王洋 趙彥軍 馮毅夫

【摘要】本文結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗，淺談定積分概念的教學(xué)設(shè)計.希望通過對定積分的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握曲邊梯形的面積和變速直線運動的路程等“非均勻分布總量問題”的解決辦法（分割、近似、求和、取極限），領(lǐng)會定積分的思想（化整為零、近似代替、積零為整、無限逼近）.

【關(guān)鍵詞】定積分的概念;教學(xué)設(shè)計

引 言

《高等數(shù)學(xué)》或《微積分》是理工科各專業(yè)必修的一門重要的公共基礎(chǔ)課.定積分是微積分學(xué)中最重要的概念之一.之所以說它重要，不僅是因為它能夠解決許多的實際問題，更重要的是，定積分概念的本身，體現(xiàn)了微積分學(xué)的基本思想方法——極限思想方法.因此，如何講好定積分的概念，使學(xué)生能夠深刻理解其中的思想方法，同時，利用定積分的教學(xué)，逐步提高學(xué)生解決實際問題的能力，是一個值得研究的課題.本文結(jié)合作者多年的教學(xué)實踐，談一談定積分概念的教學(xué)設(shè)計.

1.問題的提出

概念教學(xué)不僅僅是教給學(xué)生一定的知識，更重要的是提高學(xué)生解決實際問題的能力.恰當(dāng)巧妙的引課，可以啟發(fā)學(xué)生思考，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.在定積分的教學(xué)中，利用多媒體，由一幅圖片給出曲邊梯形面積，我這樣講解：“在實際生活中，我們經(jīng)常會遇到要計算由曲邊圍成的不規(guī)則圖形的面積.圖中為南方地區(qū)的一片水田，現(xiàn)在要計算其中某一塊田地的面積.”一邊說一邊黃色的筆將田地勾勒出來，然后提出問題：“如何計算呢？”

由于圖形為不規(guī)則曲邊形，學(xué)生搖頭，表示不知道如何解決，這時，引導(dǎo)學(xué)生，給出問題的解決辦法：

第一步：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.將這塊地放到平面直角坐標(biāo)系中，這塊地的形狀就是我們要研究的曲邊梯形.學(xué)生自然會提出問題：什么叫做曲邊梯形呢？ 由此給出曲邊梯形的定義.

第二步：解決數(shù)學(xué)問題.帶領(lǐng)大家回顧我國古代數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)，抽象出深刻的

數(shù)學(xué)思想，同學(xué)們由此受到啟發(fā)，用類似的方法去計算曲邊梯形的面積.將曲邊梯形分割成若干個小（窄）的曲邊梯形，而每個小曲邊梯形近似用矩形去代替，而每個小曲邊梯形近似用矩形去代替，從而，曲邊梯形的面積近似的等于這n個小矩形的面積之和，即：A≈∑ni=1A矩i

當(dāng)分割加細，小矩形的個數(shù)無限增多，上式和式的極限就是曲邊梯形的面積，即： A=lim∑ni=1A矩i

第三步：將解決問題的步驟和方法詳述如下：

接著講變速直線運動的路程.利用同樣的方法，分析求解問題的步驟，指出路程是可以分割的，在很短的時間內(nèi)可以看成勻速運動，可以采取分割時間間隔[T1，T2]的方法.這時學(xué)生已經(jīng)有了“分割、近似、求和、取極限”的思想，自然可以解決這個問題.

2.歸納總結(jié)兩個例子中的區(qū)別和聯(lián)系，抽象出定積分定義

比較兩個引例結(jié)果，帶領(lǐng)同學(xué)總結(jié)兩個例子中的共性：

（1）問題性質(zhì)相同，都是解決非均勻分布總量問題.

（2）解決方法相同，都是采用極限的思想方法，先化整為零，再積零為整，用極限將近似轉(zhuǎn)化為精確.

（3）處理步驟相同“分割，近似，求和，取極限”.

（4）所得結(jié)論相同，都是求一特定的和式的極限.

在實際生活中，還有很多類似的問題，比如變力做功，旋轉(zhuǎn)體的體積等等都可以化為求一特定的和式的極限，由此抽象出定積分的定義.

3.教學(xué)總結(jié)

總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容，重點強調(diào)定積分的實質(zhì)和定積分的思想和方法.加深同學(xué)們對定積分的定義的理解.

本節(jié)課從生活中的兩個實際例子出發(fā)，引出了定積分的定義，這不僅能夠激發(fā)同學(xué)們學(xué)習(xí)定積分的興趣，還能向?qū)W生介紹定積分在生活中的廣泛應(yīng)用，體會到學(xué)習(xí)定積分的重要意義.真正使學(xué)生學(xué)到了數(shù)學(xué)知識，提高了解決實際問題的能力，實現(xiàn)了培養(yǎng)學(xué)生綜合素質(zhì)的目標(biāo).

【參考文獻】

[1]同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)（第4版）[M].北京：高等教育出版社，1996.

[2]陳國立，肖金艷， 淺談定積分概念的教學(xué)設(shè)計[J].巢湖學(xué)院學(xué)報， 2013，15（6）：157-159.