謝高峰

運算求解能力主要是指根據(jù)數(shù)學(xué)概念、公式、法則對數(shù)、式等進(jìn)行正確運算和變形的能力；分析條件，尋求并設(shè)計合理、簡捷的運算途徑的能力；根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進(jìn)行估計，并進(jìn)行正確運算的能力.運算求解能力是影響學(xué)生數(shù)學(xué)成績的主要因素之一. 事實上，我們的數(shù)學(xué)運算求解能力存在許多問題：如運算速度慢，正確率低，機械套用公式，只注重運算結(jié)論而不注重求解過程，求解步驟不合理，過繁或過簡等.因此，如何采取具有針對性的能改善運算求解能力的措施，是一個需要認(rèn)真研究的問題.

對研究對象的理解和建模能力

對數(shù)學(xué)研究對象（包括數(shù)學(xué)定義、公式、法則和定理等）的準(zhǔn)確理解和把握是提高我們運算求解能力的基礎(chǔ)和前提.我們的運算求解過程，實際上就是從問題的條件和求解目標(biāo)出發(fā)，分析其中涉及的概念、公式、法則或定理，并尋求它們的關(guān)系，抽象出其中的數(shù)學(xué)模型. 這種數(shù)學(xué)模型也往往表現(xiàn)出一種特定的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)或關(guān)系（數(shù)學(xué)表達(dá)式），通過建模求解，最終算出結(jié)果.求解同樣一個模型時所選用的依據(jù)不同，就會造成運算求解過程的繁簡程度不同.

例1 求[|x+1x|]的最小值.

普解 （1）當(dāng)[x>0]時，[|x+1x|=x+1x≥2]，當(dāng)且僅當(dāng)[x=1]時等號成立.

（2）當(dāng)[x<0]時，[|x+1x|=-x+1-x≥2]，并且當(dāng)且僅當(dāng)[x=-1]時等號成立.

綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)[x=±1]時，[|x+1x|]最小值是2.

優(yōu)解 [|x+1x|=|x|+1|x|≥2]，

當(dāng)且僅當(dāng)[|x|=1|x|]，即[x=±1]時取等號.

所以[|x+1x|]的最小值是2.

對運算求解方法的選擇能力

對運算求解方法選擇的恰當(dāng)與否直接決定著運算過程的繁簡和運算量的大小.少數(shù)同學(xué)的運算求解能力比較強，主要體現(xiàn)在其能選擇合理的運算求解方法，減少運算量，從而保證運算的準(zhǔn)確、迅速.

例2 當(dāng)[a=45-1]時，求[12a3-a2-2a+1]的值.

普解 部分同學(xué)直接將[a=45-1]代入多項式，運算非常麻煩且容易出錯.

優(yōu)解 而懂得運用技巧的會注意到[a]的分母是無理式，先將其變形為[a=5+1]，再進(jìn)一步變?yōu)閇a-1=5]，并把多項式進(jìn)行變形，從中析出[（a-1）2]，進(jìn)而簡化運算.

[∴12a3-a2-2a+1=12a（a-1）2-52a+1=52a-52a+1.]

挖掘信息的能力

充分挖掘已知條件、結(jié)論中所隱含的信息是尋求與設(shè)計合理、簡捷的運算求解途徑的必要條件.研究中發(fā)現(xiàn)，考生能否準(zhǔn)確、快速地進(jìn)行運算并求出結(jié)果，這在很大程度上取決于其能否深入挖掘題目中的信息.

例3 已知[an]是等比數(shù)列，且[an>0，a2a4+2a3a5][+a4a6=25]，那么[a3+a5=]（ ）

A. 5 B. 10

C. 15 D. 20

普解 設(shè)首項為[a1]，公比為[q]， 則由題意得，

[a1q?a1q3+2a1q2?a1q4+a1q3?a1q5=25].

所以[a21q4（1+2q2+q4）=25].

又[a1>0，q>0，]

所以[a1q2（1+q2）=5]，

即[a1q2+a1q4=5].所以[a3+a5=5].

優(yōu)解 對條件“[an]是等比數(shù)列”進(jìn)行深度挖掘.根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可知[a2a4+2a3a5+a4a6=25]，

即[a23+2a3a5+a25=25].

所以[（a3+a5）2=25].

又[a3+a5>0]，所以[a3+a5=5].

運用數(shù)學(xué)思想和方法的能力

高中階段的數(shù)學(xué)思想主要有數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等.具體的數(shù)學(xué)方法還包括待定系數(shù)法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法、配方法等. 對這些數(shù)學(xué)思想和方法的運用能力也是運算求解能力的一個重要組成部分.

例4 求函數(shù)[y=（x-3）2+x2+（x-4）2+（x-1）2]的最小值.

簡析 此題若直接反復(fù)平方計算，肯定不可取，大部分同學(xué)無從下手.而少部分人則會考慮從幾何意義入手，[y]為平面直角坐標(biāo)系中直線[y=x]上的點[（x，x）]到點（3，0）與點（4，1）的距離之和，因此只需找出點（3， 0）關(guān)于直線[y=x]的對稱點（0， 3），求出點（0， 3）與點（4，1）之間的距離即可.解得[zmin=（0-4）2+（3-1）2=25].

運算求解過程的簡捷性

運算求解過程的簡捷性是指運算求解過程中所選擇的運算路徑短、運算步驟少、運算用時省.運算求解過程的簡捷是運算合理性的標(biāo)志，也是提高運算速度的要求.高考對運算簡捷性的考查，主要體現(xiàn)在運算過程中對概念的靈活應(yīng)用、公式的恰當(dāng)選擇.運算求解過程的簡捷性也是對考生思維深刻性、靈活性的考查.

例5 設(shè)橢圓的兩個焦點分別為[F1]，[F2]，過點[F2]作橢圓長軸的垂線交橢圓于點[P]. 若[△F1PF2]為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為 .

普解 如圖，設(shè)[P（c，y）]，代入橢圓的方程可求得[y=b2a].

由題意可知，[2c=b2a].

又[b2=a2-c2]，

所以[a2-c2=2ac]，

即[c2+2ac-a2=0].

兩邊同除以[a2]得，[e2+2e-1=0].

解方程得[e=2-1]或[e=-2-1]（舍）.

優(yōu)解 對知識掌握較好的人則會充分利用[△F1PF2]為等腰直角三角形這個條件求解.

由[F1F2=2c]可得，

[PF2=2c，PF1=22c].

所以[2a=2c+22c].

則[e=2c2a=2c2c+22c=12+1=2-1].