朱大志

題型一：直線和圓相切問題

例1 自點(diǎn)A（-3，3）發(fā)出的光線ι射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在的直線與圓C：相切，求光線ι所在直線的方程。

解析：圓關(guān)于x軸對(duì)稱的圓C'的方程為其圓心為C'（2，-2）。

由題意得ι與圓C'相切。

易得直線ι的斜率存在。

設(shè)ι：y-3=k（x+3）。

由ι與圓C'相切，得

整理得

解得

故光線ι所在直線的方程為或，即3x+4y-3=0或4x+3y+3=O。

題型二：直線和圓相交問題

例2 已知直線ι過點(diǎn)（-2，0），當(dāng)直線ι與圓有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，其斜率k的取值范圍是（）。

解析：將化為，則該圓的圓心為（1，0），半徑為r=l。

由題意得直線ι的方程為y=k（x+2），即kx-y+2k=0。

設(shè)圓心（1，O）到直線ι的距離為d。

由直線ι與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，得d<

解得。應(yīng)選c。

題型三：“設(shè)而不求”技巧的應(yīng)用

例3 已知圓和直線交于P、Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ（0為坐標(biāo)原點(diǎn)），求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑。

解析：將x=3-2y代人方程m-0中，得

設(shè)點(diǎn)P（x1，y1）、Q（X2，y2），則

由，得

由OP⊥OQ，得，即，即9-6×4+（m+12）=0。解得m-3。

當(dāng)m=3時(shí)，方程的判別式△>0，則m=3滿足題意，此時(shí)圓心坐標(biāo)為，半徑為

題型四：弦長(zhǎng)的計(jì)算及應(yīng)用

例4 已知直線ax+by+c=0與圓0相交于A、B兩點(diǎn)，且，則=____。

解析：如圖1，OC⊥AB。

在Rt△OAC中，AC=，OA=1，則∠AOC=60°故∠AOB=120°應(yīng)填。

題型五：直線與圓的平移問題

例5 將直線2x-y+λ=0沿x軸向左平移1個(gè)單位，所得直線與圓相切，則實(shí)數(shù)λ的值為（）。

A.-3或7

B.-2或8

C.O或10

D.1或11

解析：直線2x-y+λ=O沿x軸向左平移1個(gè)單位后，所得直線ι的方程為：2（x+1）-y+λ=0。

已知圓的圓心為（-l，2），半徑為

由直線ι與圓相切，得圓心（-l，2）到直線ι的距離等于圓的半徑，即：

解得λ=-3或λ=7。應(yīng)選A。

題型六：直線與圓的綜合問題

例6 已知直線

（l）求證：對(duì)任意m∈R，ι1與ι2的交點(diǎn)P在一個(gè)定圓上。

（2）若ι1與定圓的另一個(gè)交點(diǎn)為P1，ι2與定圓的另一個(gè)交點(diǎn)為P2，當(dāng)m在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)取值時(shí)，求的面積的最大值及對(duì)應(yīng)的m。

解析：（1）ι1與ι2分別過定點(diǎn)A（O，O）、B（2，1），且互相垂直，則ι1與ι2的交點(diǎn)必在以AB為直徑的圓上。

以AB為直徑的圓的圓心為，半徑為則所求定圓為，即

（2）由（l）得P1（O，O）、P2（2，1）。

設(shè)定圓的半徑為r。