xué)生在探究中有效領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂.

三、逐步遞進(jìn) 培養(yǎng)互動(dòng)探究精神

在課堂教學(xué)中，教師在引導(dǎo)學(xué)生完成例題的教學(xué)后，要有意識(shí)地對(duì)數(shù)學(xué)中的問題從不同角度、不同層次、不同情況、不同背景進(jìn)行變式，以暴露問題的本質(zhì)特征，揭示不同知識(shí)點(diǎn)間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生在探究活動(dòng)中深刻領(lǐng)悟解題原則，由會(huì)解一道題到會(huì)解一類題，形成有效的鏈架，從而使學(xué)生從探究中噴發(fā)出“思維的火花”.

案例3 若△ABC的三邊滿足a2+b2=c2，問△ABC的形狀？

變式1 若△ABC的三邊滿足a4+b4=c4，問△ABC的形狀？

學(xué)生獨(dú)立思考，然后小組交流討論.

變式2 若△ABC的三邊滿足（）4+（）4=1，問△ABC的形狀？

變式3 若△ABC的三邊滿足（）n+（）n=1（n>2，n∈Z），問△ABC的形狀？

師生共同探討，教師提示學(xué)生采用合情推理，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行“大膽猜想，小心求證”.

師生：∵cn=an+bn>an ∴c>a，同理，c>b.

∵（）n+（）n=1，且0<<1，0<<1.

∴（）2>（）n，（）2>（）n，

∴（）2+（）2=1，即a2+b2>c2.

∴cosC>0，故△ABC為銳角三角形.

變式4 若△ABC的三邊滿足an+bn=cn（n>2，n∈Z），問△ABC的形狀？

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)此環(huán)節(jié)基于兩方面的考慮：一方面通過不斷等價(jià)與弱化變式，加深對(duì)余弦定理的理解與應(yīng)用，另一方面在探索新問題時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行“大膽猜想，小心求證”等合情推理的方式思考問題，符合知識(shí)間相互聯(lián)系而不是孤立的新課程理念，同時(shí)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的進(jìn)一步發(fā)展作了很好的鋪墊.

通過從不同角度、不同層次、不同情況、不同背景進(jìn)行變式，以暴露問題的本質(zhì)特征，揭示不同知識(shí)點(diǎn)間的內(nèi)在聯(lián)系，在學(xué)習(xí)研究中，使學(xué)生在主動(dòng)參與中實(shí)現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的升遷，可謂高潮迭起，精彩繽紛！

四、反思總結(jié) 提升互動(dòng)探究能力

著名的數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)過：“數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半，而更重要的是解題之后的回顧與反思.”反思對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)的各方面的培養(yǎng)都有積極的意義.反思題目結(jié)構(gòu)特征可培養(yǎng)思維的深刻性；反思解題思路可培養(yǎng)思維的廣闊性；反思解題途徑，可培養(yǎng)思維的批判性；反思問題結(jié)論，可培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性；運(yùn)用反思過程中形成的知識(shí)組塊，可提高學(xué)生思維的敏捷性；反思還可提高學(xué)生思維自我評(píng)價(jià)水平，有利于提高學(xué)生的思維品質(zhì).

案例4 若cosα+2sinα=-，則tanα=（ ）

A. B. 2 C. - D. -2

學(xué)生通過探究發(fā)現(xiàn)此題有多種解法，教師叫幾位學(xué)生板演，充分暴露其思維過程.

思路1：方程思想，即聯(lián)立sin2α+cos2α=1.

思路2：切弦互換，即把等式兩邊平方，然后把分母“1”看成“sin2α+cos2α”，等式左邊化成tanα的等式，即“tan2α-4tanα+4=0”.

思路3：求導(dǎo)法，即兩邊求導(dǎo)得到：-sinα+2cosα=0即可.

反思 思路1是解此類題目的通法；思路2是否是通法呢？如果采用切弦互換，得到方程“atan2α+btanα+c=0”，而方程有2個(gè)不同的解，我們又如何處理？例如：“已知α是三角形的內(nèi)角，且sinα+cosα=，求tanα的值”；思路3為什么可以對(duì)兩邊求導(dǎo)呢？是不是所有這類題目都可以求導(dǎo)，是巧合？還是另有其他原因？如果不可以，又需要滿足什么條件呢？觀察“cosα+2sinα=-”等式右邊發(fā)現(xiàn)-是函數(shù)f（x）=cosx+2cosx的極小值.因此可以大膽提出如下問題，用求導(dǎo)方法能否解決下面的問題：已知asinα+bcosα=±，求tanα.

通過解題后對(duì)習(xí)題特征進(jìn)行反思，用自己的語(yǔ)言或數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)習(xí)題進(jìn)行重新概述，培養(yǎng)思維的深刻性，促進(jìn)知識(shí)的正向遷移，提高解題能力.

蘇霍姆林斯基說(shuō)：“在人的內(nèi)心深處都有一種根深蒂固的需求——總感到自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者.在青少年的精神世界里，這種需求特別強(qiáng)烈.”新授伊始，先由學(xué)生個(gè)體獨(dú)立探索，就是讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)問題、研究問題，培養(yǎng)學(xué)生探究問題的意識(shí)，從而養(yǎng)成獨(dú)立探究知識(shí)的良好習(xí)慣.因此，課堂教學(xué)的過程，應(yīng)是教師、教材、學(xué)生、環(huán)境等要素之間的多項(xiàng)的、全方位的一個(gè)信息互動(dòng)過程.應(yīng)把教學(xué)各要素放在同一個(gè)平臺(tái)上，讓各種信息源發(fā)生互動(dòng)，達(dá)到互惠.教學(xué)的過程，既要有利于學(xué)生個(gè)體獨(dú)立探索，更要有助于學(xué)生互動(dòng)合作探索，用集體的智慧，燃起創(chuàng)新的火花，這也是二十一世紀(jì)對(duì)人才的要求.endprint