張喜娟 徐玉潔

【摘要】在微積分教學(xué)中引入數(shù)學(xué)軟件輔助教學(xué)調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，使抽象的數(shù)學(xué)概念具體化.借助于Maple，Matlab繪制的幾何圖形可以直觀、充分地體現(xiàn)微積分的概念的內(nèi)涵，克服了傳統(tǒng)教學(xué)中講解內(nèi)容抽象，手工繪圖不準(zhǔn)確，教學(xué)內(nèi)容難以擴(kuò)展等方面的不足，使微積分的教學(xué)變得更加形象生動(dòng).這有助于提升學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的興趣，提升他們的課業(yè)成績(jī).

【關(guān)鍵詞】微積分；極限；隱函數(shù)；Maple；Matlab

一、微積分課程教學(xué)的困難點(diǎn)

微積分教材注重理論的嚴(yán)謹(jǐn)性， 缺乏以直觀、具體的方式描述微積分的概念.數(shù)學(xué)概念的抽象和嚴(yán)謹(jǐn)，使得某些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱學(xué)生的理解有一定困難.會(huì)讓這些學(xué)生望而生畏，感到數(shù)學(xué)的許多東西都是看不到，摸不著，抽象、枯燥使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程的興趣降低，不及格率增加.

而數(shù)形結(jié)合的思想是要充分運(yùn)用數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)和形的直觀，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維相結(jié)合，將這種思想方法引入到微積分教學(xué)可以幫助學(xué)生解決一些數(shù)學(xué)概念抽象難于理解的問題.我們?cè)噲D在教學(xué)中采用圖像的方法說明概念、定理、公式.借助數(shù)學(xué)軟件，通過數(shù)與形的緊密結(jié)合，從幾何直觀入手分解抽象的數(shù)學(xué)概念的難度，以從不同側(cè)面幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解并掌握.

Maple及Matlab等數(shù)學(xué)軟件為用幾何圖形去刻畫微積分課程的概念、定理與運(yùn)算的輔助教學(xué)提供了很好的手段.借助于Maple及Matlab繪制的幾何圖形可以直觀、充分地體現(xiàn)微積分的概念的內(nèi)涵，克服了傳統(tǒng)教學(xué)中講解概念、定理或計(jì)算的內(nèi)容抽象，手工繪圖不直觀、不精確，教學(xué)內(nèi)容難以擴(kuò)展等方面的不足，使微積分的教學(xué)變得更加形象生動(dòng).這些圖形有助于提升學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的興趣與綜合理解，提升他們的課業(yè)成績(jī).

在近些年中，我們逐步把數(shù)學(xué)軟件的使用引入了微積分課程的教學(xué)，在下面幾個(gè)方面做了一些有益的嘗試，取得了一些成果.

二、微積分概念的直觀理解

1.重要極限的圖解化

極限是微積分學(xué)習(xí)中非常重要的一個(gè)概念，學(xué)生對(duì)此概念的理解掌握一定程度決定了他們對(duì)課程其他內(nèi)容的理解與掌握.微積分中函數(shù)極限的概念是學(xué)生初學(xué)微積分時(shí)的一個(gè)難點(diǎn)，有些學(xué)生會(huì)極限的計(jì)算，卻沒有真正理解極限的含義，學(xué)生不能完全理解無限逼近的動(dòng)態(tài)過程.為了讓學(xué)生理解好極限這個(gè)很基礎(chǔ)又重要的數(shù)學(xué)概念，在講完極限的抽象概念后，畫出一些學(xué)生計(jì)算過的極限的函數(shù)圖形，通過觀察曲線，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)極限概念中無限逼近這一過程的理解.

有一些特殊函數(shù)的極限學(xué)生理解有困難，如由三角函數(shù)與冪函數(shù)的四則運(yùn)算所構(gòu)成的函數(shù)，學(xué)生對(duì)求這些函數(shù)的極限覺得很抽象，而手畫這些函數(shù)的曲線又十分困難和不準(zhǔn)確，借助Maple軟件可以很方便畫出函數(shù)的曲線，同時(shí)還可以得到一些非常重要的結(jié)論.

例如求下面函數(shù)的極限，這四個(gè)表示式相似函數(shù)的極限，一直是學(xué)生不易掌握的內(nèi)容：limx→0xsin1x，limx→∞xsin1x，limx→01xsinx，limx→∞1xsinx，這涉及重要極限之一和無窮小與有界量乘積是無窮小的知識(shí)點(diǎn).學(xué)生會(huì)計(jì)算上述極限之后再用數(shù)學(xué)軟件將所求極限函數(shù)的曲線畫出加以幾何說明.

啟動(dòng)Maple軟件，輸入下列語句運(yùn)行后可畫出曲線，如圖1，2，3，4所示.

2.隱函數(shù)曲線的圖形

在講授隱函數(shù)的概念時(shí)，教師課上抽象的說方程與函數(shù)的關(guān)系，學(xué)生理解有困難，學(xué)生對(duì)于方程所確定函數(shù)的理解一直似是而非，盡管教師總是強(qiáng)調(diào)y 是x的函數(shù)，學(xué)生也理解不了這一層的函數(shù)關(guān)系，這影響了學(xué)生隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)計(jì)算的準(zhǔn)確性.在計(jì)算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，有的學(xué)生是機(jī)械性的記憶，隱函數(shù)關(guān)系理解不到位.可是學(xué)生對(duì)于中學(xué)接觸過的方程如x2+y2=1卻很容易接受其對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，說明幾何圖形對(duì)學(xué)生理解隱函數(shù)的概念是有意義的.教師在課上通過將方程對(duì)應(yīng)的幾何圖形展示出來，使學(xué)生看到表示隱函數(shù)方程所對(duì)應(yīng)的函數(shù)曲線，學(xué)生就可以真切的感受到函數(shù)關(guān)系的存在，從而容易接受方程對(duì)應(yīng)一個(gè)存在卻寫不成的函數(shù)——隱函數(shù)的概念，并加深對(duì)此概念的理解與掌握.另外將方程所對(duì)應(yīng)的曲線展現(xiàn)在學(xué)生面前，可以讓學(xué)生把方程與曲線，方程與函數(shù)融會(huì)貫通起來.

例如啟動(dòng)Maple軟件，輸入下列語句運(yùn)行后可畫出方程ey+xy-e=0所對(duì)應(yīng)隱函數(shù)的曲線，如圖5所示.

x=0：.1：10；

f=inline（exp（y）+x*y-exp（1））；

for i=1：length（x）

y（i）=fsolve（@（y） f（x（i），y），x（i），optimset（Display，off））；

end

plot（x，y，d）；

grid on；

xlabel（x）；ylabel（y）；

title（隱函數(shù)ey+xy-e=0 的圖像）；

函數(shù)關(guān)系不可顯化的ey+xy-e=0方程中確定的隱函數(shù)y=f（x）的關(guān)系得到了圖解說明.

三、易混淆問題可以明晰

無窮小與有界量相乘是無窮小，提問學(xué)生無窮大與有界量相乘的結(jié)果是什么？無窮大量是無界量，但無界量是無窮大量嗎？學(xué)生憑直覺無界量不會(huì)是無窮大量，但卻想不出具體的反例.教師在課堂畫函數(shù)xsinx的曲線，讓學(xué)生觀察當(dāng)x→∞時(shí)函數(shù)的變化趨勢(shì).通過幾何曲線學(xué)生可以很好理解上述兩個(gè)概念的區(qū)別和聯(lián)系，

啟動(dòng)Maple軟件，輸入下列語句運(yùn)行后可畫出曲線，如圖6所示

老師在課下準(zhǔn)備好的曲線在課堂PPT上投影，不如用軟件在課堂現(xiàn)場(chǎng)畫圖對(duì)學(xué)生的直覺沖擊要大.學(xué)生是帶著問題，帶著思考在等待曲線的結(jié)果.另外還可以把學(xué)生想出的曲線畫出來，從直觀可以看出哪些是正確的反例.

四、知識(shí)點(diǎn)之間的貫通

大多數(shù)學(xué)生知道一元函數(shù)在幾何圖形上表示平面直角坐標(biāo)系中的一條曲線，而二元函數(shù)表示在空間直角坐標(biāo)系中的一張曲面.教師只在課上給出某個(gè)二元函數(shù)所對(duì)應(yīng)的空間曲面，學(xué)生印象不深，理解不到位.現(xiàn)在教師通過軟件可以多演示一些曲面，尤其是學(xué)生在后面章節(jié)將要遇到的一些二元函數(shù).

通過課堂的學(xué)習(xí)學(xué)生知道三元一次方程表示平面，但在習(xí)題課上給出二元函數(shù)z=7-2x+6y2，問學(xué)生幾何意義是什么卻想不出來.當(dāng)教師把圖形畫出后，學(xué)生看到平面圖形，能夠想到此函數(shù)即是三元一次方程.這時(shí)學(xué)生可以將函數(shù)、定義域、方程及曲面之間的關(guān)系貫通起來，多次變換方式的知識(shí)重現(xiàn)使學(xué)生能夠更好的掌握概念.

例如啟動(dòng)Matlab軟件，輸入下列語句運(yùn)行后畫平面2x-6y+2z-7=0的圖形，如圖7所示.

[x，y]=meshgrid（[-10：0.5：10]）；

z=（7-2*x+6*y）/2；

surf（x，y，z）；

xlabel（itx）；

ylabel（ity）；

zlabel（itz）；

legend（（7-2*x+6*y）/2=z）；

另外還可以將一些二元函數(shù)留給學(xué)生作為課下作業(yè)，將它們所表示的曲面畫出.這樣通過幾何圖形的直觀畫面印象的建立可以為后面章節(jié)中的二元函數(shù)的極限，偏導(dǎo)數(shù)，全微分等概念和計(jì)算作出前期的鋪墊，在后面就可較順利的理解更數(shù)學(xué)化的抽象概念，從而完成了知識(shí)點(diǎn)的連接貫穿教學(xué).

五、獨(dú)立思考及分析問題解決問題能力的培養(yǎng)

在習(xí)題課上對(duì)于學(xué)生利用計(jì)算方法計(jì)算過的一些定積分，讓學(xué)生用Matlab軟件再驗(yàn)證，以達(dá)到熟練語句的目的.如計(jì)算定積分∫40x+22x+1dx=223.

對(duì)應(yīng)語句：syms x；

y=（x+2）/（2*x+1）1[]2；

int（y，x，0，4）

ans=

22/3

問題1：計(jì)算積分∫+∞0e-x2dx，學(xué)生用廣義積分方法計(jì)算時(shí)，發(fā)現(xiàn)被積函數(shù)在初等函數(shù)范圍內(nèi)原函數(shù)不存在，計(jì)算方法失效.

解法：讓學(xué)生用Matlab軟件試著計(jì)算：

Matlab的程序如下：syms x；

y=exp（-x2）；

int（y，0，+inf）

ans=

1/2*pi1[]2

看到學(xué)生感到軟件好用.教師還可以介紹另一解，提示學(xué)生此問題還可以用二重積分來完成，從而給后面的學(xué)習(xí)留下鋪墊，并讓學(xué)生感到知識(shí)的連貫性.

問題2：計(jì)算積分∫10sinxxdx，

解法：學(xué)生使用數(shù)學(xué)軟件計(jì)算，

對(duì)應(yīng)語句：syms x；

y=sin（x）/x；

int（y，0，1）

ans=

sinint（1）

double（sinint（1））

ans=0.9461

這時(shí)又遇到問題，sinint（1）表示什么？建議學(xué)生用百度搜索解決，通過這樣的方式，讓學(xué)生體會(huì)發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的過程，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程的興趣.

問題3：計(jì)算積分∫0.20e-x2dx，學(xué)生繼續(xù)使用數(shù)學(xué)軟件計(jì)算，

解法：對(duì)應(yīng)語句syms x；

y=exp（-x2）；

int（y，0，0.2）

ans=

1/2*erf（1/5）*pi1[]2

erf（x）是什么含義，學(xué)生自己可以查出是誤差函數(shù)，并查出值為0.2227，最后算出積分∫0.20e-x2dx的近似值為0.1974.學(xué)生以前從來沒有遇到過這個(gè)誤差函數(shù)，當(dāng)遇到問題時(shí)通過網(wǎng)絡(luò)自己查詢，最后將問題解決.

六、小結(jié)

當(dāng)今數(shù)字化生存的時(shí)代，人們?nèi)绻幌肼浜缶捅仨毷褂孟冗M(jìn)的工具——計(jì)算機(jī).使用了計(jì)算機(jī)后，平常用人力要花很多時(shí)間的繁復(fù)計(jì)算或作圖在使用計(jì)算機(jī)后往往可以在“一瞬間”得出結(jié)果.

在微積分課程教學(xué)中引入數(shù)學(xué)軟件輔助教學(xué)在一定程度上調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，使抽象的數(shù)學(xué)概念具體化.軟件教學(xué)生動(dòng)、形象有助于學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念，盡快突破學(xué)習(xí)難關(guān)，提高學(xué)習(xí)信心和興趣.對(duì)抽象思維能力較差的學(xué)生來說，這種教學(xué)的作用更為明顯.和傳統(tǒng)的授課方式相比，圖形具有直觀性的特點(diǎn)，在課堂教學(xué)中，是教師吸引學(xué)生眼球，展示數(shù)學(xué)“美”的一種比較有效的教學(xué)手段，深受廣大學(xué)生喜愛.

微積分課程數(shù)學(xué)軟件的教學(xué)運(yùn)用將數(shù)學(xué)分支的幾何、代數(shù)、微積分這三方面的內(nèi)容有機(jī)的聯(lián)系在一起，不僅可以使學(xué)生掌握一些常用的計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)計(jì)算方法，還可加深對(duì)數(shù)學(xué)概念及理論的理解，同時(shí)掌握一些常用的應(yīng)用數(shù)學(xué)計(jì)算方法，從而在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的過程中進(jìn)一步提高大學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì).而后面的數(shù)學(xué)建模與計(jì)算機(jī)計(jì)算的有機(jī)結(jié)合將極大地?cái)U(kuò)大數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用范圍，人才培養(yǎng)的過程中，正確的前期思想啟蒙基礎(chǔ)教育方法則是后期發(fā)展重要方面，對(duì)點(diǎn)燃一個(gè)思想火種也很重要.

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