王彤

進(jìn)入高一，絕大部分學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上面臨著一系列巨大挑戰(zhàn)：學(xué)習(xí)容量明顯加大了，知識的系統(tǒng)性更強(qiáng)了，加上內(nèi)容的抽象性、思維的嚴(yán)密性與邏輯性明顯加強(qiáng)，很多學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上會感到很吃力，主要表現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題上：上課聽講時(shí)都能理解，但到自己去解題時(shí)，各種問題卻接踵而來.其主要原因在于自己沒有形成一定的解題思路，還沒弄清楚題目需要你做什么，或者根據(jù)題目條件你能做什么.要想弄清楚該干什么，就要從審題開始.新課標(biāo)明確指出：高中數(shù)學(xué)課程對于提高分析和解決問題的能力，形成理性思維，發(fā)展智力和創(chuàng)新思維起著基礎(chǔ)性作用.分析和解決問題的能力是指能閱讀、理解對問題進(jìn)行陳述的材料，能綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識、思想和方法解決問題.

例1若不等式x2-ax-b<0的解集為x20的解集.

此題看起來比較簡單，絕大部分學(xué)生也都能算出正確答案，但從解題過程的嚴(yán)密性而言，我覺得是不大滿意的.在講一元二次不等式的解法時(shí)，我們通常是把三個(gè)二次放在一起，目的是讓學(xué)生明確二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式三者的關(guān)系，也就是在處理一元二次不等式的問題時(shí)，腦中能形成這樣三角網(wǎng)絡(luò)，把不等式的問題轉(zhuǎn)化為方程問題.所以，我們強(qiáng)調(diào)在解題時(shí)要有這么一句話：因?yàn)椴坏仁絰2-ax-b<0的解集為x20的解集是{x|x<1或x>3}，求不等式cx2+bx+a>0的解集，我們會發(fā)現(xiàn)除了類似于例1的兩個(gè)方程以外，還能發(fā)現(xiàn)“a<0”這個(gè)結(jié)論.這個(gè)結(jié)論在后面的解題中起到了決定性作用，如果我們審題不嚴(yán)密，沒有細(xì)細(xì)分析題目條件所帶來的信息，那我們往往就會走在錯(cuò)誤的邊緣而不知.

數(shù)學(xué)學(xué)科本身具有精確性、嚴(yán)密性及完美性三大特點(diǎn)，而思維的嚴(yán)謹(jǐn)性是極其重要的一方面.反映在數(shù)學(xué)解題過程中，就是要做到思考問題全面、周密而不遺漏任何可能的情況，在推理論證時(shí)做到理由充分，條理清楚.

例2已知函數(shù)f（x）=-2x2+4x-1，若0

此題是研究二次函數(shù)在不定區(qū)間上的值域問題，通過審題，我們不難發(fā)現(xiàn)，結(jié)合二次函數(shù)圖像，由于區(qū)間的不定，我們無法確定最大和最小值的位置，無法確定就帶來了分類討論.分類討論是數(shù)學(xué)嚴(yán)密性的一種明顯表現(xiàn)，很多學(xué)生缺乏嚴(yán)密的邏輯推理，會丟三落四，但要想得高分，就要面面俱到.不過，知道分類討論只是完成了解題的第一步，后面還有一塊重要而艱巨的任務(wù)：解題.因?yàn)楫?dāng)0

有時(shí)候，數(shù)學(xué)解題不是純粹為了解這道題而解題，我們要從一道題的思考、解答中去發(fā)現(xiàn)這一類問題的解決通法.我也經(jīng)常和學(xué)生講：要少算就要多想.這兩年高考也是呈現(xiàn)了這樣的特點(diǎn)，計(jì)算的量少了，要求學(xué)生思考的東西多了.審題，一方面是多思考題目條件可以帶來哪些結(jié)論，另一方面我們還要多關(guān)注題目條件中所隱含的一些信息，抓住這些信息，我們往往會有一種“柳暗花明又一村”的感覺.

例3幾名大學(xué)畢業(yè)生合作開設(shè)3D打印店，生產(chǎn)并銷售某種3D產(chǎn)品.已知該店每月生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)月都能銷售完，每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為34元，該店的月總成本由兩部分組成：第一部分是月銷售產(chǎn)品的生產(chǎn)成本，第二部分是其他固定支出20000元.假設(shè)該產(chǎn)品的月銷售量t（x）（件）與銷售價(jià)格x（元/件）（x∈N*）之間滿足如下關(guān)系：①當(dāng)34≤x≤60時(shí)，t（x）=-a（x+5）2+10050；②當(dāng)60≤x≤70時(shí)，t（x）=-100x+7600.設(shè)該店月利潤為M（元），月利潤=月銷售總額-月總成本.

（1）求M關(guān)于銷售價(jià)格x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求該打印店月利潤M的最大值及此時(shí)產(chǎn)品的銷售價(jià)格.

看起來是一道比較簡單的利潤應(yīng)用題，學(xué)生們都能建模，但因?yàn)榈谝粏柺阶拥那蠼庵苯佑绊懙诙柕那蠼?，很多同學(xué)第一問都沒能做出來，所以此題的平均得分很低.問題在哪兒？條件中有一個(gè)字母a，按以前做題的常理，我們通常要把a(bǔ)求出來的，但我們也發(fā)現(xiàn)好像無從求a，于是就會帶著a一直往下做，明知道有問題，但也無力改變.那么問題究竟在哪兒呢？如果仔細(xì)觀察，我們會發(fā)現(xiàn)34≤x≤60和60≤x≤70這兩個(gè)式子，這和我們平常寫的有什么區(qū)別嗎？就是60的位置，兩段上都帶了等號.這說明什么問題？于是隱含條件又被挖出：第一段的t（60）和第二段的t（60）應(yīng)該相等，這樣a就算出來了，所有問題也就迎刃而解.

基本的審題沒有問題時(shí)，我們是否關(guān)注了隱含條件？如例3，有同學(xué)在平常的書寫分段函數(shù)時(shí)就不注意分?jǐn)帱c(diǎn)的等號問題，所以遇到這個(gè)問題時(shí)自然就不會注意；有同學(xué)盡管知道，但僅僅流于表面形式，并沒有真正理解，所以也不會太在意.只有真正理解了式子的概念意義，如本題，其實(shí)是對函數(shù)概念的認(rèn)識.所以，對于嚴(yán)密性而言，它是數(shù)學(xué)的顯著特征，在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)時(shí)特別重要，概念題往往是考那些學(xué)生容易忽視的詞語，恰好那是關(guān)鍵，要知道數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)密性是很強(qiáng)的，多一個(gè)字和少一個(gè)字都會對概念描述不準(zhǔn).比如橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于F1，F(xiàn)2之間的距離）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓.如果去掉平面內(nèi)這個(gè)限制，將得到幾何體，對常數(shù)也必須限制它大于F1，F(xiàn)2本身的距離，否則也不是橢圓，把和改為差又會得到雙曲線的一支.

例4已知函數(shù)f（x）=alnx，若對任意的x∈1，e，都有f（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

這是我們在高三復(fù)習(xí)時(shí)經(jīng)常遇到的一類題：不等式恒成立問題，基本方法就是構(gòu)造函數(shù)求最值，分類變量求最值或者是數(shù)形結(jié)合.采用直接構(gòu)造函數(shù)，即令g（x）=x2-（a+2）x+alnx，再求g（x）在1，e上的最小值.通過求導(dǎo)，由g′（x）=0x=1或x=a2，發(fā)現(xiàn)需要對a2分三種情況討論.采用分離變量法，我們可以先得到a（x-lnx）≤x2-2x，但在兩邊除x-lnx時(shí)要說明x-lnx>0，在得到a≤x2-2xx-lnx后，我們令h（x）=x2-2xx-lnx，求導(dǎo)h′（x）=（2x-2）（x-lnx）-（x2-2x）1-1x（x-lnx）2，此時(shí)我們發(fā)現(xiàn)求導(dǎo)后的式子也不簡單，雖然可以通過提取公因式或者直接研究分子（二次求導(dǎo)）去研究正負(fù)，但過程確實(shí)很繁瑣.所以此題看起來很常規(guī)，但綜合能力要求卻比較高，不管采用哪種方法，都需要學(xué)生有很強(qiáng)的毅力堅(jiān)持計(jì)算下去.不過我們再去發(fā)現(xiàn)一下，恒成立問題通常是“對任意的x，……恒成立”，結(jié)合我們在解決如“已知f（x）=2x+a2x+1為奇函數(shù)，求常數(shù)a”的題目時(shí)的做法，我們不難發(fā)現(xiàn)帶特殊值是一個(gè)好辦法.所以，當(dāng)我們把1帶入后就有了a≤-1的結(jié)論，從而在第一種做法的基礎(chǔ)上，我們整個(gè)過程就簡化了，三種情況討論就只剩下了一種，大有“四兩撥千斤”的快感.

諸如此類題不少見，如在向量中我們有這么一道：兩個(gè)半徑分別為r1，r2的圓M、N，其公共弦AB長為3，如圖所示，則AM·AB+AN·AB=.

此題主要運(yùn)用AB⊥MN的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)向量的運(yùn)算：

可以直接用向量數(shù)量積的定義式進(jìn)行化簡，也可以把AM，AN進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解，當(dāng)然在有垂直條件下，建立直角坐標(biāo)系用坐標(biāo)求解也是可行的.不過，我們再去細(xì)細(xì)體會一下題目信息：半徑是r1，r2（帶字母），而結(jié)果應(yīng)該是定值，那么換句話說這個(gè)結(jié)果應(yīng)該和半徑?jīng)]關(guān)系，既然沒關(guān)系，那我們就可以給定r1，r2的值，那樣運(yùn)算起來就沒那么麻煩了（當(dāng)然，要適當(dāng)注意合理性，畢竟公共弦長是3）.

審題能力是綜合獲取信息、處理信息的一種能力，它需要以一定的知識儲備、認(rèn)知水平為依托，更需要有良好的讀題習(xí)慣、有效的思考方法為保證.在高中階段，對學(xué)生進(jìn)行嚴(yán)密的邏輯思維訓(xùn)練是必不可少的，因?yàn)樗粌H是創(chuàng)造性數(shù)學(xué)思維中不可缺少的工具，也是學(xué)生今后走入社會從事研究或工作必須具備的良好品質(zhì).