王翔

【摘要】 代數(shù)式是人們?yōu)榱吮硎緮?shù)量而創(chuàng)設(shè)的一種高級(jí)的語(yǔ)言工具，它代替具體數(shù)值表示不確定的數(shù)量，所以應(yīng)該看成 結(jié)果；它產(chǎn)生于算理，又可以看作算式. 它是語(yǔ)言，就應(yīng)該簡(jiǎn)潔，所以它的運(yùn)算其實(shí)就是化簡(jiǎn)，它的約定俗成應(yīng)該合理有序. 明確代數(shù)式的語(yǔ)言屬性便于學(xué)生更好地理解掌握.

【關(guān)鍵詞】 語(yǔ)言；結(jié)果；算式；運(yùn)算；化簡(jiǎn)

代數(shù)式是一種實(shí)用、簡(jiǎn)潔的高級(jí)數(shù)學(xué)語(yǔ)言，是人類(lèi)認(rèn)識(shí)世界、改造世界必備的工具. 代數(shù)式，顧名思義：代替數(shù)的式子，就是用它代替具體數(shù)值去表示數(shù)量，既然是代替具體數(shù)值來(lái)表示數(shù)量的，那么就應(yīng)該理解為結(jié)果；而從其由來(lái)說(shuō)：代數(shù)式是由運(yùn)算符號(hào)串接得到的，所以它又可以看成是算式. 綜上可見(jiàn)：代數(shù)式具有“結(jié)果”“算式”的雙重性. 正是這種“雙重性”，使得代數(shù)式能夠用已知代替未知、用具體代替抽象、用特殊代替一般、用有限代替無(wú)限. 即是說(shuō)：它可以無(wú)所不能地表示任意的數(shù)量. 從這一意義講：代數(shù)式是人類(lèi)文明發(fā)展進(jìn)程中產(chǎn)生的一種特定的語(yǔ)言文化.

既然代數(shù)式有如此的重要性，那么怎樣才能更好地理解、掌握并運(yùn)用它呢？

一、依據(jù)代數(shù)式的“雙重性”，切實(shí)把握“代數(shù)和”的內(nèi)涵

為了準(zhǔn)確地表示“相反意義的量”，人們引入了負(fù)數(shù)，引入負(fù)數(shù)以后，減法可以轉(zhuǎn)化為加法，加減法就辯證地統(tǒng)一成了加法，這樣使數(shù)量的表示更為簡(jiǎn)潔了，也就導(dǎo)致了具備“代數(shù)和”形式的代數(shù)式成為一類(lèi)較為特殊、多見(jiàn)的代數(shù)式，對(duì)于這類(lèi)代數(shù)式，一定要從“結(jié)果”“算式”兩個(gè)方面去理解、把握，才能真正輕松地掌握它：“和”是加法運(yùn)算的結(jié)果，把加法“算式”中的加號(hào)省略，就把它“同化”成了“結(jié)果”. 先看最為特殊的，“有理數(shù)加減混合運(yùn)算”的算式，如：-3 + 2 - 5 + 4 + 8 - 9 - 6，把它看成算式時(shí)，可讀作“負(fù)3加2減5加4加8減9減6”；而理解為結(jié)果時(shí)，就應(yīng)該讀作“-3，+2，-5，+4，+8，-9，-6的和”. 這里不妨先按“結(jié)果”來(lái)理解，明顯看出其中的負(fù)數(shù)有：-3，-5，-9，-6，其余的都是正數(shù)，再運(yùn)用運(yùn)算律，把負(fù)、正數(shù)分別結(jié)合（最好把負(fù)數(shù)結(jié)合放在前面）：-（3 + 5 + 9 + 6） + （2 + 4 + 8） = -23 + 16 = -7，對(duì)于帶有括號(hào)的加減混合運(yùn)算的算式，可以通過(guò)“轉(zhuǎn)”（化“減”為“加”）“省”（省掉加號(hào)）“同化”成“代數(shù)和”的形式，若這樣處理并把它固化成一種特定模式，學(xué)生再處理此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，就會(huì)感覺(jué)思路清晰、操作步驟明了、簡(jiǎn)單. 推而廣之：多項(xiàng)式也就是“同化”后的“代數(shù)和”.

二、依據(jù)代數(shù)式的由來(lái)、結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確把握代數(shù)式的科學(xué)分類(lèi)

代數(shù)式是用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)和表示數(shù)的字母連接而成的式子，在所有的這些式子中，又以乘號(hào)連接的式子最為簡(jiǎn)短.特別地，乘號(hào)還可以省略，故把數(shù)和字母的乘積（直接“同化”為結(jié)果）組成的式子稱(chēng)為單項(xiàng)式，積（不說(shuō)算式）中的數(shù)字因數(shù)稱(chēng)為它的“系數(shù)”，所有字母因數(shù)的指數(shù)和稱(chēng)為它的“次數(shù)”. 整式中的另一類(lèi)——多項(xiàng)式（且看成加、減號(hào)連接的吧），是幾個(gè)單項(xiàng)式的和，關(guān)鍵是要按“代數(shù)和”去理解（上文已提到），當(dāng)把多項(xiàng)式解讀為若干單項(xiàng)式的“和”時(shí)，能夠十分清楚地看出：多項(xiàng)式的每個(gè)項(xiàng)、特別是每項(xiàng)的符號(hào)、每項(xiàng)的次數(shù)、整個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù).

再有除號(hào)連接的，有的是單項(xiàng)式，有的卻是分式，分式最根本的特點(diǎn)：分母中含有字母.

最后還有根式，初中階段主要是二次根式，它屬于無(wú)理式；整式、分式統(tǒng)稱(chēng)為有理式.

三、從代數(shù)式的語(yǔ)言屬性，透徹把握代數(shù)式運(yùn)算的本質(zhì)內(nèi)涵

代數(shù)式既然是表示數(shù)量的語(yǔ)言，其本質(zhì)特征就應(yīng)該是簡(jiǎn)約、明了，這一屬性就決定了代數(shù)式運(yùn)算的實(shí)質(zhì)：對(duì)代數(shù)式進(jìn)行整理、化簡(jiǎn)，最終把它處理成最為簡(jiǎn)約明了的結(jié)果.

乘方，一種特殊的運(yùn)算，求幾個(gè)相同因數(shù)積的運(yùn)算. an也是一個(gè)代數(shù)式，不能繼續(xù)化簡(jiǎn)時(shí)，它就是最簡(jiǎn)結(jié)果，此時(shí)應(yīng)該讀作：“a的n次冪”，表示n個(gè)a相乘的結(jié)果：而需要繼續(xù)化簡(jiǎn)時(shí)，就把它看作算式，此時(shí)應(yīng)讀作：“a的n次方”，表示n個(gè)a相乘，在處理具體題目時(shí)，先看成冪確定符號(hào)；而確定絕對(duì)值時(shí)又看作算式：用乘法去計(jì)算冪的絕對(duì)值.

再分門(mén)別類(lèi)說(shuō)說(shuō)一般代數(shù)式的運(yùn)算吧：

（一）整式的加減

整式包括單項(xiàng)式和多項(xiàng)式，整式的加減運(yùn)算，先按加減的意義列出算式，此時(shí)要注意：多項(xiàng)式必須要用括號(hào)“包”起來(lái)，再通過(guò)去括號(hào)，把它“同化”成一個(gè)形式上的大“多項(xiàng)式”，該大“多項(xiàng)式”能否進(jìn)一步化簡(jiǎn)，關(guān)鍵看其中有沒(méi)有同類(lèi)項(xiàng)，有，合并化簡(jiǎn)；沒(méi)有，直接看作結(jié)果. 可見(jiàn)，整式加減的實(shí)質(zhì)：先“同化”為大“多項(xiàng)式”，再合并同類(lèi)項(xiàng)，使結(jié)果最為簡(jiǎn)約明了；沒(méi)有同類(lèi)項(xiàng)的，整理“同化”成的多項(xiàng)式就是最簡(jiǎn)結(jié)果.

（二）整式的乘法

1. “單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式”，系數(shù)和字母因數(shù)分別相乘，特殊的“單項(xiàng)式自乘”，書(shū)中定義為“積的乘方”，感覺(jué)不如直接定義為“單項(xiàng)式乘方”，這樣便于強(qiáng)調(diào)：系數(shù)、各字母因數(shù)分別乘方.

2. “單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式”、“多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式”都是利用分配律，把它們轉(zhuǎn)化為“單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式”. 由此可見(jiàn)：“單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式”是整式乘法的基礎(chǔ).

3. 乘法公式 特殊的多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式

（1）平方差公式：（a + b）（a - b） = a2 - b2，

（2）完全平方公式：（a±b）2 = a2 ± 2ab + b2，從公式的結(jié)構(gòu)形式可以看出，它們都是以“結(jié)果”的形式來(lái)命名的，這會(huì)使人感覺(jué)很別扭，因?yàn)閹缀跛械墓阶冃味际且浴俺跏夹问健眮?lái)命名的，另外，還會(huì)與“因式分解”中的相關(guān)公式相混淆：一個(gè)公式變形的兩個(gè)不同方向叫同一個(gè)名稱(chēng)，表述確實(shí)方便了，但在學(xué)生沒(méi)有十分明確變形的目的時(shí)，該選擇公式的哪個(gè)方向，對(duì)于他們來(lái)說(shuō)確實(shí)是十分懵懂而難辨的. 反之，如果能從變形的不同方向依據(jù)“初始形式”分別命名，學(xué)生在理解、掌握、運(yùn)用時(shí)自然要清晰自如得多.

那么到底該怎樣分別命名會(huì)更好呢？不妨把a(bǔ)2 - b2 = （a + b）（a - b）從“初始形式”就叫做“平方差公式”，而把（a + b）（a - b） = a2 - b2從“初始形式”叫做“同異公式”：兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的多項(xiàng)式相乘，一部分項(xiàng)完全相同，一部分項(xiàng)符號(hào)相異、絕對(duì)值相同（不止兩項(xiàng)的也可以具此特征來(lái)構(gòu)造成“同、異”的形式），其結(jié)果等于：相同部分的平方減去相異部分的平方.

類(lèi)似地：直接把a(bǔ)2 ± 2ab + b2=（a ± b）2依“初始形式”命名為“完全平方公式”，而把（a ± b）2 = a2 ± 2ab + b2依“初始形式”稱(chēng)為“多項(xiàng)式平方”. 確定命名為“多項(xiàng)式平方”有諸多好處；首先，依“初始形式”定義，符合數(shù)學(xué)規(guī)律，使人感覺(jué)順暢、自然；其次，從不同方向分別命名，讓學(xué)生掌握起來(lái)清晰且簡(jiǎn)單；再次，非常貼合多項(xiàng)式的意義，不論括號(hào)內(nèi)是加、減號(hào)連接的，其實(shí)都是多項(xiàng)式；最后，括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)數(shù)還可以不受限制，當(dāng)多于兩項(xiàng)時(shí)敘述為：多項(xiàng)式平方等于：多項(xiàng)式中每一項(xiàng)的平方和，再加上它們兩兩乘積的二倍（此時(shí)，一定要弄清楚多項(xiàng)式中每一項(xiàng)的符號(hào)哦）.

（三）分式的有關(guān)運(yùn)算

分式本質(zhì)上是整式相除的產(chǎn)物. “整式除以整式”，結(jié)果有兩種可能：整除，結(jié)果是整式；不能整除，結(jié)果就是分式. 既是結(jié)果應(yīng)該最簡(jiǎn)吧，怎樣才能達(dá)到最簡(jiǎn)呢？約去公因式唄，而要找出公因式，前提是要把多項(xiàng)式化為整式的乘積（只有相乘才有“因”式呀）. 由此可見(jiàn)；分式運(yùn)算有個(gè)基礎(chǔ)技能—分解因式.

關(guān)于分解因式，首先要明確它的目的：為化簡(jiǎn)找公因式而做的必要的變形（是以退為進(jìn)的操作）；其次要明確它的本質(zhì)：把一多項(xiàng)式化為若干整式的乘積（化“和”成“積”）；再次明晰它的操作步驟：一“提”二“套”，提公因式實(shí)際是“單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式”的逆變形；套公式上文已提及不再展開(kāi).

1. 分式的乘除 分式間再乘除，遇“除”化“乘”，統(tǒng)一成乘法，再約去公因式，當(dāng)遇有多項(xiàng)式時(shí)，要先分解才能確定公因式，然后分子、分母分別相乘.

2. 分式的加減，類(lèi)比分?jǐn)?shù)的加減，只是要特別注意其中“因式”的處理，公約數(shù)不分解可直接看出，公因式必須要分解才能看到.

（四）二次根式的有關(guān)運(yùn)算

還是先說(shuō)一種特殊的運(yùn)算—開(kāi)方：求方根的運(yùn)算叫做“開(kāi)方”，開(kāi)方得到的結(jié)果叫做“方根”. 顯見(jiàn)，這里的“開(kāi)方”和“方根”采用的是循環(huán)式定義，這本身是不科學(xué)的，但揭示了它們之間的依存關(guān)系：開(kāi)方是一種求方根的運(yùn)算；方根是開(kāi)方得來(lái)的結(jié)果.

開(kāi)平方求得的是平方根，開(kāi)立方得到的是立方根，立方根的規(guī)律非常簡(jiǎn)單：每個(gè)實(shí)數(shù)都只有一個(gè)與之同號(hào)的立方根，反過(guò)來(lái)可以說(shuō)，每個(gè)實(shí)數(shù)都可以開(kāi)立方；而平方根卻要復(fù)雜得多：負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，零有一個(gè)平方根是它本身，正數(shù)有兩個(gè)互為相反的平方根（零的平方根和正數(shù)的正平方根又叫做算術(shù)平方根），從開(kāi)方的角度說(shuō)，負(fù)數(shù)不能開(kāi)平方，正數(shù)開(kāi)平方有兩個(gè)結(jié)果.

二次根式：

（2）二次根式的加減 先利用（5）（6）兩式化為最簡(jiǎn)，再合并同類(lèi)的二次根式（類(lèi)似多項(xiàng)式的合并同類(lèi)項(xiàng)），把結(jié)果整成最簡(jiǎn)約.

代數(shù)式是語(yǔ)言，語(yǔ)言自有其科學(xué)規(guī)范性，代數(shù)式的科學(xué)規(guī)范性體現(xiàn)在它合理有序的約定俗成，像上文對(duì)“單項(xiàng)式乘方”、“同異公式”、“多項(xiàng)式平方”的命名，應(yīng)該會(huì)使它的體系更合理有序吧，既然代數(shù)式是約定俗成，那么像“代數(shù)式是語(yǔ)言”、“代數(shù)式的雙重性”“代數(shù)式算式到結(jié)果的同化”、“代數(shù)式運(yùn)算是整理化簡(jiǎn)”等等，就應(yīng)該把它們作為約定直白地告訴學(xué)生，這對(duì)他們掌握代數(shù)式這一特定語(yǔ)言大有裨益.