吳宏伊 蔣貴川 易雷

摘 要：復(fù)式收費(fèi)能提高收費(fèi)站的通行能力，被廣泛應(yīng)用于收費(fèi)站建設(shè)或改擴(kuò)建中。該文在服從泊松分布的收費(fèi)服務(wù)排隊(duì)論模型基礎(chǔ)上，對復(fù)式收費(fèi)的完整過程進(jìn)行建模，提出了一種適用性較強(qiáng)的計(jì)算復(fù)式收費(fèi)時 間參數(shù)的方法，并計(jì)算出多亭復(fù)式收費(fèi)方式對單式收費(fèi)通行能力提高的比率，作為收費(fèi)亭數(shù)選擇的依據(jù)。

關(guān)鍵詞：復(fù)式收費(fèi) 通行能力 時間參數(shù)

中圖分類號：U491.23 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）06（c）-0054-02

Computation of Time Parameters of Serial Toll Based on Stochastic Processes

Wu Hongyi Jiang GuiChuan Yi Lei

（Sichuan province communication department highway planning， survey， design and research institute， Chengdu Sichuan， 610041，China）

Abstract：Serial roll can improve the passthrough capacity of the toll station. It has been widely used in the construction or expansion of the toll station. This article models the whole process of the serial toll based on the traffic arrival subjected to the standard Poisson distribution. Then comes up with a practical computation method of time parameter of serial toll. With this method， we work out the improved degree of passthrough capacity of serial toll compared with single toll. The results can be used as the basis of choice of the number of tollboothes.

Key Words：Serial Toll；Passthrough Capacity； Time Parameters

復(fù)式收費(fèi)是指在一條收費(fèi)車道上設(shè)置兩個或多個收費(fèi)亭，同時為兩輛或多輛車服務(wù)，從而提高收費(fèi)車道通行能力的收費(fèi)服務(wù)方式。在受到建設(shè)條件限制的收費(fèi)站，復(fù)式收費(fèi)無疑是提高收費(fèi)服務(wù)水平的有效且可行的方式。隨著我國國民經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，已建成通車的高速公路普遍交通量劇增，部分收費(fèi)站面臨服務(wù)水平下降的問題，需進(jìn)行改擴(kuò)建以緩解擁堵現(xiàn)象。但是改擴(kuò)建時可能會遇到地形條件受限，或者由于城市化發(fā)展，收費(fèi)站被城市包圍，因而難以增加車道的情況；而異址重建收費(fèi)站又面臨巨大的資金壓力。在這種情況下，設(shè)置復(fù)式收費(fèi)亭不失為一種簡單經(jīng)濟(jì)的辦法。另外，在交通流高峰期采用便攜式車道應(yīng)急收費(fèi)機(jī)加快收費(fèi)速度，也是一種復(fù)式收費(fèi)方式，能有效緩解高峰時段的通行壓力。

目前，基于隨機(jī)過程排隊(duì)理論的收費(fèi)站通行能力研究已有一定基礎(chǔ)，針對單式收費(fèi)方式的通行能力量化標(biāo)準(zhǔn)已寫入相關(guān)規(guī)范以指導(dǎo)收費(fèi)車道數(shù)計(jì)算。對于復(fù)式收費(fèi)車道的通行能力，現(xiàn)有文獻(xiàn)給出了一些研究方法和結(jié)果。譚國賢[1]利用廣東省數(shù)個收費(fèi)站服務(wù)時間的觀察值，統(tǒng)計(jì)出復(fù)式和單式收費(fèi)方式下服務(wù)時間的數(shù)學(xué)期望和方差，相比較得出采用復(fù)式收費(fèi)其車道的通行能力要比單亭收費(fèi)增加40%左右（各收費(fèi)站結(jié)果略有不同）。李昕[2]通過鄭州機(jī)場收費(fèi)站的現(xiàn)場調(diào)查數(shù)據(jù)，計(jì)算出采用復(fù)式收費(fèi)模式的入口車道的通行能力增加了26.9%， 出口車道的通行能力增加了46.7%。采用實(shí)際觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析具有數(shù)據(jù)來源真實(shí)、準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)，但由于收費(fèi)員服務(wù)水平、大車比例、駕駛員習(xí)慣等因素影響，其適應(yīng)性不高。諶海軍等[3]基于元胞自動機(jī)對串行收費(fèi)站布設(shè)方式的通行能力進(jìn)行建模與仿真，計(jì)算出道單亭至5亭復(fù)式收費(fèi)車道的通行能力。崔洪軍等[4]采用時間驅(qū)動（即前一事件的結(jié)束作為后一事件的開始）的方法，模擬了收費(fèi)通道服務(wù)3000列隊(duì)車輛時，不同收費(fèi)亭數(shù)對車輛逗留時間的影響，結(jié)果顯示不多于5亭時，平均逗留時間隨著收費(fèi)亭的增加而減少；多于5亭時，平均逗留時間增加。這些模擬計(jì)算，都將車輛通過收費(fèi)車道的過程分解幾個分過程（如駛?cè)?、停車接受服?wù)、加速離開）等，并對每個分過程分別進(jìn)行了模擬，車輛總的逗留時間即由這幾個分過程花費(fèi)的時間組成，事實(shí)上也是將車輛在收費(fèi)站接受服務(wù)的時間進(jìn)行分析，只是采用了仿真模型輸出的仿真結(jié)果作為分析的數(shù)據(jù)來源，雖然由此給出了復(fù)式收費(fèi)通行能力的計(jì)算結(jié)果，但車輛到達(dá)和多車輛之間相互影響的規(guī)律仍然缺乏理論依據(jù)。

復(fù)式收費(fèi)方式的通行能力不是單式收費(fèi)的簡單疊加，采用實(shí)際觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)又具有局限性，已有研究沒有給出普遍適用的理論計(jì)算值。該文在單式收費(fèi)的排隊(duì)論模型基礎(chǔ)上，對復(fù)式收費(fèi)的完整過程進(jìn)行建模，計(jì)算出復(fù)式收費(fèi)方式對單式收費(fèi)通行能力提高的比率，作為收費(fèi)亭數(shù)選擇的依據(jù)。

1 基于隨機(jī)過程的收費(fèi)站設(shè)計(jì)理論基礎(chǔ)

高速公路收費(fèi)站通行能力研究的基礎(chǔ)與前提是利用數(shù)學(xué)方法來描述交通流的具體特征，在研究上最早采用的是概率論， 其后出現(xiàn)了跟馳理論、流體力學(xué)理論和車隊(duì)排隊(duì)理論。在高速公路收費(fèi)站通行能力研究中，主要采用概率論和車隊(duì)排隊(duì)理論。

收費(fèi)站設(shè)計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)理論是排隊(duì)論。排隊(duì)論假設(shè)收費(fèi)站服務(wù)的交通流的到達(dá)流為泊松流，即在T時間內(nèi)到達(dá)收費(fèi)站的車輛數(shù)為k的概率為[5]：

p

其中為平均到達(dá)時間。

基于以上理論，可以判斷車輛到達(dá)收費(fèi)站符合以下條件：（1）隨機(jī)到達(dá)；（2）車輛的到達(dá)率與時間的長度成正比；（3）車輛到達(dá)的概率不受以前的車輛到達(dá)的影響。

此時車輛的服務(wù)時間x服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，x的平均值即為x的數(shù)學(xué)期望，根據(jù)負(fù)指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望性質(zhì)可得：

E（x）

因此即為車輛的平均服務(wù)時間。

2 復(fù)式收費(fèi)通行能力計(jì)算

2.1 復(fù)式收費(fèi)通行能力通式

設(shè)復(fù)式收費(fèi)亭數(shù)為n，在本次研究提出的復(fù)式收費(fèi)模式下，每n輛車為一組計(jì)算其總的平均服務(wù)時間。n輛車的服務(wù)時間分別服從參數(shù)為u的負(fù)指數(shù)分布，其分布函數(shù)分別表示為：，，，：

在該收費(fèi)模式下，n輛車必須全部完成收費(fèi)服務(wù)離去后，后面的車輛才能行進(jìn)至島頭位置的收費(fèi)亭接受服務(wù)，因此n輛車總的服務(wù)時間等于其中服務(wù)時間最長的一輛車的服務(wù)時間。問題轉(zhuǎn)化為求M=Max（）的分布，進(jìn)而求出該分布的數(shù)學(xué)期望。

根據(jù)概率論中相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量的最值分布計(jì)算方法，

其概率密度函數(shù)為

該式可看作n個負(fù)指數(shù)分布的和，根據(jù)負(fù)指數(shù)分布的特性，幾個獨(dú)立的負(fù)指數(shù)分布的隨機(jī)變量的和還是一個服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量，利用負(fù)指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望特性，分別求其期望并求和得：

因此在不考慮由于收費(fèi)亭增加，車輛需增加收費(fèi)車道行駛距離的前提下，n亭復(fù)式收費(fèi)模式下，n車輛總的平均服務(wù)時間為。

2.2 兩亭復(fù)式收費(fèi)通行能力計(jì)算

首先討論兩亭復(fù)式收費(fèi)模式的通行能力。在上述復(fù)式收費(fèi)模式下（即不考慮由于增加收費(fèi)亭而增加了收費(fèi)車道長度），利用通式計(jì)算出每兩輛車為一組的總平均服務(wù)時間為：

因此在兩亭復(fù)式收費(fèi)模式下，兩車輛總的平均服務(wù)時間為。

針對收費(fèi)站出口服務(wù)時間，目前常用的設(shè)計(jì)指標(biāo)采用18 s，后續(xù)計(jì)算以此為基礎(chǔ)進(jìn)行。如果在設(shè)計(jì)時采用其他數(shù)據(jù)，也可按照下述方法進(jìn)行計(jì)算。

通常在兩亭復(fù)式收費(fèi)模式下，收費(fèi)島要加長，單車的平均服務(wù)時間在單式收費(fèi)的基礎(chǔ)上，還要加上多行駛兩亭之間距離的時間。假設(shè)兩亭之間距離為10米，車輛的時速為10公里，10米的距離行駛時間為3.6 s。本次研究對這一時間作為常量對待，即單車的平均服務(wù)時間延長為21.6 s。則兩輛車總的平均服務(wù)時間為：

平均到每輛車，即為32.4/2=16.2 s。

針對同一收費(fèi)廣場，單式收費(fèi)模式和兩亭復(fù)式收費(fèi)模式相比，車輛在收費(fèi)廣場內(nèi)通過的總距離是一定的，也就是說，在單式收費(fèi)模式下，車輛也要通過上復(fù)式收費(fèi)時兩亭之間的10 m距離，只是此時由于前面無收費(fèi)亭，收費(fèi)島也較短，因此車速提升要快一些。收費(fèi)廣場內(nèi)通常按20 km時速進(jìn)行車速控制，本文采用這一數(shù)據(jù)計(jì)算單式收費(fèi)時車輛通過10 m距離所花費(fèi)的時間，即1.8 s。則單式收費(fèi)時單車平均服務(wù)時間為19.8 s。

在同等服務(wù)水平下，收費(fèi)站通行能力和平均服務(wù)時間之間的關(guān)系為：

T1/T2=V2/V1

由此得到本文設(shè)定的兩亭復(fù)式收費(fèi)模式的通行能力與單式收費(fèi)的通行能力的關(guān)系為

V復(fù)= V單×19.8/16.2=1.22V單

這說明在同等服務(wù)水平下，本文設(shè)定的兩亭復(fù)式收費(fèi)模式的通行能力是單式收費(fèi)通行能力的1.22倍。

2.3 多亭復(fù)式收費(fèi)通行能力計(jì)算

在三亭復(fù)式收費(fèi)模式下，收費(fèi)亭之間間距為10 m，總距離為20 m，單車的平均服務(wù)時間在單式收費(fèi)的基礎(chǔ)上，還要加上多行駛20 m的時間為7.2 s，則單車的平均服務(wù)時間延長為25.2 s。三輛車總的平均服務(wù)時間為：

平均到每輛車，即為46.2/3=15.4 s。

單式收費(fèi)時車輛通過20m距離所花費(fèi)的時間為3.6 s，則單式收費(fèi)時單車平均服務(wù)時間為21.6 s。

在同等服務(wù)水平下，本文設(shè)定的三亭復(fù)式收費(fèi)模式的通行能力是單式收費(fèi)通行能力的1.40倍。

以上計(jì)算過程應(yīng)用到四亭、五亭模式，總結(jié)結(jié)果如表1所示。

3 結(jié)果分析

從表1可以看出，復(fù)式收費(fèi)模式下，收費(fèi)亭的增加必然提升收費(fèi)站的通行能力。但通行能力的提升并不是隨著亭數(shù)的增加而成比例增長的，而是隨著收費(fèi)亭數(shù)的增加而逐漸減緩增速。該結(jié)果反映了單通道多服務(wù)臺模型下，前車的服務(wù)時間對后車可能會造成延誤，這也與實(shí)際情況是相符的。

上一節(jié)給出了不同亭數(shù)復(fù)式收費(fèi)模式下，通行能力相對單式收費(fèi)的提高程度。從計(jì)算的過程可以看出，在復(fù)式收費(fèi)模式下，計(jì)算結(jié)果將受到收費(fèi)站出口服務(wù)時間標(biāo)準(zhǔn)值的影響，即該值越高，其在總的服務(wù)時間中所占的比例越高，那么計(jì)算出的復(fù)式收費(fèi)相對單式收費(fèi)通行能力的倍數(shù)越高，反之則收費(fèi)亭的增加對通行能力的提升效果降低。這就要求在設(shè)計(jì)過程中，針對采用的不同出口服務(wù)時間進(jìn)行本文所介紹的計(jì)算，以獲取適用的通行能力數(shù)據(jù)。

4 結(jié)論

該文基于收費(fèi)站的排隊(duì)論模型，將單式收費(fèi)模型擴(kuò)展到復(fù)式收費(fèi)模式，并計(jì)算出2亭至5亭復(fù)式收費(fèi)模式下，收費(fèi)站通行能力相對單式收費(fèi)的提高效果。結(jié)果反應(yīng)了復(fù)式收費(fèi)模式下，多車輛同時通過收費(fèi)車道時的完整過程。該文介紹的計(jì)算過程作為理論計(jì)算方法，具有一定的普適性，可以應(yīng)用到不同情況的收費(fèi)站收費(fèi)車道設(shè)計(jì)中。

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