張學(xué)茂 劉來(lái)山 陳玲 梁妮 劉晶 徐芳

【摘要】 用實(shí)數(shù)完備性的主要定理（致密性定理、閉區(qū)間套定理、有限覆蓋定理、聚點(diǎn)定理、單調(diào)有界原理）對(duì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值性從多角度進(jìn)行證明，深化了對(duì)實(shí)數(shù)完備性主要定理的應(yīng)用與理解.

【關(guān)鍵詞】 完備性；最值；確界

【基金項(xiàng)目】 江蘇省大學(xué)生實(shí)踐創(chuàng)新訓(xùn)練項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)201412917003Y）研究成果之一.

實(shí)數(shù)的完備性是數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)和講授中的難點(diǎn)之一，華東師范大學(xué)編寫的數(shù)學(xué)分析將該難點(diǎn)進(jìn)行了分散處理：第一章介紹了確界原理，第二章給出了單調(diào)有界定理，第三章給出了連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，并得出了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值性. 第七章在介紹了實(shí)數(shù)完備性相關(guān)定理后，專門安排介紹了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性，最值性介值性、一致連續(xù)性等）并用多種方法進(jìn)行了證明. 不少專家學(xué)者對(duì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明進(jìn)行了深入研究. 本課題組研究發(fā)現(xiàn)，閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的最值性雖最易直觀理解，但作為一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，必須對(duì)其進(jìn)行嚴(yán)密的證明，這類證明方法在諸多文獻(xiàn)中鮮有發(fā)現(xiàn). 教材中也僅利用確界原理對(duì)其進(jìn)行了證明. 本文試用實(shí)數(shù)完備性的主要定理（單調(diào)有界原理、致密性定理、閉區(qū)間套定理、有限覆蓋定理、聚點(diǎn)定理）對(duì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值性從多角度進(jìn)行證明，深化了對(duì)實(shí)數(shù)完備性主要定理的應(yīng)用與理解.

一、預(yù)備知識(shí)

引理1（確界原理）設(shè)S是非空數(shù)集，若S有上界，則必有上確界. 若S有下界，必有下確界.

引理2（有界性定理）若函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f（x）在[a，b]上有界.

引理3（單調(diào)有界原理）在實(shí)數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限.

引理4（致密性定理）有界數(shù)列必含有收斂子列.

引理5（閉區(qū)間套定理）若{[a，b]}構(gòu)成一個(gè)區(qū)間套，則在實(shí)數(shù)系中存在唯一的一點(diǎn)ξ，使得ξ∈[a，b]，n = 1，2，….

引理6（有限覆蓋定理）設(shè)H為閉區(qū)間[a，b]上一個(gè)（無(wú)限）開(kāi)覆蓋，則從H中可選出有限個(gè)開(kāi)區(qū)間來(lái)覆蓋[a，b]

最大（?。┲刀ɡ恚喝艉瘮?shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f（x）在[a，b]上有最大值和最小值.

二、主要證明

5. 總 結(jié)

關(guān)于閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的最值性的證明，主要根據(jù)不同的定理進(jìn)行有效的構(gòu)造. 實(shí)數(shù)完備性的幾大定理，從不同側(cè)面對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行了有效的刻畫，這些定理是相互等價(jià)的. 對(duì)同一問(wèn)題利用實(shí)數(shù)完備性不同的定理進(jìn)行證明，一方面驗(yàn)證了定理相互等價(jià)，另一方面可以促進(jìn)學(xué)生加深對(duì)這些定理內(nèi)涵及其應(yīng)用的理解，從而激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣，有效化解了數(shù)學(xué)分析中的難點(diǎn)問(wèn)題.