李強(qiáng)

反例，通常是指符合某個(gè)數(shù)學(xué)命題條件，但不符合該命題結(jié)論的例子，在教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)匾氲湫偷姆蠢?，能給學(xué)生深刻的印象，這對理解數(shù)學(xué)概念，掌握數(shù)學(xué)方法，培養(yǎng)探索能力，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，喚起數(shù)學(xué)美感，都將起很大的作用.

然而舉反例并不是一件容易的事，有時(shí)甚至比證明一個(gè)命題是真命題更難. 本文結(jié)合教學(xué)實(shí)例，談?wù)劮蠢慕虒W(xué)功能及構(gòu)造方法.

一、 反例的教學(xué)功能

1. 有利于深刻理解數(shù)學(xué)概念

概念的反例，提供了最有利于辨別的信息，可以進(jìn)一步使學(xué)生對所學(xué)概念進(jìn)行反思，達(dá)到“去偽存真”的效果.

例1 教學(xué)“正多邊形”的概念.

有些學(xué)生認(rèn)為，邊相等或角相等就是正多邊形，這是受正三角形概念的影響，教學(xué)中，若能及時(shí)地引入“角相等→矩形；邊相等→菱形”這樣的反例，就能消除這種負(fù)遷移. 為了加深理解，還可用下列判斷題組考查學(xué)生.

① 圓內(nèi)接等邊多邊形是正多邊形？

② 圓內(nèi)接等角多邊形是正多邊形？反例：矩形.

③ 圓內(nèi)切等邊多邊形是正多邊形？反例：菱形.

④ 圓外切等角多邊形是正多邊形？

⑤ 既有一個(gè)內(nèi)切圓，又有一個(gè)外接圓的多邊形是正多邊形？反例：非等邊的三角形.

2. 有利于全面掌握數(shù)學(xué)定理

恰當(dāng)引入反例，可以幫助學(xué)生牢記定理的關(guān)鍵詞語，得到全面掌握的效果.

例2 教學(xué)“垂徑定理及其推論”.

垂徑定理推論之一：平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分這條弦所對的兩條弧. 其中“非直徑”三字，很多學(xué)生視而不見，為此，教師可舉反例“兩條斜交的直徑”來強(qiáng)調(diào).

垂徑定理推論之二：圓的兩條平行弦所夾的弧相等. 在具體的證題過程中，很多學(xué)生總是想當(dāng)然地逆用：圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩弦平行. 卻不知這個(gè)逆命題不成立，教學(xué)中可舉反例：同圓兩條直徑所夾的弧相等，但它們相交，而不平行.

3. 有利于準(zhǔn)備應(yīng)用公式

很多性質(zhì)、法則都是以公式的形式出現(xiàn)的，它們也都有一定的成立條件，教學(xué)中要充分利用反例，嘗試“增解”和“漏解”的錯(cuò)誤，達(dá)到準(zhǔn)確應(yīng)用公式的目的.

例3 教學(xué)“等比性質(zhì)”.

4. 有利于培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)思維，挖掘探究潛能

通過例4的探究求解，學(xué)生便會“吃一塹，長一智”，從而培養(yǎng)了他們思維的嚴(yán)謹(jǐn)性. 讓我們再看兩個(gè)例子.

例4 覆蓋三角形的最小圓是什么？

學(xué)生一般會籠統(tǒng)地認(rèn)為是這個(gè)三角形的外接圓. 教師可引導(dǎo)學(xué)生分類去探究，便會發(fā)現(xiàn)以鈍角三角形的最大邊為直徑的圓，才是覆蓋這個(gè)鈍角三角形最小的圓. 從而使學(xué)生深深地感覺到：凡事要周密思考，嚴(yán)防以偏概全.

5. 有利于激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)

美國數(shù)學(xué)家比爾鮑姆說得好：“一個(gè)數(shù)學(xué)問題用一個(gè)反例予以解決，給人的刺激猶如一出好的戲劇，使人得到享受和興奮，為數(shù)學(xué)作出的許多最優(yōu)雅的例子證實(shí)了這一點(diǎn).”我們再看：

例5 現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育家G.波利亞曾向人們提出一個(gè)饒有趣味的問題：“若兩個(gè)三角形有5對元素相等，則這兩個(gè)三角形全等嗎？”

當(dāng)5對元素中有3對元素是邊，毫無疑問，這兩個(gè)三角形全等.

6. 有利于發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)成果

和數(shù)學(xué)證明一樣，數(shù)學(xué)反例在數(shù)學(xué)的發(fā)展中占有重要地地位，因?yàn)閷τ跀?shù)學(xué)問題的探究，反例的作用是證明所無法替代的，用反例否定猜想，揭示矛盾，能刺激問題的深入研究，促使數(shù)學(xué)觀念更新.

二、構(gòu)造反例的方法

托爾斯泰曾說：“知道地球是圓的并不重要，重要的是人們怎樣得到這個(gè)結(jié)果的. ”反例在教學(xué)中的作用固然巨大，會令人終生難忘，但學(xué)生更想知道反例是怎樣構(gòu)造出來的.

1. 從特殊情況入手，探究嘗試

反例的構(gòu)造，沒有“公式化”方法，而是要不斷地試探和驗(yàn)證，有時(shí)還需要一點(diǎn)靈感，前面的反例就說明了這一點(diǎn)，但我們通常構(gòu)造反例，還是從特殊情況入手，有時(shí)甚至極端化.

2. 打破思維定式，窮盡各種可能

司馬光砸缸救小孩的故事，充分說明了求異思維的重要性，打破思維定式，窮盡各種可能，是構(gòu)造反例的又一途徑.

提到三角形，我們常想起銳角三角形，有時(shí)候也要注意鈍角三角形. 三角形的高，我們常畫在形內(nèi)，有時(shí)候也可以在形外. 類似地，圓心可在兩弦之間，也可在兩弦同旁；公共弦可以在兩圓心之間，也可在兩圓心同側(cè)……這些都是我們解題時(shí)需要窮盡的可能，也都是我們構(gòu)造反例的入手點(diǎn).

在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，與正面推理證明相比，數(shù)學(xué)反例對學(xué)生思維的刺激更為強(qiáng)烈. 因此，教師常在教學(xué)關(guān)鍵時(shí)刻，巧用簡明的數(shù)學(xué)反例，往往可以擊中學(xué)生思維誤區(qū)的要害，促使他們深入思考問題，透徹理解問題的本質(zhì).