葉雪瓊 吳偉朝

[摘 要]數(shù)學(xué)思維一直是數(shù)學(xué)教育研究的熱點(diǎn)問題，新課標(biāo)對(duì)中學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)也提出了高要求.數(shù)學(xué)直覺思維與數(shù)學(xué)邏輯思維是互相聯(lián)系、密不可分的.傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)調(diào)邏輯思維的培養(yǎng)，在新課程標(biāo)準(zhǔn)下，我們也應(yīng)該重視直覺思維的培養(yǎng)和應(yīng)用.

[關(guān)鍵詞]直覺思維 邏輯思維 數(shù)學(xué)教學(xué) 應(yīng)用 培養(yǎng)

一、引言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中的課程目標(biāo)指出：通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.[1]數(shù)學(xué)思維的分類方法很多，根據(jù)思維過程是否遵循一定的邏輯規(guī)則和意識(shí)的清晰程度，結(jié)論是否有明確的思考步驟，可以把思維分為數(shù)學(xué)直覺思維和數(shù)學(xué)邏輯思維.數(shù)學(xué)邏輯思維是指思維者嚴(yán)格按照邏輯規(guī)律，運(yùn)用概念、判斷、推理等思維形式進(jìn)行的思維;數(shù)學(xué)直覺思維是指未經(jīng)過一步步的邏輯推理或無清晰的邏輯步驟，而對(duì)問題直接的、突然間的領(lǐng)悟、理解或給出答案的思維.[2]

數(shù)學(xué)思維問題是數(shù)學(xué)教育的核心，一直以來都有非常多的學(xué)者從事著數(shù)學(xué)思維問題的研究.通過查閱文獻(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)，直覺思維與邏輯思維一直被學(xué)者對(duì)立起來研究.但是，根據(jù)課程目標(biāo)，直覺思維與邏輯思維是密切相關(guān)的.數(shù)學(xué)直覺和邏輯思維對(duì)培養(yǎng)中學(xué)生提出問題、分析解決問題的能力具有非常重要的作用.特別是對(duì)于思維快速發(fā)展的中學(xué)生，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)直覺、邏輯思維對(duì)他們的學(xué)習(xí)與生活都具有特別重要的意義.教師與學(xué)生應(yīng)該一起努力培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)直覺和邏輯思維習(xí)慣.

二、數(shù)學(xué)直覺、邏輯思維在數(shù)學(xué)教育中的具體體現(xiàn)

1.數(shù)學(xué)直覺思維、邏輯思維在問題解決過程中的作用

著名心理學(xué)家皮亞杰的研究成果表明，在個(gè)體思維發(fā)展的過程中，直覺思維要比邏輯思維先出現(xiàn).在數(shù)學(xué)問題解決的過程中，筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)直覺思維要先于邏輯思維出現(xiàn).在遇到一個(gè)問題時(shí)，首先是直覺告訴你這個(gè)問題可能會(huì)跟哪方面的知識(shí)有關(guān)，可能會(huì)用到什么方法，然后才會(huì)出現(xiàn)數(shù)學(xué)邏輯思維去證明直覺思維過程中出現(xiàn)的想法是否可行.數(shù)學(xué)直覺思維對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)的判斷、尋找解決問題的思路具有非常重要的作用;數(shù)學(xué)邏輯思維對(duì)于解決問題過程的嚴(yán)謹(jǐn)性也起著至關(guān)重要的作用.

【例1】 計(jì)算9972.

解法一：原式=997×997=994009.

解法二：原式=（1000-3）2=10002-2×1000×3+32=1000000-6000+9=994009.

解法三：原式=9972-32+9=（997+3）（997-3）+9=1000×994+9=994009.

剖析：這是一道計(jì)算一個(gè)數(shù)的平方的題.在小學(xué)階段非常重視數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算，因此，學(xué)生看到這個(gè)題，由于數(shù)字偏大，直覺應(yīng)該是要簡(jiǎn)便運(yùn)算的.如果學(xué)生對(duì)小學(xué)知識(shí)掌握得比較好，就不難發(fā)現(xiàn)997與1000比較接近，因此可以嘗試用湊整的方法，后面的運(yùn)算就需要數(shù)學(xué)邏輯思維去完成.如果學(xué)生對(duì)初中知識(shí)掌握得比較好，則可以發(fā)現(xiàn)題目中需要求平方，我們學(xué)過平方差和完全平方和公式，有沒有可能用到，用哪一個(gè)更加方便，后面的驗(yàn)證就是依靠數(shù)學(xué)邏輯思維完成最后的解答.如果學(xué)生后面兩種解法都沒有想到，那就只能用解法一.

數(shù)學(xué)思維的出現(xiàn)雖然有先后之別，但卻沒有好壞之差.對(duì)于問題解決的過程中，學(xué)生更重要的是了解如何利用數(shù)學(xué)直覺思維與邏輯思維歸結(jié)出數(shù)學(xué)方法解決學(xué)習(xí)和生活中遇到的問題，這樣數(shù)學(xué)教育就發(fā)揮了鍛煉思維的作用.

【例2】 設(shè)有白酒與紅酒各一杯，兩者分量相同.先從白酒中舀一匙羮放入紅酒杯中，調(diào)勻后，舀回一匙羮放入白酒中.問白酒杯在所含紅酒是否少于紅酒杯中所含的白酒 [3]

剖析：學(xué)生遇到這種題，直覺告訴他是可以計(jì)算出來的，然后就設(shè)酒杯容量為a，羮容量為b，在第一次動(dòng)作之后有……，大家都知道如何求解，但是大部分學(xué)生會(huì)因?yàn)橛?jì)算而出錯(cuò).如果學(xué)生換一下思維就會(huì)發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)杯子最終所盛液體分量相同.設(shè)將每杯中的白酒與紅酒分離，則盛白酒杯中之紅酒是來自紅酒杯中之所失，紅酒杯中所失之分量是由白酒所代替，因此盛白酒杯中之紅酒與盛紅酒杯中之白酒分量相同.通過這個(gè)例子可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)直覺思維雖然先出現(xiàn)，但難以解決問題，而邏輯思維卻很快就能解決問題.在生活和學(xué)習(xí)中應(yīng)該將兩種思維有機(jī)地結(jié)合，這樣能夠快速有效地解決問題.

2.數(shù)學(xué)直覺思維、邏輯思維有助于培養(yǎng)中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)素養(yǎng)一直是我國基礎(chǔ)教育改革的重要部分.數(shù)學(xué)素養(yǎng)也是全世界關(guān)注的一個(gè)話題，但國際對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)沒有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的定義，各有各的說法，PISA對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的定義是：個(gè)體確定和理解數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界所起的作用，作出有充分根據(jù)的判斷和從事數(shù)學(xué)，以此來滿足一個(gè)在當(dāng)前和未來生活中作為積極地參與和反思的公民需要的能力.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中指出，數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng).作為促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展教育的重要組成部分，數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面不可替代的作用.[1]

數(shù)學(xué)直覺-邏輯思維對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力、數(shù)學(xué)能力都具有舉足輕重的作用.數(shù)學(xué)邏輯思維能對(duì)直覺思維提出的創(chuàng)新性思想進(jìn)行邏輯論證.這是邏輯思維在數(shù)學(xué)思維中最重要的作用.從數(shù)學(xué)活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺-邏輯思維，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

三、培養(yǎng)中學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維和邏輯思維的策略

1.鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度思考問題

教師在教學(xué)的過程中應(yīng)該尊重學(xué)生，對(duì)于學(xué)生在學(xué)習(xí)中或課堂上提出的一些異于尋常的問題，不應(yīng)該直接否定或者忽視，否則會(huì)打擊學(xué)生主動(dòng)思考、提出問題的積極性.教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生從不同的角度思考問題，勇敢地提出有創(chuàng)新性的問題，不受制于思維定式，引導(dǎo)學(xué)生用正確的數(shù)學(xué)邏輯表達(dá)自己所發(fā)現(xiàn)的問題和看法.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，能夠?qū)W會(huì)提出問題比學(xué)會(huì)解決問題要困難且有意義得多.此外，在平時(shí)的課堂教學(xué)中教師應(yīng)有意識(shí)地培養(yǎng)中學(xué)生敏銳的觀察力和豐富的想象力.觀察力和想象力直接影響數(shù)學(xué)直覺-邏輯思維的培養(yǎng).學(xué)生具有良好的觀察力和想象力才能在學(xué)習(xí)生活中更容易發(fā)現(xiàn)問題并解決問題.西爾威斯特認(rèn)為，要對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行分析，是直接從人類已知的內(nèi)在力量與活動(dòng)中涌現(xiàn)出來，從思想的內(nèi)在時(shí)間連續(xù)更新的反思中產(chǎn)生出來，這種內(nèi)在世界的變化現(xiàn)象就像外部的現(xiàn)實(shí)世界一樣要求密切地注意和識(shí)別.數(shù)學(xué)研究需要不斷地觀察和比較，它的主要武器之一是歸納，它經(jīng)常求助于實(shí)際的試驗(yàn)與證實(shí)，同時(shí)還對(duì)想象力與創(chuàng)造力進(jìn)行最好的訓(xùn)練.

2.在教學(xué)過程中注重?cái)?shù)學(xué)方法，教授充滿聯(lián)系的數(shù)學(xué)，通過再創(chuàng)造展示數(shù)學(xué)思維過程

弗賴登塔爾說過，真正能夠起到思維訓(xùn)練作用的是數(shù)學(xué)方法而不是具體題材，因而必須強(qiáng)調(diào)方法，并盡可能使之明確.要培養(yǎng)中學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺-邏輯思維，就必須在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透，教會(huì)學(xué)生如何用數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行思考并解決問題.教師如何才能讓中學(xué)生能夠更好地掌握數(shù)學(xué)方法進(jìn)而達(dá)到訓(xùn)練思維的目的呢 那就是教授學(xué)生充滿著聯(lián)系的數(shù)學(xué).夸美紐斯曾經(jīng)說過，人們學(xué)習(xí)的每件事情都應(yīng)該是充滿著聯(lián)系的.這種聯(lián)系應(yīng)該是基于中學(xué)生能夠理解的數(shù)學(xué)內(nèi)部聯(lián)系、外部聯(lián)系和數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系.并且這些聯(lián)系是自然形成而不是人為地制造的;數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系應(yīng)該是學(xué)生親身經(jīng)歷過的現(xiàn)實(shí)，而不是虛假制造的現(xiàn)實(shí)，這樣才有助于學(xué)生的理解.[3]利用類比法是建立數(shù)學(xué)內(nèi)部與外部聯(lián)系的一個(gè)極為有效的方法，學(xué)生通過類比可以在心理上有個(gè)過渡，因此也就更容易掌握.充滿聯(lián)系的數(shù)學(xué)更易于激發(fā)學(xué)生的直覺思維，使學(xué)生的邏輯思維更加嚴(yán)密.

數(shù)學(xué)教學(xué)的過程應(yīng)該是一次數(shù)學(xué)再創(chuàng)造的過程.換句話說，我們要通過再創(chuàng)造來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，而不應(yīng)該將教的內(nèi)容作為現(xiàn)成的產(chǎn)品強(qiáng)加給學(xué)生.學(xué)習(xí)過程必須含有直接創(chuàng)造的成分，即并非客觀意義的創(chuàng)造而是主觀意義上的創(chuàng)造，即從學(xué)生的觀點(diǎn)看是創(chuàng)造.通過指導(dǎo)性再創(chuàng)造獲得的知識(shí)與能力要比被動(dòng)獲得者理解得更好也更容易保持，更有助于鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺-邏輯思維.

3.對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行多元表征，構(gòu)成完善的知識(shí)體系

將數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行多元表征，構(gòu)建完善的知識(shí)體系對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維和直覺思維具有非常重要的作用.數(shù)學(xué)知識(shí)具有符號(hào)性和嚴(yán)謹(jǐn)性等特點(diǎn)，因此數(shù)學(xué)知識(shí)表征比較特殊.程廣文在他的文章[5]中提到以下幾種不同的表征方式：命題表征、符號(hào)表征、算子表征、圖式表征和心智映象表征等.教師在教學(xué)過程中應(yīng)該靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的各種表征，幫助學(xué)生更深層次地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，構(gòu)建屬于學(xué)生的知識(shí)體系.教師在新授課、練習(xí)課和復(fù)習(xí)課中都可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己的掌握情況構(gòu)建知識(shí)體系，對(duì)于薄弱環(huán)節(jié)可以加強(qiáng)學(xué)習(xí).在復(fù)習(xí)課上，構(gòu)建完善的知識(shí)體系是最理想的，同時(shí)教師也應(yīng)該考慮學(xué)生的個(gè)體差異性.

4.學(xué)生要保持良好的個(gè)性;敢于發(fā)表自己的想法、勇于質(zhì)疑、敢于創(chuàng)新

要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺-邏輯思維，光靠教師的努力肯定是不夠的，學(xué)生也應(yīng)該為此作出相應(yīng)的努力.首先，學(xué)生要保持良好的個(gè)性，主要是指學(xué)生在情感、意志和性格方面保持良好的狀態(tài).正確的數(shù)學(xué)思維一般發(fā)生于情緒良好和心理松弛的狀態(tài)下，因此保持良好的個(gè)性不僅對(duì)成長(zhǎng)很重要，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也一樣重要.其次，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中要敢于發(fā)表自己的想法、勇于質(zhì)疑、敢于創(chuàng)新.學(xué)生敢于表現(xiàn)自己，能夠增強(qiáng)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的強(qiáng)烈求知欲，形成良性循環(huán).學(xué)生應(yīng)該具有良好的心理素質(zhì)，即使自己的想法、質(zhì)疑最后被證明是錯(cuò)誤的，也不要?dú)怵H，這也是一種學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，應(yīng)該繼續(xù)努力.

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1]中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）[S].北京：北京師 范大學(xué)出版社，2012.

[2]許柏林.培養(yǎng)小學(xué)高年級(jí)學(xué)生的直覺思維[D].廣州：廣州大學(xué)，2012.

[3]弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].上海：上海教育出版社，1999.

[4]羅增儒.中學(xué)數(shù)學(xué)課例分析[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，2001.

[5]程廣文.論數(shù)學(xué)知識(shí)表征特殊性[J].聊城師院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2002，15（3）：73-75.