祁偉 嚴(yán)興杰

【摘要】結(jié)合教學(xué)中的體會(huì)，從無(wú)窮小量與無(wú)窮大量之間的相互關(guān)系入手，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)無(wú)窮小量與無(wú)窮大量.學(xué)會(huì)利用二者之間的關(guān)系，解決一些實(shí)際問(wèn)題，達(dá)到提高教學(xué)質(zhì)量的目的.

【關(guān)鍵詞】無(wú)窮大量；無(wú)窮小量

【基金項(xiàng)目】中國(guó)礦業(yè)大學(xué)2012年青年教師校級(jí)教學(xué)改革資助項(xiàng)目（2001245）.

一、前言

不論是在《高等數(shù)學(xué)》還是在《數(shù)學(xué)分析》中，都把無(wú)窮小量與無(wú)窮大量當(dāng)作重點(diǎn)內(nèi)容介紹，這是因?yàn)榇瞬糠謨?nèi)容為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)提供了基礎(chǔ)，例如用等價(jià)無(wú)窮小替換求極限、判定級(jí)數(shù)的收斂性等.從教材的編排上看，《高等數(shù)學(xué)》和《數(shù)學(xué)分析》中都是先講無(wú)窮小量，后講無(wú)窮大量.但是對(duì)無(wú)窮的概念的認(rèn)識(shí)過(guò)程看，人類(lèi)是先認(rèn)識(shí)無(wú)窮大，后認(rèn)識(shí)無(wú)窮小.所以在文獻(xiàn)[1]中，作者按照人們認(rèn)識(shí)無(wú)窮的進(jìn)程，提出了自己的觀點(diǎn)，認(rèn)為先認(rèn)識(shí)清楚無(wú)窮大，再認(rèn)識(shí)無(wú)窮小.教材中這樣安排，主要都是考慮教學(xué)的目的.

相對(duì)于無(wú)窮小與無(wú)窮大的比較，一般的教材中都講無(wú)窮小的比較，在求極限時(shí)可以用等價(jià)無(wú)窮小代替等.在文獻(xiàn)[2]中，作者給出了無(wú)窮大的比較.在求極限的過(guò)程中，同樣可以用等價(jià)無(wú)窮大相互之間替換求函數(shù)的極限.在文獻(xiàn)[3]中，作者闡述了無(wú)窮小的哲學(xué)問(wèn)題，指出了人們對(duì)無(wú)窮小認(rèn)識(shí)的一些錯(cuò)誤，提出了正確的觀點(diǎn)，證明了認(rèn)識(shí)無(wú)窮小的過(guò)程是符合實(shí)踐——認(rèn)識(shí)——再實(shí)踐——再認(rèn)識(shí)的自然辯證法.

從教科書(shū)和一些文獻(xiàn)中，我們能很清楚地認(rèn)識(shí)無(wú)窮大量和無(wú)窮小量及其性質(zhì)，也能解決一些實(shí)際問(wèn)題.但我們不能把二者割裂開(kāi)來(lái)獨(dú)立地去認(rèn)識(shí).現(xiàn)有的教材中只輕描淡寫(xiě)地說(shuō)無(wú)窮大量和無(wú)窮小量符合倒數(shù)關(guān)系，先講無(wú)窮小量，無(wú)窮大量的所有結(jié)論利用二者之間的倒數(shù)關(guān)系可以得到.這就使得學(xué)生產(chǎn)生一種誤解，認(rèn)為認(rèn)識(shí)了無(wú)窮小量，就等于認(rèn)識(shí)了無(wú)窮大量，而不會(huì)利用二者之間的關(guān)系靈活解決實(shí)際問(wèn)題.本論文正是從解決上述問(wèn)題出發(fā)，利用無(wú)窮大量和無(wú)窮小量之間的關(guān)系進(jìn)一步認(rèn)識(shí)二者，從而能更好地解決在實(shí)際應(yīng)用中的一些問(wèn)題.目的是改正教學(xué)過(guò)程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤和打消學(xué)生的疑惑，提高教學(xué)質(zhì)量，這也符合人們認(rèn)識(shí)自然的實(shí)踐、認(rèn)識(shí)、再實(shí)踐、再認(rèn)識(shí)的自然辯證法.