胡文

在高考數(shù)學(xué)中，函數(shù)與不等式的綜合題是函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列等內(nèi)容的有機(jī)結(jié)合. 證明不等式的方法很多，但在處理函數(shù)與不等式的綜合題時(shí)，運(yùn)用常規(guī)辦法往往難以奏效或過(guò)程繁瑣，需另辟蹊徑. 本文結(jié)合實(shí)例，通過(guò)充分利用函數(shù)性質(zhì)來(lái)探求這類題型的解題策略.

等價(jià)轉(zhuǎn)化后作差構(gòu)造函數(shù)證明不等式

例1 設(shè)函數(shù)[f（x），g（x）]的定義域?yàn)閇R]，且[f（x）]是奇函數(shù)，[g（x）]是偶函數(shù)，[f（x）+g（x）=ex]，其中[e]為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）求[f（x），g（x）]的解析式，并證明：當(dāng)[x>0]時(shí)，[f（x）>0]，[g（x）≥1]；

（2）設(shè)[a≤0，b≥1]，證明：當(dāng)[x>0]時(shí)，[ag（x）+（1-a）分析 根據(jù)函數(shù)性質(zhì)，不難得出（1）中[f（x）=ex-e-x2>0，g（x）=ex+e-x2>1]. 如果直接將[f（x）]，[g（x）]的解析式代入（2）中的不等式，再化簡(jiǎn)變形進(jìn)行證明的話，就會(huì)非常繁瑣. 我們注意到[x>0]，（2）所證不等式等價(jià)于[axg（x）+（1-a）x

又[f（x0）=ex0-2x0+2=0]，即[ln（x0+2）=-x0].

[∴f（x）≥f（x0）=1x0+2+x0=（x0+1）2x0+2>0].

綜上，當(dāng)[m≤2]時(shí)，[f（x）>0].

解讀 本題通過(guò)適當(dāng)?shù)姆趴s，轉(zhuǎn)化為尋求當(dāng)[m=2]時(shí)[f（x）]的最小值，利用最小值大于零從而達(dá)到證明不等式的目的. 與例2的區(qū)別在于，本題無(wú)法求出具體的最值點(diǎn)，而是首先驗(yàn)證極值點(diǎn)的存在性和惟一性，再說(shuō)明此時(shí)極值點(diǎn)就是所求的最小值點(diǎn)，并充分利用極值點(diǎn)滿足的方程來(lái)驗(yàn)證最小值大于零.

利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式

例4 已知常數(shù)[a≥0]，函數(shù)[f（x）=ln（1+x）+a2x2-x，][x≥0，]

（1）討論函數(shù)[f（x）]的單調(diào)性；

（2）設(shè)[n∈N*]，求證：[ln（n+1）分析 要證明（2）中[ln（n+1）