濮志強(qiáng)

不等式恒成立問(wèn)題一直是高考的熱點(diǎn)，涉及恒成立問(wèn)題中的求參變量的取值范圍更是一個(gè)難點(diǎn).其中涉及一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像、性質(zhì)，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用.基于此，下文試對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的幾種方法做一下提煉總結(jié).

1.構(gòu)造函數(shù)法

所謂構(gòu)造函數(shù)，就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，然后利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.這里，我們主要介紹如何通過(guò)構(gòu)造一次函數(shù)、二次函數(shù)模型，并利用它們的性質(zhì)來(lái)確定參數(shù)的取值范圍.

（1） 構(gòu)造一次函數(shù)

例1對(duì)于滿(mǎn)足|p|≤2的所有實(shí)數(shù)p，求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范圍.

解由題意得x-1p+x2-2x+1>0對(duì)于|p|≤2恒成立，設(shè)f（p）=x-1p+x2-2x+1，則f（p）在[-2，2]上恒大于0，故有：

f（-2）>0，

f（2）>0.

即x2-4x+3>0，

x2-1>0，

解得：x>3或x<1，

x>1或x<-1.

∴實(shí)數(shù)x的取值范圍為x<-1或x>3.

注：本題對(duì)于一切p≤2不等式恒成立，因此應(yīng)視p為主元，視x為參數(shù)，把不等式左邊變成關(guān)于p的一次函數(shù)型.

（2） 構(gòu)造二次函數(shù)

例2對(duì)于θ∈0，π2，cos2θ+2msinθ-2m-2<0恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍.

解 原不等式變形為：-sin2θ+2msinθ-2m-1<0，

即sin2θ-2msinθ+2m+1>0.

令sinθ=t，t∈0，1，

∴t2-2mt+2m+1>0.

令ft=t2-2mt+2m+1，

∴ 題意為ft>0在t∈0，1上恒成立.

∴--2m2×1<0，f0=2m+1>0

或0≤--2m2×1≤1，Δ=-2m2-42m+1<0

或--2m2×1>1，g1=1-2m+2m+1>0.

解得：-121.

∴m>-12.

即m的取值范圍為：-12，+∞.

一般地，利用構(gòu)造函數(shù)法來(lái)確定不等式f（x，λ）≥0，（x∈D，λ為實(shí)參數(shù)）恒成立中參數(shù)取值范圍的基本步驟：

（1） 構(gòu)造函數(shù)，即化為f（x）≥0（或f（x）≤0）的形式；

（2） 求f（x）在x∈D時(shí)的最大（或最?。┲?，其中f（x）是一個(gè)含有參量的函數(shù)，求得的最值是一個(gè)含有參量的表達(dá)式；

（3） 解不等式f（x）min≥0（或f（x）max≤0）得λ的取值范圍.

用此種方法適用于易構(gòu)造函數(shù)、含參函數(shù)的最值能求出的題型.

2.分離變量法

所謂分離變量法也就是將參量與變量分離于表達(dá)式的兩邊，然后根據(jù)變量的取值范圍情況決定參量的范圍.這種方法可避免分類(lèi)討論的麻煩，使問(wèn)題得到簡(jiǎn)單明快地解決.

例3已知當(dāng)x∈R時(shí)，不等式a+cos2x<5-4sinx+5a-4恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解原不等式即：4sinx+cos2x<5a-4-a+5.

令 f（x）=4sinx+cos2x，要使上式恒成立，只需f（x）max<5a-4-a+5.

∵f（x）=4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2sinx-12+3≤3，

∴5a-4-a+5>3，即5a-4>a+2，

上式等價(jià)于a-2≥2，

5a-4≥0，

5a-4>（a-2）2，

或a-2<0，

5a-4≥0，

解得：45≤a<8.

一般地，利用分離變量法來(lái)確定不等式恒成立中參數(shù)取值范圍的基本步驟：（1）將參數(shù)與變量分離；（2）求函數(shù)在定義域上的最大（或最?。┲担唬?）解不等式，即得參量的取值范圍.這種方法首先要看能否分離，其次看分離后能否求最值，另外要注意分離變量并不一定是將變量單獨(dú)分離出來(lái)，有時(shí)候可以分離出僅含有參量的代數(shù)式.

3.判別式法

例4對(duì)于函數(shù)f（x），若存在x0∈R使f（x0）=x0成立，則稱(chēng)x0為f（x）的不動(dòng)點(diǎn)，已知函數(shù)f（x）=ax2+b+1x+b-1，（a≠0）.若對(duì)任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍.

解由題意知，方程ax2+b+1x+b-1=x即ax2+bx+b-1=0恒有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，即Δ=b2-4ab+4a>0對(duì)于b∈R恒成立.

于是Δ=-4a2-16a<0，解得：0

判別式法主要用于解決與一元二次不等式有關(guān)或可以轉(zhuǎn)化為一元二次不等式在R上的恒成立問(wèn)題.

4.數(shù)形結(jié)合法

例5設(shè)f（x）=x2-2ax+2，當(dāng)x∈[-1，+∞）時(shí)，都有f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍.

解設(shè)F（x）=f（x）-a=x2-2ax+2-a.

（?。┊?dāng)Δ=4（a-1）（a+2）<0即-2

（ⅱ）當(dāng)Δ=4（a-1）（a+2）≥0即a≤-2或a≥1時(shí)，由圖可得以下充要條件：

Δ≥0，f（-1）≥0，

--2a[]2≤-1，

即（a-1）（a+2）≥0，

a+3≥0，

a≤-1.

解得：-3≤a≤-2.

綜合可得a的取值范圍為[-3，1].

例6當(dāng)x∈1，2時(shí)，不等式x-12

解設(shè)y1=x-12，y2=logax，則要使得不等式y(tǒng)11，并且必須也只需當(dāng)x=2時(shí)y2的函數(shù)值大于等于y1的函數(shù)值.

故a>1loga2≤1，解得：1

數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)問(wèn)題的常見(jiàn)思想方法，故而我們可以將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題來(lái)處理，通過(guò)圖像來(lái)求解.

確定恒成立不等式中參數(shù)的取值范圍需靈活應(yīng)用函數(shù)與不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，并時(shí)常要在兩者間進(jìn)行合理的交匯.以上幾種確定參量范圍的方法各有其適用的條件，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件（主要是不等式的特征）選用恰當(dāng)、有效的方法.