趙萬雙

【摘要】本文從浙江省學(xué)業(yè)水平考試中一道關(guān)于定點(diǎn)線與拋物線相交的題目出發(fā)，從不同視角、原因分析、引申拓展等幾個(gè)方面對該題進(jìn)行探究，得出了定點(diǎn)線與圓錐曲線相交時(shí)的定值結(jié)論.

【關(guān)鍵詞】定點(diǎn)線;拋物線;相交;探究

【背景】2013年浙江省學(xué)業(yè)水平考試已結(jié)束，數(shù)學(xué)試卷第41題留給我們的思考卻遠(yuǎn)未停止，研究該題可以指導(dǎo)我們今后的復(fù)習(xí)工作.考后本人對兩個(gè)班級(jí)的學(xué)生成績作了統(tǒng)計(jì)，該題得分率只有0.45，針對原題結(jié)論結(jié)合學(xué)生解題情況，本文從不同視角、原因分析、引申拓展等幾個(gè)方面對該題進(jìn)行探究，得出了定點(diǎn)線與圓錐曲線相交時(shí)的定值結(jié)論.

1.原題呈現(xiàn)

如圖，過點(diǎn)P（0，2）的直線交拋物線y=x²于點(diǎn)A，B，

（1）求x_Ax_B的值;

（2）動(dòng)直線AB及拋物線上動(dòng)點(diǎn)C（不同于點(diǎn)A，B），設(shè)直線AC與直線BC相交直線y=m分別于點(diǎn)M，N，問：是否存在常數(shù)m，使得xMxN為定值？若存在，求m的值;若不存在，說明理由.

（1）分析 根據(jù)已知條件，設(shè)過點(diǎn)P（0，2）的直線的斜率為k（k的值存在），則直線AB方程為y=kx+2，聯(lián)立方程組得：y=kx+2

y=x2，整理得：x2-kx-2=0，所以xAxB的值為-2，

視角1：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），則斜率kAC=y1-y0x1-x0=x12-x02x1-x0=x1+x0，kBC=x2+x0，直線AC的方程是y-y1=（x1+x0）（x-x1），與直線y=m聯(lián)立方程組得到：y=m

y-y1=（x1+x0）（x-x1），

所以x=m-y1x1+x0+x1=m-y1+x02+x0x1x1+x0=m+x0x1x1+x0，

所以xM=m+x0x1x1+x0，xN=m+x0x2x2+x0，

所以xMxN=（m+x0x1）（m+x0x2）（x0+x1）（x0+x2）

=m2+mx0（x1+x2）+x02（x1x2）x02+（x1+x2）x0+x1x2

=m2+mkx0-2x02x02+kx0-2，

當(dāng)m=-2

m2=4，得到m=-2時(shí)，使得xMxN=-2.

視角2：向量法

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為M（xM，m），N（xN，m），OM·ON=（xM，m）·（xN，m）=xM·xN+m2，由方法1可知：xM=m+x0x1x1+x0，xN=m+x0x2x2+x0，

所以xMxN+m2=（m+x0x1）（m+x0x2）（x0+x1）（x0+x2）+m2

=m2+mx0（x1+x2）+x02（x1x2）x02+（x1+x2）x0+x1x2+m2=m2+mkx0-2x02x02+kx0-2+m2

=m2-2x20+（m2k+mk）x0-m2x20+kx0-2，

當(dāng)m2-2=m2+m=m22時(shí)，解得m=-2，使得xMxN=-2.

思考：在不同視角下為何只存在一個(gè)值m=-2，使得x_Mx_N=-2. m的取值是否與點(diǎn)P的坐標(biāo)0，2有關(guān)系呢？

2.定值原因分析

如圖，過點(diǎn)（0，a）的直線交拋物線x²=2_py（p>0）于點(diǎn)A，B.

（1）求x_Ax_B的值;

（2）動(dòng)直線AB及拋物線上動(dòng)點(diǎn)C（不同于點(diǎn)A，B），設(shè)直線AC與直線BC相交直線y=m分別于點(diǎn)M，N，問：是否存在常數(shù)m，使得x_Mx_N為定值？若存在，求m的值;若不存在，說明理由.

分析 設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)是O（0，0），連接直線OA，OB，

則斜率之積kOAkOB=y1x1y2x2=14p2x1x2，經(jīng)過定點(diǎn)（0，a）的直線交拋物線x2=2py（p>0）于點(diǎn)A，B，點(diǎn)A，B在拋物線上任意移動(dòng)及拋物線上任意動(dòng)點(diǎn)C（不同于點(diǎn)A，B），斜率之積kOAkOB始終是一個(gè)定值.所以才有xAxB的值是一個(gè)定值.存在一個(gè)m=-a，存在直線y=-a（僅與定點(diǎn)有關(guān)），使得xMxN=-2pa.

3.原題引申

在橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，點(diǎn)A，B是它的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)C（不同于點(diǎn)A，B）是橢圓上的任意一點(diǎn)，連接直線CA，CB，不難發(fā)現(xiàn)斜率之積kCAkCB=-b2a2（定值），如果直線CA，CB與直線x=m分別相交于點(diǎn)M，N，是否存在常數(shù)m的值，使得yMyN為定值？若存在，求m的值;若不存在，說明理由.

分析 設(shè)點(diǎn)A-a，0，Ba，0，C（x0，y0），（x0≠±a），所以kCA=y0x0+a，kCB=y0x0-a，直線AC的方程是y+a=y0x0+a（x+a），與直線x=m聯(lián)立方程組得：x=m

y=y0x0+a（x+a），化簡得：y1=y0（a+m）x0+a，同理y2=y0（m-a）x0-a，所以y1y2=y02（m2-a2）x02-a2，又點(diǎn)C在橢圓上，所以有x02a2+y02b2=1，x02-a2=-a2b2y02，所以y1y2=-b2（m2-a2）a2，顯然有m=±a2c時(shí)，yMyN=-b2a2a4c2-a2=-b2a2c2-1=-b4c2（定值）.

4.結(jié)論拓展

在雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）中，點(diǎn)A，B是它的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)C（不同于點(diǎn)A，B）是雙曲線上的任意一點(diǎn)，連接直線CA，CB，不難發(fā)現(xiàn)斜率之積kCAkCB=b2a2（定值），如果直線CA，CB.

與直線x=m分別相交于點(diǎn)M，N，顯然有m=±a2c時(shí)，y1y2=-b2a2a4c2-a2=b4c2（定值）.

這里不再熬訴.

5.統(tǒng)一結(jié)論

結(jié)論1：過點(diǎn)（0，a）（a≠0）的直線交拋物線x2=2py（p>0）于點(diǎn)A，B，

動(dòng)直線AB及拋物線上動(dòng)點(diǎn)C（不同于點(diǎn)A，B），設(shè)直線AC與直線BC相交直線y=m分別于點(diǎn)M，N，存在一個(gè)m=-a，存在直線y=-a（僅與定點(diǎn)有關(guān)），使得xMxN=-2pa.

結(jié)論2：在圓錐曲線f（x，y）=0中，點(diǎn)A，B是它的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)C（不同于點(diǎn)A，B）是圓錐曲線上的任意一點(diǎn)，連接直線CA，CB，不難發(fā)現(xiàn)斜率之積kCAkCB為定值，如果直線CA，CB與直線x=m分別相交于點(diǎn)M，N，存在m=±a2c時(shí)，使得y1y2=±b4c2（定值）.

6.思 考

1.在全國各高校放開自主招生和三位一體招生的背景下，數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試越來越受重視，數(shù)學(xué)老師重視對學(xué)科水平考試的試題尤其是定點(diǎn)線與圓錐曲線相交的有關(guān)問題的研究具有極大的現(xiàn)實(shí)意義.

2.用類似科學(xué)研究的方法去解決問題的方式，提出結(jié)論，并進(jìn)一步推理、論證解決問題，通過過定點(diǎn)直線與圓錐曲線相交結(jié)論相關(guān)性的分析，得出圓錐曲線中的統(tǒng)一結(jié)論.通過這種積極探究的方式，教師可以獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的成功體驗(yàn).

3.對定點(diǎn)線與拋物線相交問題進(jìn)一步探究，通過觀察、類比、歸納，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的思考是自然的過程，對幾個(gè)新的結(jié)論的推理、論證，有利于激發(fā)一線教師的教學(xué)熱情，在“一題多解，一題多變，多題歸一”的探究過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，把握數(shù)學(xué)本質(zhì).

【參考文獻(xiàn)】

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