張宴鋒

【摘要】：本文對(duì)初中階段因式分解進(jìn)行了歸納小結(jié)，剖析了重點(diǎn)、難點(diǎn)，并通過典型例題介紹了多種方法、技巧，以幫助學(xué)生掌握多項(xiàng)式的因式分解，形成方法的系統(tǒng)化，提高學(xué)生的解題能力。

【關(guān)鍵詞】：多項(xiàng)式 ?因式分解 ?例題 ?方法

因式分解是人教版八年級(jí)上班冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容，也是八年級(jí)下冊(cè)分式約分和通分及其后面延續(xù)內(nèi)容的基礎(chǔ)，也是中考必然考察的知識(shí)點(diǎn)，故掌握好因式分解的方法至關(guān)重要。把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解。因式分解的方法多種多樣，現(xiàn)將 初中階段因式分解的常用方法總結(jié)如下：

一、提公因式法.

如多項(xiàng)式 am + bm + cm = m（ a + b + c ），

其中m叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式，m既可以是一個(gè)單項(xiàng)式，也可以是一個(gè)多項(xiàng)式.

提公因式法是因式分解的基礎(chǔ)方法，當(dāng)拿到一個(gè)需要因式分解的多項(xiàng)式時(shí)，首先要觀察的多項(xiàng)式的各項(xiàng)中有沒有公因式，如有則提取公因式，一般提取的是最大公因式。而尋找最大公因式的方法是：取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)與各項(xiàng)中相同因式的最低次冪的積。提取完之后再看括號(hào)里面的多項(xiàng)式即上式中的（ a + b + c ）能否用其他方法繼續(xù)分解因式。

二、公式法

運(yùn)用公式法，即用

a2-b2= （a + b）（a - b），

a 2 ± 2ab + b 2 = （a ± b） 2 ，

a 3 ± b 3 = （ a ± b）（a 2 ?ab + b 2 ）

寫出結(jié)果。

從以上公式可以看出，如果給出的多項(xiàng)式是二項(xiàng)多項(xiàng)式，且是平方差的形式則選取平方差公式a2-b2= （a + b）（a - b）進(jìn)行因式分解。如果是三項(xiàng)多項(xiàng)式，式中含有平方和的形式a 2 + b 2而另外一項(xiàng)是兩平方項(xiàng)底數(shù)乘積的2倍（2ab），滿足上述特點(diǎn)的多項(xiàng)式采用完全平方公式a 2 ± 2ab + b 2 = （a ± b） 2 進(jìn)行因式分解。

三、十字相乘法（拆分法）

（一）二次項(xiàng)系數(shù)為 1 的二次三項(xiàng)式

直接利用公式—— x 2 + （ p + q ） x + pq = （ x + p ）（ x + q ） 進(jìn)行分解。

特點(diǎn)：（1）二次項(xiàng)系數(shù)是 1;（2）常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的乘積;（3）一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩因數(shù)的和。

這就是說，對(duì)于二次三項(xiàng)式，如果常數(shù)項(xiàng)b可以分解為p、q的積，并且有p+q=a，那么 x 2 + （ p + q ） x + pq = （ x + p ）（ x + q ）。這就是分解因式的十字相乘法。一般而言，如果一個(gè)多項(xiàng)式是一個(gè)二次三項(xiàng)式，并且其二次項(xiàng)系數(shù)為1，而常數(shù)項(xiàng)是負(fù)數(shù)時(shí)采用拆分法進(jìn)行因式分解，而不能用完全平方a 2 ± 2ab + b 2 = （a ± b） 2 進(jìn)行因式分解。

例1、因式分解。x 2 -x-56。

分析：因?yàn)?x7

x-8

7x +（-8x） =-x

解：原式=（x+7）（x-8）

例2、 因式分解。x 2 -10x+16。

分析：因?yàn)?? x-2

x-8

-2x+（-8x）=-10x

解：原式=（x-2）（x-8）

（二）二次項(xiàng)系數(shù)不為 1 的二次三項(xiàng)式—— ax2 + bx + c

條件：（1） a = a1 a 2; ? ? ? ?a1 ? ? ? c1

（2）c=c1c2; ? ? ? ? ? a2 ? ? ? c2

（3）b=a1c2+a2c1 ? ? ? ? ? ? ? ? b=a1c2+a2c1

分解結(jié)果： ax2 + bx + c=（ a1 x + c1 ）（ a 2 x + c 2 ）

例3、 因式分解。6y2+19y+15

分析：該題雖然二次項(xiàng)系數(shù)不為1，但也可以用十字相乘法進(jìn)行因式分解。

2y3

因?yàn)?/p>

3y5

9y+10y=19y

解：原式=（2y+3）（3y+5）

例4、 因式分解。14x2+3x-27

分析：因?yàn)?x3

7x-9

21x+（-18x）=3x

解：原式=（2x+3）（7x-9）

四、分組分解法.

（一）分組后能直接提公因式

例 5、分解因式： am + an + bm + bn

分析：從“整體”看，這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)既沒有公因式可提，也不能運(yùn)用公式分解，但從“局部”看，這個(gè)多項(xiàng)式前 兩項(xiàng)都含有 a，后兩項(xiàng)都含有 b，因此可以考慮將前兩項(xiàng)分為一組，后兩項(xiàng)分為一組先分解，然后再考慮兩組之間的聯(lián) 系。

解：原式= （ am + an） + （bm + bn）

= a （ m + n） + b（ m + n ） ? -------------每組之間還有公因式！

= （m + n）（a + b）

思考：此題還可以怎樣分組？

此類型分組的關(guān)鍵：分組后，每組內(nèi)可以提公因式，且各組分解后，組與組之間又有公因式可以提。

（二）分組后能直接運(yùn)用公式

例6、分解因式： x 2- y 2 + ax + ay

分析：若將第一、三項(xiàng)分為一組，第二、四項(xiàng)分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就能繼續(xù)分解，所以只能另外分組。

解：原式= （ x 2 -y 2 ） + （ ax + ay ）

= （ x + y ）（ x -y ） + a （ x + y ）

= （ x + y ）（ x -y + a ）

例7、分解因式： a2-2ab + b 2 -c2

解：原式= （a2-2ab + b 2 ） -c2

= （ a - b） 2- c 2

= （ a- b+ c）（a - b -c） 注意這兩個(gè)例題的區(qū)別！

以上就是目前所學(xué)多項(xiàng)式因式分解的常用方法，此外還有配方法、立方和公式、立方差公式等等，方法眾多不唯一，有些題目可能需要多種方法才可完成，希望大家在學(xué)習(xí)的時(shí)候根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)靈活運(yùn)用，有所幫助。