李學(xué)豐　袁琪　馬文國

摘要：針對(duì)平面應(yīng)變條件下各向異性砂土剪切帶角度的試驗(yàn)規(guī)律，采用傳統(tǒng)的3種理論和分叉理論進(jìn)行對(duì)比分析。將平面應(yīng)變條件下剪切帶角度的試驗(yàn)結(jié)果按照傳統(tǒng)3種理論整理發(fā)現(xiàn)，盡管傳統(tǒng)3種理論可以估算同種砂剪切帶角度的極小、中間和極大值，但無法解釋其各向異性規(guī)律。砂土在平面應(yīng)變條件下破壞時(shí)會(huì)產(chǎn)生明顯的剪切帶，當(dāng)剪切帶方向和砂土沉積面方向接近時(shí)，會(huì)較早誘發(fā)剪切帶的產(chǎn)生，使材料強(qiáng)度降低，造成了平面應(yīng)變條件下各向異性強(qiáng)度規(guī)律明顯不同于常規(guī)三軸條件下的試驗(yàn)規(guī)律，采用分叉理論結(jié)合各向異性模型則可以有效解釋這個(gè)規(guī)律。隨砂土沉積面角度的變化，模型可以從細(xì)觀角度解釋常規(guī)三軸條件下剪切帶角度的單調(diào)變化的試驗(yàn)規(guī)律，結(jié)合分叉理論可以描述平面應(yīng)變條件下其先減小然后增大的規(guī)律。通過幾種理論對(duì)比分析表明，模型結(jié)合分叉理論不但能夠描述多種應(yīng)力狀態(tài)下的平面應(yīng)變和常規(guī)三軸應(yīng)力條件下剪切帶角度表現(xiàn)的不同規(guī)律，而且能夠從細(xì)觀角度解釋其各向異性成因。

關(guān)鍵詞：剪切帶；分叉理論；各向異性；平面應(yīng)變；細(xì)觀特性

中圖分類號(hào)：TU443 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-4764（2015）04-0090-07

Abstract： Aiming at the test results of shear band angle under plane strain conditions for anisotropy sand， a comparative analysis was carried out based on the three traditional theories and bifurcation theory. The results of shear band under plane strain condition described by the three traditional theories showed the traditional theories could estimate the minimum， middle and maximum values of the shear band angle of sand， whilst it could not t explain the anisotropy behaviors of shear band. The shear band under the plane strain conditions was easily observed， and it induced shear bands that reduced material strength when the directions of shear band and sand deposition were the same. It resulted in the different anisotropy characteristics in the conventional triaxial conditions and plane strain conditions. Such different characteristics could be explained using bifurcation theory together with anisotropy model. With the direction variation of sand deposition， the model ccould explain the monotonic behaviors of shear angled under conventional triaxial condition from microscopic viewpoint， the bifurcation theory combined with the model could describe the behavior of shear angled under plane strain condition which decreased first and then increased. The comparative analysis of four theories showed that bifurcation theory together with anisotropic model well explained the different shear properties between plane strain and conventional triaxial under various stress conditions， and one could well explain it from the microscopic viewpoint.

Key words：shear band； bifurcation theory； anisotropy； plane strain； meso feature

剪切帶是土體變形破壞的常見現(xiàn)象，它直接導(dǎo)致巖土材料強(qiáng)度降低、承載力下降。剪切帶與土體的薄弱點(diǎn)或應(yīng)力集中點(diǎn)有關(guān)，在荷載作用下，土顆粒沿該點(diǎn)定向排列，逐步擴(kuò)展成貫通的破壞帶。數(shù)學(xué)上解釋為：可將土體物理特性視為一個(gè)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，當(dāng)滿足某些臨界條件時(shí)，土體均勻變形模式發(fā)生分叉，取而代之的是不均勻變形模式。

剪切帶形成機(jī)理一直困擾著巖土工作者。最初Roscoe等[1]的單剪試驗(yàn)把剪切帶歸因于某種邊界條件下的特有現(xiàn)象，與土性無關(guān)。后來研究發(fā)現(xiàn)：即使改進(jìn)試驗(yàn)儀器和優(yōu)化試驗(yàn)方法，也無法避免剪切帶的產(chǎn)生，它是特定應(yīng)力條件下（如平面應(yīng)變條件下）土體必然出現(xiàn)的破壞形式。而且剪切帶形成前后土體的變形機(jī)理明顯不同，形成前趨于均勻變形，形成后則為剪切帶的局部化變形為主。其變形的深層機(jī)理與土體細(xì)觀特性密切相關(guān)。

砂土細(xì)觀特性影響了剪切帶形式、厚度和傾角。Nemat-Nasser等[2]對(duì)剪切帶內(nèi)外變形的定量研究發(fā)現(xiàn)：剪切帶中心的剪應(yīng)變高于帶外數(shù)十倍，并導(dǎo)致了帶內(nèi)很高的孔隙比；Alshibli等[3]研究表明：剪切帶厚度大約為9.6～10.63倍粒徑，且隨密度增加而增加；Francesco等[4]用三維X射線技術(shù)對(duì)Ottawa砂分析認(rèn)為：剪切帶厚度約為12～13倍的顆粒直徑；剪切帶傾角方面，F(xiàn)inno等[5]采用立體攝影技術(shù)檢測(cè)到平面應(yīng)變條件下飽和松砂剪切帶角度約為55°～65°。Vardoulakis等[6]的試驗(yàn)表明：剪切帶角度在細(xì)砂中為62.5°，中砂中為60.1°；Abelev等[7]用改進(jìn)的真三軸試驗(yàn)表明：在中主應(yīng)力系數(shù)為0時(shí)，沒有觀測(cè)到剪切帶，剪切帶的形成主要在中主應(yīng)力系數(shù)為0.2～0.8的區(qū)間；更難解釋的是剪切帶各向異性規(guī)律，如Tatsuoka等[8]、Oda等[9]和Yoshida等[10]諸多學(xué)者的大量平面應(yīng)變?cè)囼?yàn)表明：激光斑紋法觀測(cè)的剪切帶角度表現(xiàn)了明顯的各向異性規(guī)律，即隨砂土沉積面角度在0°～90°范圍內(nèi)的變化，傾角先減小，然后增大。當(dāng)砂土沉積面方向和大主應(yīng)力方向夾角為56°～67°，剪切帶角度最小，此時(shí)沉積面和剪切帶的方向接近。這與三軸試驗(yàn)條件下觀測(cè)到強(qiáng)度單調(diào)變化規(guī)律完全不同。如果用傳統(tǒng)預(yù)測(cè)理論描述，當(dāng)沉積面方向和大主應(yīng)力方向一致時(shí)，剪切帶角度與M-C（Mohr-Coulomb）理論值接近；當(dāng)沉積面方向和大主應(yīng)力方向夾角為56°～67°，剪切帶角度與Roscoe理論接近。平面應(yīng)變和三軸試驗(yàn)條件下出現(xiàn)了不同規(guī)律，相同的試驗(yàn)條件下不同沉積角度試樣的剪切帶角度需要不同理論解釋，這是傳統(tǒng)理論描述各向異性剪切破壞規(guī)律的難點(diǎn)。

針對(duì)以上問題，陳立平等[11]結(jié)合砂土細(xì)觀機(jī)理做了研究，宋飛等[12]也做了實(shí)驗(yàn)研究。筆者針對(duì)砂土剪切帶試驗(yàn)規(guī)律，基于筆者在砂土宏細(xì)觀各向異性力學(xué)特性[13-14]和應(yīng)變局部化[15]方面工作，在本文中提出了理論預(yù)測(cè)砂土剪切帶角度的方法，采用傳統(tǒng)的M-C理論、Rosco理論和Arthur等理論對(duì)各向異性砂土剪切帶角度規(guī)律進(jìn)行歸納總結(jié)，分析幾個(gè)理論的特點(diǎn)；然后用基于細(xì)觀組構(gòu)張量建立的各向異性模型[15]結(jié)合分叉理論預(yù)測(cè)各向異性砂土剪切帶角度，從細(xì)觀角度解釋當(dāng)砂土沉積面和剪切面接近時(shí)，剪切帶角度最小的規(guī)律。

1 剪切帶角度的分叉理論預(yù)測(cè)

剪切帶的各向異性規(guī)律需要用各向異性模型描述。有關(guān)模型和分叉理論的詳細(xì)描述見文獻(xiàn)[15]，本文中只對(duì)分叉理論預(yù)測(cè)平面應(yīng)變條件下剪切帶角度做簡要介紹。

巖土材料應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系普遍的特征如圖1所示：加載初期材料處于彈性變形階段，隨著變形的增大材料進(jìn)入塑性狀態(tài)，應(yīng)力隨著變形的增大而增大，此時(shí)材料處于應(yīng)變硬化階段；當(dāng)塑性變形達(dá)到一定程度后，應(yīng)力達(dá)到材料強(qiáng)度值，隨著變形的繼續(xù)增大，應(yīng)力開始逐漸降低，即材料進(jìn)入應(yīng)變軟化階段。從硬化階段到軟化階段的轉(zhuǎn)變，一般認(rèn)為是材料變形模式的分叉所造成，轉(zhuǎn)變的臨界點(diǎn)即為分叉點(diǎn)。分叉前材料狀態(tài)相對(duì)穩(wěn)定，分叉后則處于失穩(wěn)狀態(tài)，此時(shí)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系不唯一。

分叉的物理機(jī)制材料中的薄弱點(diǎn)與應(yīng)力集中點(diǎn)有關(guān)，在荷載作用下，土顆粒從這些點(diǎn)開始定向排列，逐步擴(kuò)展形成一個(gè)貫穿的剪切帶。剪切帶產(chǎn)生意味著材料原先均勻變形模式的分叉，使得變形模式不再均勻。在數(shù)學(xué)上，描述應(yīng)變局部化的發(fā)生條件一般為：在均勻變形場(chǎng)上假設(shè)一個(gè)附加變形場(chǎng)的存在，當(dāng)材料受到進(jìn)一步加載作用時(shí)，尋求滿足這種附加變形存在和發(fā)展的條件，即分叉條件。

Valanis[16]認(rèn)為分叉點(diǎn)對(duì)應(yīng)于材料失穩(wěn)的極限點(diǎn)，也是判斷材料失穩(wěn)的充分必要條件。極限點(diǎn)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力率為零，切線模量具有零特征值，即

圖4中Tatsuoka等[8]用Toyoura重塑砂和天然砂平面應(yīng)變?cè)囼?yàn)觀測(cè)到剪切帶傾角的規(guī)律為：

1）剪切帶方向和峰值狀態(tài)內(nèi)摩擦角和剪脹角相關(guān)且內(nèi)摩擦角度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于剪脹角。

2）豎向沉積的砂土有明顯的各向異性，因此剪切帶受其沉積方向影響顯著，然而理論研究時(shí)往往忽略了各向異性的影響。

3）當(dāng)應(yīng)力增量軸和應(yīng)變?cè)隽枯S發(fā)生旋轉(zhuǎn)時(shí)，它們的增量方向不相同，表現(xiàn)為非共軸。

4）剪切帶方向會(huì)受邊界條件的限制。如應(yīng)力的均勻性和位移以及砂粒粒徑與試樣尺寸等。

5）不同沉積角度砂樣的剪切帶角度變化很大，各向異性規(guī)律明顯。當(dāng)沉積面方向和大主應(yīng)力方向一致時(shí)，剪切帶角度與M-C理論值接近；當(dāng)沉積面方向和大主應(yīng)力方向夾角為56°～67°，剪切帶傾角最小，此時(shí)沉積面和剪切帶的方向接近，剪切帶角度和Roscoe理論接近。

砂土剪切帶的細(xì)觀研究[2-4]表明其粒徑、形狀等對(duì)剪切帶的厚度有很大影響，因此，結(jié)合細(xì)觀特性研究剪切帶形成機(jī)理更符合材料的物理性質(zhì)。

4 分叉理論與傳統(tǒng)理論的對(duì)比

圖5為Tatsuoka等[8]通過試驗(yàn)觀測(cè)到的剪切帶角度的平面應(yīng)變結(jié)果。

試驗(yàn)做了49、98和392 kPa 三種圍壓、不同沉積角度試驗(yàn)。為了能夠較好觀測(cè)剪切帶，飽和試樣的表面都做了潤滑處理，在中主應(yīng)力加載面上采用激光斑紋法觀測(cè)剪切帶的形成過程。

試驗(yàn)結(jié)果給出了剪切帶角度、內(nèi)摩擦角和剪脹角的試驗(yàn)檢測(cè)值，將該試驗(yàn)結(jié)果按照前面介紹的3種傳統(tǒng)理論整理，即M-C理論、Roscoe理論和Arthur理論。圖5為剪切帶觀測(cè)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)按傳統(tǒng)3種理論整理的結(jié)果。圖中可以看出，同種砂在相同的實(shí)驗(yàn)條件下，剪切帶傾角試驗(yàn)值不唯一，不同沉積角度的砂樣剪切帶角度變化很大，表現(xiàn)出很強(qiáng)的各向異性。當(dāng)沉積面方向和大主應(yīng)力方向一致時(shí)，剪切帶方向和最大應(yīng)力等傾面方向（M-C理論）接近；當(dāng)沉積面方向和小主應(yīng)力方向夾角為56°～67°，剪切帶傾角最小，接近于Roscoe理論值；3組圍壓下剪切帶傾角變化趨勢(shì)都相似，整體上隨剪切帶角度圍壓升高而略有降低，試驗(yàn)得到的3種理論的計(jì)算值都無法描述其表現(xiàn)的各向異性；圖5從試驗(yàn)角度證實(shí)了傳統(tǒng)的3種理論都無法較好解釋剪切帶傾角的各向異性規(guī)律。

Toyoura砂的剪切帶傾角試驗(yàn)值和傳統(tǒng)的3種理論的對(duì)比仍然得到了：M-C理論是試驗(yàn)上限值，Roscoe理論是試驗(yàn)的下限值，取上、下限的簡單平均值的Arthur理論，盡管較前兩種理論有所改善，然而，對(duì)其表現(xiàn)很強(qiáng)的各向異性還是很難解釋。因此，本文用分叉理論進(jìn)行預(yù)測(cè)。

圖6為分叉理論預(yù)測(cè)與剪切帶傾角的試驗(yàn)值的對(duì)比。分叉理論采用的模型詳見文獻(xiàn)[15]。從圖6可以看出：同一孔隙比和同一圍壓條件下，分叉理論能夠較好描述剪切帶角度隨沉積面角度的變化規(guī)律；3種圍壓下比較，整體上剪切帶角度隨圍壓的增大而減??；綜合可以看出分叉理論對(duì)其表現(xiàn)的各向異性的變化趨勢(shì)有較好的描述效果，但是預(yù)測(cè)值略低于試驗(yàn)結(jié)果，尤其在圖6（c）中，392 kPa圍壓下比較明顯，文獻(xiàn)[15]對(duì)本構(gòu)模型做了修正后有效解決了這個(gè)問題。

5 平面應(yīng)變強(qiáng)度與三軸強(qiáng)度對(duì)比分析

圖7為同一圍壓、同一孔隙比、不同沉積面角度的平面應(yīng)變?cè)囼?yàn)和三軸試驗(yàn)值與模擬值。平面應(yīng)變?cè)囼?yàn)為Tatsuoka等[8]的研究成果，三軸試驗(yàn)為Oda等[9]和Lam等[19]不同試樣尺寸的試驗(yàn)結(jié)果，試驗(yàn)的圍壓均為98 kPa，孔隙比控制接近。為了能夠直觀反映平面應(yīng)變?cè)囼?yàn)強(qiáng)度和三軸試驗(yàn)強(qiáng)度值的關(guān)系，圖7做了歸一化，歸一化強(qiáng)度為φ f /φ（β = 90°）。從圖7可以看出平面應(yīng)變?cè)囼?yàn)和三軸壓縮試驗(yàn)的規(guī)律差別很大，三軸壓縮強(qiáng)度隨沉積面角度是單調(diào)變化的，然而平面應(yīng)變?cè)囼?yàn)則是在大主應(yīng)力軸與沉積平面夾角為56°～64°時(shí)強(qiáng)度達(dá)到最小值，然后隨沉積面角度的增大強(qiáng)度又有一定增加；另外，圖7中的試驗(yàn)可以看出，平面應(yīng)變和三軸壓縮強(qiáng)度的關(guān)系并不是像一般土力學(xué)中關(guān)于土的抗剪強(qiáng)度形成的概念，即：在相同條件下平面應(yīng)變強(qiáng)度總是比三軸壓縮強(qiáng)度高20%左右，而是在大主應(yīng)力軸與沉積平面夾角為56°～64°時(shí)，平面應(yīng)變強(qiáng)度可能接近三軸壓縮強(qiáng)度。因此，就會(huì)產(chǎn)生這樣的疑問：相同的砂、相同的制樣方法和相同應(yīng)力條件，兩者的強(qiáng)度規(guī)律差異為什么如此明顯？

強(qiáng)度差異的根本原因在于砂土的各向異性和是否有剪切帶的產(chǎn)生。砂土為各向同性時(shí)，兩者關(guān)系簡單，都不隨旋轉(zhuǎn)角的變化而變化，三軸強(qiáng)度高于平面應(yīng)變強(qiáng)度；砂土為各向異性時(shí)，兩者都隨旋轉(zhuǎn)角的變化而變化。三軸試驗(yàn)強(qiáng)度單調(diào)增加，平面應(yīng)變強(qiáng)度則是先減小然后增大。兩者相比，三軸壓縮試驗(yàn)很難觀察到剪切帶的形成，然而平面應(yīng)變?cè)囼?yàn)都觀測(cè)到了明顯的剪切帶，因此，平面應(yīng)變狀態(tài)下必須考慮剪切帶對(duì)強(qiáng)度的影響。剪切帶形成的內(nèi)在機(jī)理還需要結(jié)合砂土的細(xì)觀分析才能夠較好解釋。

6 平面應(yīng)變各向異性強(qiáng)度的細(xì)觀解釋

砂土的各向異性強(qiáng)度受砂土細(xì)觀特性和組構(gòu)方向的影響。圖8是剪切帶方向相對(duì)沉積面方向的兩種關(guān)系。Tatsuoka等[8]試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)大主應(yīng)力相對(duì)沉積面為56°和67°時(shí)，只得到了圖8（b）型剪切帶，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為23°和79°時(shí)，多數(shù)試驗(yàn)都表現(xiàn)出圖8（a）型的剪切帶，當(dāng)沉積面角度為45°時(shí)，兩種形式的剪切帶都會(huì)出現(xiàn)?？梢娂羟袔Р灰欢ㄑ爻练e面方向，但是沉積面角和剪切帶角接近時(shí)會(huì)誘發(fā)剪切帶過早產(chǎn)生。

結(jié)合平面應(yīng)變剪切帶試驗(yàn)分析結(jié)果和沉積面與剪切帶產(chǎn)生的關(guān)系可以解釋平面應(yīng)變強(qiáng)度的特性。當(dāng)大主應(yīng)力軸與沉積平面夾角為56°～65°時(shí)，此時(shí)剪切帶和沉積面方向很接近，而且只得到了b型剪切帶，因此，當(dāng)沉積面角度和剪切帶角度接近時(shí)，較早觸發(fā)應(yīng)變局部化產(chǎn)生，從而，土體表現(xiàn)了比較低的強(qiáng)度；當(dāng)大主應(yīng)力軸與沉積平面方向夾角為0°時(shí)，即沉積面和中主應(yīng)力方向一致，沉積面方向受剛性約束，抑制了應(yīng)變局部化的發(fā)生，因此，這種條件下強(qiáng)度達(dá)到最大值。

同時(shí)，細(xì)觀研究發(fā)現(xiàn)平面應(yīng)變狀態(tài)和軸對(duì)稱狀態(tài)各向異性程度存在差異的主要原因是：砂土在平面應(yīng)變狀態(tài)下會(huì)表現(xiàn)更多的局部化變形，顆粒排列不易改變；然而，在軸對(duì)稱條件下砂土?xí)憩F(xiàn)更多的均勻變形，這種條件下顆粒排列容易變化。因此，同種砂的平面應(yīng)變強(qiáng)度各向異性比常規(guī)三軸試驗(yàn)強(qiáng)度表現(xiàn)的更明顯。

綜上所述，考慮砂土的細(xì)觀組構(gòu)影響時(shí)，模型能夠較好反映三軸條件下主應(yīng)力相對(duì)砂土沉積面不同角度的強(qiáng)度規(guī)律，結(jié)合分叉理論模型可以自然描述平面條件下剪切傾角受砂土細(xì)觀沉積角度的影響，再次驗(yàn)證了宏細(xì)觀結(jié)合本構(gòu)模型描述砂土各向異性的合理性。

7 結(jié) 語

根據(jù)各向異性Toyoura砂的剪切帶角度的試驗(yàn)結(jié)果，用傳統(tǒng)三種理論預(yù)測(cè)的剪破度與分叉理論預(yù)測(cè)的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析。

按照三種傳統(tǒng)理論對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)整理后發(fā)現(xiàn)，各向異性砂土的三軸試驗(yàn)剪切帶角度和平面應(yīng)變條件下的剪切帶角度表現(xiàn)出明顯不同的各向異性，必須建立各向異性本構(gòu)關(guān)系對(duì)其特性進(jìn)行描述。然而，建立在三軸試驗(yàn)基礎(chǔ)上的本構(gòu)關(guān)系對(duì)該試驗(yàn)條件下的剪切帶角度規(guī)律可以較好描述，但無法對(duì)平面應(yīng)變條件下的剪切帶角度規(guī)律進(jìn)行描述。各向異性模型結(jié)合分叉理論則可以較好解決了這個(gè)問題。

對(duì)比分析結(jié)果表明，模型結(jié)合分叉理論能夠描述多種應(yīng)力狀態(tài)下平面應(yīng)變剪切帶角度的變化規(guī)律。能夠從細(xì)觀角度解釋平面應(yīng)變條件下砂土沉積面對(duì)各向異性剪切帶角度規(guī)律的影響。

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（編輯 王秀玲）