申貝貝

【摘要】應用線性回歸建立輸出量與輸入量之間的函數(shù)模型，并采用反向分析法，在確定輸出量的情況下，分析輸入量允許的偏差范圍及具體操作過程.使用拉普拉斯變換及反變換對控制系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)的微分方程進行推算，從而得出預設變量之間的函數(shù)模型，進而為問題的解決找到突破口.

【關鍵詞】線性回歸；反向分析；拉普拉斯變換

在探索兩個量之間存在何種關系時，經(jīng)常采用的方法是，由這兩個量為有序實數(shù)對，建立它們的散點分布圖，通過散點的分布估計這兩個量之間的關系.如果散點分布整體上呈現(xiàn)一次線性方程的趨勢，即所統(tǒng)計的散點沿一條直線分布時，就可以使用線性回歸方程，建立兩變量之間的一次函數(shù)模型.在此，觀測記錄輸出水溫T和輸入量閥門旋轉角α，應用線性回歸建立輸出量與輸入量之間的函數(shù)模型，并采用反向分析法，在確定輸出量的情況下，分析輸入量允許的偏差范圍及具體操作過程.

假設100℃的熱水和5℃的冷熱水按體積1∶1的比例混合輸出時，水溫應在52.5℃，但因多種因素的影響，輸出水溫在55℃，此時需要調節(jié)冷水閥，增加冷水的輸入.若對照輸出水溫顯示器，發(fā)現(xiàn)在增加熱水時，水溫又降低，低于52.5℃，則應停止增加冷水，開始調節(jié)熱水閥，增加熱水的輸入.若增加的熱水量相當之前輸入冷水的量，很可能溫度又回復到55℃，因此為了減少反復調節(jié)，在第一次輸入冷水時，就有所控制地增加冷水量，同樣，在第二次輸入熱水時，應對照增加的冷水控制參數(shù)來控制熱水的輸入量.其中對于冷熱水的調節(jié)環(huán)節(jié)，采用旋轉閥門來進行.順時針旋轉增加熱水的輸入量，逆時針旋轉增加冷水的輸入量.因此，閥門旋轉的角度大小，直接表示輸出水溫的大小.接下來探索旋轉角α和輸出水溫T之間的關系，建立函數(shù)模型T=T（α）.

旋轉角α和輸出水溫T之間的函數(shù)關系是T=a+bα（a，b為待定常數(shù)）.觀察（α，T）樣本，記錄樣本點：（α1，T1），（α2，T2），（α3，T3），…，（αn，Tn），在直角坐標系αOT下描出每個樣本點的散點圖，如圖1所示.

由上述線性回歸方程和誤差e的概率分布所得到的分析結果顯示，當旋轉角α在區(qū)間α--3σ，α-+3σ范圍內取值時，獲得溫度為T的水.根據(jù)這一分析結果，設計一條反向分析思路：先確定輸出水溫目標值T，再進一步探索影響旋轉角α輸出區(qū)域的各種因素.將每一種因素作為自變量，建立以旋轉角α為因變量的數(shù)學模型.在此以下面的自動控制系統(tǒng)為例來說明這一設計思路.

圖 2例：編輯如圖2所示的轉速ω（或旋轉角θ）控制系統(tǒng)微分方程及各環(huán)節(jié)微分方程，分析在輸出水溫T一定的情況下，導致旋轉角α存在取值區(qū)間[α--3σ，α-+3σ]的因素.輸入量ur經(jīng)過兩個運算放大器和一個功率放大器，輸入電動機電壓ua和等效的電機轉軸上的負載轉矩Mc，輸出量是轉速ω（或旋轉角θ）.

解題及分析：

第一，建立電動機處的微分方程，獲得輸入電壓ua關于輸出轉速ω之間的函數(shù)模型ua=f（ω）.從而也可以分析轉速ω由電壓ua引起的變化函數(shù)f-1（ua）.

根據(jù)系統(tǒng)的流程分析圖3，輸入量是ua，輸出量是ω，擾動量是Mc.

電動機回路方程為：ua=Ladiadt+Raia+ea.（2）

其中ea是反電勢，ea=caω.電機通電后產(chǎn)生轉矩M=cmia，由牛頓定理可得機械轉動方程Jdωdt=M-Mc.經(jīng)過整理可得系統(tǒng)的微分方程為：

Ta·Tmd2ωdt+Tmdωdt+ω=Kuua-KmTadMcdt+Mc.（3）

其中Ta=LaRa，Tm=RaJcecm，Ku=1ce，Km=Racecm.

通常Ta非常小，可以忽略不計，即在Ta=0時，系統(tǒng)的微分方程可以進一步簡化為：Tmdωdt+ω=Kuua-KmMc.（4）

或者將（4）式進一步表達成以電動機旋轉角θ為輸出的微分方程：

Tmd2θdt2+dθdt=Kuua-KmMc.（5）

這樣就進入反向分析的第一個入口，轉速ω（或旋轉角θ）與電壓ua之間的關系，因此，下一步要尋找功率放大器之前的電路元件電壓u1，u2與ua之間的函數(shù)模型，也就是系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的微分方程.

第二，建立各環(huán)節(jié)的微分方程，通過各元件電壓的函數(shù)關系，消去中間變量，推出ω～ur之間的函數(shù)關系式.

系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的微分方程依次為ua=K1u2，u2=K2（τu1·+u1），u1=K3（ur-uf），uf=Kfω，且ur為輸入量.結合第一步中所得到的電動機的微分方程（2）式，通過消去各中間變量，推出ω～ur之間的關系式：

Tm+τK01+K0ω·+ω=K1+K0（τur·+ur）-KmMc.（6）

其中K=K1K2K3Kf，K0=K3Kf.

對（6）式使用拉普拉斯變換，推出系統(tǒng)傳遞函數(shù)H（S），再利用卷積性質求出輸出量ω在復數(shù)域的拉普拉斯變換函數(shù)，最后使用拉普拉斯反變換，求出ω在時域內的輸出函數(shù)：

ω（t）=C1K（Tm-τ）Tm+τK0e1+K0Tm+τK0·t·ur-C2Km（1+K0）Tm+1+（1+τ）K0·Mc

=mect·ur+nMc.（7）

其中m=C1K（Tm-τ）Tm+τK0，n=C2Km（1+K0）Tm+1+（1+τ）K0，c=1+K0Tm+τK0.

這樣就找到反向分析的第二個入口，轉速ω（通過輸入量ur）與時間t建立起來的聯(lián)系.同時，明確輸出量ω受電源電壓輸入量ur和擾動量Mc等因素的影響.

第三，通過反饋電壓uf與輸入電壓ur形成的偏差ue=ur-uf，建立ω～ue關系式，

找出使得旋轉角α存在取值區(qū)間的原因.

反饋電壓uf與輸入電壓ur形成的偏差ue稱為系統(tǒng)偏差，通過消去各環(huán)節(jié)中間變量的方式，同樣可以建立ω～ue的函數(shù)關系式：

Tmω·+ω=KK23τue·+Kue-KmMc.（8）

在假設不存在擾動量Mc的作用下，對上式使用拉普拉斯變換，求出輸出量ω在復數(shù)域的拉普拉斯變換函數(shù)，最后使用拉普拉斯反變換，求出ω在時域內的輸出函數(shù)ω1（t）=K（τ+K3）K3Tme-tTm·ue.在只受擾動量Mc的作用下，令ue=0，對上式再次使用拉普拉斯變換，求出輸出量ω在復數(shù)域的拉普拉斯變換函數(shù)，同樣使用拉普拉斯反變換，求出ω在時域內的又一個輸出函數(shù)ω2（t）=KmMc（e-tTm-1），最后根據(jù)疊加原理確定ω（t）=c1ω1（t）+c2ω2（t），（其中c1，c2為任意常數(shù)）.

結合以上結論，又由dθdt=ω，所以旋轉角θ是轉速函數(shù)ω（t）在時域上的積分，即θ=∫ω（t）dt，當t=T時，θ（T）是一個受積分限決定的值，而α=θ（T）.由于輸出量ω受電源電壓輸入量ur和擾動量Mc的影響，反饋電壓uf與輸入電壓ur形成的偏差ue=ur-uf，若假設ue=0，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，那么ω以一個恒常數(shù)輸出；若系統(tǒng)偏差ue不總等于0，且是關于t的函數(shù)，則在ω（t）所在的時域內總存在輸出旋轉角θ的偏差，從而導致旋轉角α=θ（T）在[α--3σ，α-+3σ]這個區(qū)間范圍內取值，且當t=T時，α=θ（T）=∫ω（t）dt=∫[c1ω1（t）+c2ω2（t）]dt，由之前的分析這個積分結果是關于電源電壓輸入量ur和擾動量Mc的表達式.

因此，若期望在ue不總等于0，旋轉角α=θ（T）在[α--3σ，α-+3σ]這個區(qū)間范圍內取值時，通過系統(tǒng)調節(jié)盡快在穩(wěn)定狀態(tài)下得到輸出量T，就需要對系統(tǒng)偏差ue進行消除，即調節(jié)電源電壓輸入量ur的穩(wěn)定性和消除擾動量Mc.這樣就通過預設變量之間的函數(shù)模型，找出解決問題的途徑.

【參考文獻】

[1]石瑞平.基于一元回歸分析模型的研究[D].河北科技大學，2009.

[2]向崢嶸.區(qū)間系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制的完整性設計[J].系統(tǒng)工程與電子技術，2002（10）.