[編者按]夏道行先生，1930年出生于江蘇泰州。1950年代初在浙江大學師從陳建功先生研究復變函數(shù)論。1952年研究生畢業(yè)后分配到復旦大學工作。1980年當選為中國科學院學部委員（院士）。夏先生在復變函數(shù)、無限維積分、算子理論研究方面卓有成就。2015年6月，復旦大學舉行慶賀夏道行先生八五華誕學術研討會。鑒于夏先生的許多數(shù)學工作源于1957-1958年對莫斯科大學的那次訪學。本刊特約夏先生撰寫了這篇回憶文字。這是一個年輕中國數(shù)學家攀登當代數(shù)學高峰的故事，也是1950年代我國現(xiàn)代數(shù)學研究謀求快速進步的珍貴史料。

1957年8月，我受教育部派遣去莫斯科大學訪問進修。那時的莫斯科是世界數(shù)學中心之一，大師云集。我所仰望的柯爾莫哥洛夫（A.N.Kolmogorov）、亞歷山德羅夫（P.S.Alexandrov）、蓋爾范德（I.M.Geffand）等大數(shù)學家，都在莫斯科。在為期兩年的訪學過程中，自然希望有機會見到他們，和他們接觸，接受他們的指導。

為了落實訪學計劃，我請當時在莫斯科大學做研究生的孫永生帶我去見函數(shù)論教研組主任梅尼紹夫（D.E.Men'shov）院士。他征求我的意見，我表示想請蓋爾范德（當時是蘇聯(lián)科學院通訊院士，后當選為院士）做指導。但他說蓋爾范德是屬于科學院系統(tǒng)的，莫斯科大學只能請蓋爾范德的大弟子希洛夫（G.E.Shilov）教授來指導。不過，孫永生告訴我，蓋爾范德在莫斯科大學每周一晚上（7：00-10：00）有一個3小時的討論班，不妨直接去找他。這是個好主意。于是我?guī)弦呀?jīng)發(fā)表的10多篇論文抽印本，直接到討論班上去面見蓋爾范德。我當時的俄語程度只能夠沒有困難地閱讀俄文的數(shù)學文獻。依靠僅僅不脫產(chǎn)地學過兩個月的生活俄語，事實上無法用俄語進行學術交流。所以我和蓋爾范德交談時還是用英語。當時他曾大致翻看了我的一些論文抽印本。大概由于我當時的論文大多是關于單葉函數(shù)論的，所以他說會請別的教授看一下，下周再給我答復。第二周，他對我說：“你有幾篇論文很有意思，我接受你?！蔽也戮褪俏医鉀Q了戈魯辛（G.M.Goluzin）兩個猜想的那幾篇。

蓋爾范德的討論班叫“泛函分析和數(shù)學物理”。他經(jīng)常說，泛函分析+數(shù)學物理=全部數(shù)學。事實上，在我參加討論班的一年半期間，嚴格意義下的泛函分析或數(shù)學物理是很少的。例如，蓋爾范德認為，代數(shù)幾何與多變量的廣義函數(shù)有關（當時正在開展廣義函數(shù)論的研究），于是就有一個代數(shù)幾何的教授連續(xù)五六次報告他的研究成果。這一著名的討論班通常有五六十人參加，其中10-20人是好多個大學的教授，其余是各大學的研究生和少數(shù)高年級學生。通常，我每周最多只有三四分鐘用英語和他討論數(shù)學。

為了提高對“數(shù)學俄語”的理解能力，在開始幾個月我常去旁聽大學生的基礎課，以期“用數(shù)學來理解俄語”。我也系統(tǒng)地聽過幾門研究生的課，如“群表示論”等。去莫斯科前，除有比較堅實的實分析和復分析的基礎和復變函數(shù)論的研究經(jīng)驗外，我還掌握了泛函分析的基礎知識，以及賦范環(huán)論、廣義函數(shù)論、李群理論和隨機過程理論——例如杜布（J.L.Doob）的《隨機過程》（Stochastic Processes）——等內(nèi)容。不過，還未曾有過泛函分析的研究經(jīng)驗。

大約在我參加討論班的三周后，蓋爾范德提出要和我合作研究正定偶廣義函數(shù)。他不僅提出問題，并且還提出了研究方法，即用獲得1952年斯大林獎金的梅爾格良（S.Mergelyan）的一個逼近定理進行處理。我在國內(nèi)時已經(jīng)知道一些復逼近理論，但我查遍了梅爾格良的工作，也沒有找到蓋爾范德所要的那個定理。于是，我用了另外的方法（整函數(shù)的分解和正泛函的延拓）解決了蓋爾范德提出的問題。當我把初稿交給蓋爾范德的時候，一開始他不大相信。隔了一周，他對我說：“我已經(jīng)打過電話問過梅爾格良，證實你說的不錯?！边@篇文章他和我聯(lián)名發(fā)表在《數(shù)學科學成就》（Usp MatNauk）上：其中的結果同時也收入了蓋爾范德和希洛夫合寫的《廣義函數(shù)論（I）》一書。

那時，有關如何將賦范環(huán)論推廣到拓撲線性代數(shù)上的研究在國際上很是熱鬧。我于是把賦范環(huán)論中的正泛函表示定理推廣到相當一般的代數(shù)上，寫了《代數(shù)上的正泛函》一文，交給了蓋爾范德。他看了很感興趣。特別是他說，文章中有“二次量子化”的思想。然而，當時我對“一次量子化”（即量子力學）都還沒有學過，哪里會有“二次量子化”（量子場論）的思想呢？蓋爾范德給出這樣的評論，使我感受到一位數(shù)學大家的廣博與深邃，內(nèi)心的震撼是無法用語言形容的。確實，蓋爾范德對我的這一結果相當重視，不但推薦發(fā)表，而且建議到莫斯科數(shù)學會去報告。由于我當時的俄語還不行，他說由他替我去演講。他報告那天，我也去聽了。我注意到他在替我報告時所講的內(nèi)容，其認識高度已遠遠超出了我當時做這個問題時的思想。

有一天，蓋爾范德對我說：“海森伯出版了一本書《非線性場論》，我想和你合作研究其中有關的問題；但是，你要先讀懂量子場論。”于是，我花了幾個月的時間讀了狹義相對論、量子力學和量子場論。等我讀好后告訴他，他又說，現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)海森伯的這本書是錯的，因此這個共同研究的計劃取消。但是，我因此讀了量子力學和量子場論，對我后來的研究極有幫助。

以上這些都發(fā)生在我去后的第一學期。后來我經(jīng)過較長時間的研究，寫出了《具對合的可列賦范代數(shù)》一文交給蓋爾范德，他也推薦發(fā)表了。

當時蓋爾范德剛剛發(fā)表了他的廣義隨機場論。于是他組織了由他的助手、研究生和我組成的一個小的討論班，內(nèi)容為無限維積分。這個討論班每周舉行一次，堅持了大半個學期。因為人數(shù)不超過10人，和蓋爾范德討論的機會就多了一些。在這個討論班上他曾經(jīng)說起：“簡直無法想象夏的關于正泛函的連續(xù)性的證明是怎么想出來的。”事實上，我自己也不知道是怎么想出來的。我只能說，這個證明的技巧性相當強，是經(jīng)過一周的時間，換了幾個方法才做出來的。這可能得益于我在大學時代堅持做數(shù)學難題，例如古爾薩（E.J.-B.Goursat）的《數(shù)學分析》（Mathematical Analysis）一書中的習題，以及組織數(shù)學競賽時接觸過的一些數(shù)學技巧。隨著這一小討論班的進行，我已開始進行無限維測度的研究，背景涉及廣義隨機過程、量子力學和量子場論中的連續(xù)積分，但一直到小討論班結束，還沒能取得像樣的結果?；貒?，這個小討論班對我的影響就顯示出來了。

首先，我根據(jù)蓋爾范德提出的擬不變測度概念，寫了一系列關于擬不變測度的抽象調(diào)和分析、隨機過程（包括廣義隨機過程）、量子場論（主要是自由場）的論文，最后總結在我的專著《無限維空間上的測度和積分》中。

這一討論班上的第二個結果，是完成了量子力學的《與不定度規(guī)有關的散射問題》論文，后來成為我和嚴紹宗合著的《線性算子譜理論II不定度規(guī)空間上的算子理論》中第五章第1節(jié)的內(nèi)容。此外，在1979年，我還發(fā)表了用無限維空間上的測度和積分做出的量子場論中的流代數(shù)的表示的論文。

第三，1970年代我在和楊振寧等人合作過程中受到啟發(fā)，寫了一篇量子化的論文，其中用到連續(xù)積分（費恩曼積分）。這也是在莫斯科時期那個小討論班上學到的。更重要的是在和楊振寧合作時，我和嚴紹宗發(fā)表了幾篇關于楊一米爾斯場的論文。所有這些數(shù)學物理方面的工作使我應邀成為第三、第四屆國際數(shù)學物理大會的顧問委員，并在這兩次大會上各作了45分鐘的報告。

我回國后，還發(fā)表了一系列關于具有有限維負子空間的條件正定泛函表示（一部分與吳卓人、張文泉合作），其來源也出自蓋爾范德的建議。這些結果成為我和嚴紹宗合著的《線性算子譜理論II不定度規(guī)空間上的算子理論》第五章第2節(jié)的內(nèi)容。

第一年的訪學很快就過去了。蓋爾范德對我的工作給予了肯定。1958年夏，陳建功教授在參加全蘇函數(shù)論會議期間會見蓋爾范德，由石鐘慈做翻譯。2013年，浙江師范大學成立“陳建功高等研究院”。石鐘慈在成立儀式上的演講中提到，當時蓋爾范德曾對陳先生說過“感謝您送來了您的好學生夏道行”。我希望這是對年輕的中國數(shù)學家群體的肯定。對我來說，能在世界一流數(shù)學大家的指導下進行深度合作，進入數(shù)學研究的國際前沿，那是一種幸運。

到了1958年9月，蓋爾范德提出要和我合作研究關于多維空間上量子力學的擬經(jīng)典近似問題。經(jīng)過大約3個月的工作，其間同蓋爾范德討論過兩三次，我們提出了與場的漸近性質(zhì)有關的一種指標。正當進展順利之時，我突然奉召提前半年回國。于是我急忙把結果寫成論文，交給了蓋爾范德，希望他提交給有關雜志發(fā)表。1958年12月，我匆忙回到北京。在向教育部報到時，一位接待我的女同志覺得很奇怪，對我說：“我們已經(jīng)通知了駐莫斯科大使館。叫您不要回來。”前后矛盾的兩個說法使我感到十分驚詫和無奈。既然已經(jīng)回來，當然不可能再回莫斯科去。更糟糕的是，后來我與蓋爾范德不能進行聯(lián)系，那個有關“指標”的論文當然也就沒能發(fā)表。后來知道，由馬斯洛夫（V.P.Maslov）首先發(fā)表、又經(jīng)過多人研究，被數(shù)學界譽為馬斯洛夫指標的工作，就是我們已經(jīng)獲得的那個結果。就這樣，一次“陰差陽錯”斷送了一次深度的學術合作。我們白白丟掉了一個十分重要的成果。蓋爾范德對此也非常遺憾。1990年代他在美國多次向人提起這件事，而且戲劇性地說，當時我們兩人討論這個工作時，馬斯洛夫就在不遠的旁邊。不過。我覺得馬斯洛夫只是那個有五六十人參加的大討論班的成員，我們少有機會能湊在一起。

我和蓋爾范德于1993年在美國重逢。1994年，我曾邀請蓋爾范德來范德比爾特（vanderbilt）大學主持尚克斯（Shanks）講座。他在講座報告中說：“在1937-1940年間，我一直想建立無限維空間上線性算子的類似于若爾當分解那樣的理論，但未能成功；然而在這一努力中，我建立起賦范環(huán)論?！蔽野堰@段話寫入我最近出版的專著《次正常算子的解析理論》中。事實上，在最近的三十年中，我也是沿著尋找算子的無限維若爾當分解這個方向努力著。

蓋爾范德在2009年去世。1994年分別后，我和他再沒有重逢，我對他永遠懷著深切的感激之情?？梢赃@樣說，假如說我在泛函分析和數(shù)學物理方面有點成就的話，在某種程度上都是拜蓋爾范德所賜。蓋爾范德對我的特別愛護和幫助，是許多人都知道的。記得1984年秋季，俄亥俄大學的米佳金（B.Mityagin）教授（蓋爾范德的學生，我在莫斯科時最要好的朋友之一）邀請我去工作一個學季。他在數(shù)學系組織的歡迎我的聚會上，曾說“夏是蓋爾范德的學生中唯一沒有被蓋爾范德罵過的”。

在莫斯科大學一年零五個月的訪問，已經(jīng)過去了57個年頭?；叵肫饋?，盡管有過那個“陰差陽錯”的遺憾，但那段時間肯定是我一生中最美好的流金歲月。討論班的國際先進水平，蓋爾范德高瞻遠矚的指導，以及與他的愉快合作，影響著我的整個學術人生。

無論時間怎樣流逝，莫斯科永遠留在我的美好記憶之中。