周衍琪　劉靜頤　王越

一、前言

回歸模型是統(tǒng)計(jì)學(xué)中發(fā)展較早、理論豐富深厚且應(yīng)用性強(qiáng)的統(tǒng)計(jì)模型。由于實(shí)際解決問題的需要，回歸模型一直是處于不斷的發(fā)展、進(jìn)步之中，由參數(shù)回歸模型到非參數(shù)回歸模型，上個(gè)世紀(jì)后期又興起了半?yún)?shù)回歸模型。

參數(shù)回歸模型有形式Y(jié)i=f（Xi；β）+εi，i=1，2，...，n，f為已知函數(shù)，β為未知的有限維參數(shù)，εi為均值為0的隨機(jī)誤差。該模型最重要的是f是已知函數(shù)，但實(shí)際應(yīng)用中，不能給出一個(gè)已知的函數(shù)，所以參數(shù)模型在實(shí)際中有模型設(shè)定的誤差。為了減少模型偏差，、提出非參數(shù)回歸模型：設(shè)響應(yīng)變量Y是隨機(jī)變量，協(xié)變量X是隨機(jī)變量或非隨機(jī)變量。給定隨機(jī)樣本xi，yi，1≤i≤n，可建立回歸模型：yi=m（xi）+εi，i=1，2，…n，其中m（.）是未知的回歸函數(shù)，εi為隨機(jī)誤差。但當(dāng)協(xié)變量X的維數(shù)增加時(shí)，多元非參數(shù)回歸估計(jì)的精度下降很快，為了克服這種問題，提出了降維模型--半?yún)?shù)回歸模型。

接下來本文主要討論的是半?yún)?shù)模型中一類很重要的模型--部分線性模型，通過查閱大量文獻(xiàn)資料，研究了各個(gè)學(xué)者在部分線性模型中所做的工作，接下來本文就以文獻(xiàn)綜述的形式一一闡述，首先介紹該模型是怎么提出的，然后將從統(tǒng)計(jì)推斷和大樣本性質(zhì)這兩個(gè)部分闡述各統(tǒng)計(jì)學(xué)家都做了哪些工作。

二、模型的提出

Engle等（1986）在研究電力與氣候環(huán)境之間的關(guān)系時(shí)給出了部分線性模型，模型為：

Yi=βT0Xi+g（Ui）+εi，i=1，2，…，n，

其中β0是p維參數(shù)向量，g（.）是未知函數(shù)。模型由兩部分構(gòu)成：第一部分βT0Xi表示Yi與Xi是線性關(guān)系；第二部分g（Ui）表明Yi與Ui是未知的非線性關(guān)系。如果使用非參數(shù)回歸來處理，將會(huì)失去Yi與Xi線性關(guān)系的信息，從而導(dǎo)致估計(jì)值存在較大的偏差，如果用參數(shù)回歸來擬合，一般不能有好的估計(jì)。

三、部分線性模型的統(tǒng)計(jì)推斷及大樣本性質(zhì)的文獻(xiàn)綜述

（1）國(guó)外研究狀況。Robinson（1988）在非參數(shù)分量g（.）取N-W核估計(jì)時(shí)，構(gòu)建參數(shù)部分β0的加權(quán)最小二乘估計(jì)和非參數(shù)g（.）的估計(jì)g∧（.），在一些必要的條件下，分析了的漸近正態(tài)性和g∧（.）的收斂速度。同年Speckman（1988）采用參數(shù)化形式Wγ逼近非參數(shù)分量g（.），然后用最小二乘法構(gòu)造β0的估計(jì)，同樣研究了該估計(jì)量的漸近性質(zhì)。還有一些作者使用光滑樣條方法構(gòu)造了β0和g（.）的估計(jì)量。Heckman（1986）在Xi和Ui獨(dú)立的情況下研究了β0的懲罰最小二乘估計(jì)的相合性和漸近正態(tài)性。 Cuzick（1992）利用漸近估計(jì)方程來估計(jì)參數(shù)，且證明估計(jì)量的n相合性。Hamilton和Truong（1997）采用局部線性回歸給出了各未知量估計(jì)，證明漸近正態(tài)性。Mammen和van de Geer（1997）應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)過程理論給出了參數(shù)的懲罰擬似然，并推導(dǎo)漸近性質(zhì)。Xue等（2004）提出了sieve極大似然估計(jì)，證明了參數(shù)估計(jì)的強(qiáng)相合性和漸近正態(tài)性，得到了非參數(shù)估計(jì)最優(yōu)收斂速度。Ma等（2006）研究了異方差的部分線性回歸模型，構(gòu)造了未知量相合估計(jì)，證明了參數(shù)的估計(jì)是半?yún)?shù)有效的且具有漸近正態(tài)性。Dabo-Niang和Guillas（2010）研究了具有自回歸誤差的部分線性模型，構(gòu)造了未知量估計(jì)量，并證明估計(jì)量的相合性和漸近正態(tài)性。

Severini和Staniswalis（1994）與H？rdle等（1998）研究了模型的推廣形式：廣義部分線性模型。估計(jì)β0和g（.），Severini和Staniswalis（1994）引進(jìn)了擬似然估計(jì)方法，該方法有類似于似然函數(shù)的性質(zhì)，但僅需指定Y的二階矩而不是完全分布。Boente等（2006）對(duì)廣義部分線性模型構(gòu)造了穩(wěn)健估計(jì)量，并證明了參數(shù)估計(jì)的n相合性和漸近正態(tài)性。

（2）國(guó)內(nèi)研究狀況。洪圣巖（1991）用最近鄰和最小二乘方法定義了估計(jì)量，證明了參數(shù)估計(jì)的漸近正態(tài)性，非參數(shù)估計(jì)的最優(yōu)收斂速度。Shi（1992）用分段多項(xiàng)式逼近得到了β0 和g（.）的穩(wěn)健M估計(jì)和g∧（.），證明了漸近正態(tài)性，得到了和g∧（.）的弱收斂速度。洪圣巖和趙忠柏（1993）用核和最小二乘定義了估計(jì)量，證明了參數(shù)分量的漸近正態(tài)性，并得到了非參數(shù)的最優(yōu)收斂速度。柴根象和徐克軍（1999）與錢偉民和柴根象（1999）將小波方法引入，建立了回歸未知量小波估計(jì)，證明了好的大樣本性質(zhì)，并討論了誤差方差的小波估計(jì)及其漸近性質(zhì)。

以上為國(guó)內(nèi)外的專家學(xué)者在隨機(jī)點(diǎn)列（設(shè)計(jì)點(diǎn)列Xi，Ui，1≤i≤n是隨機(jī)的）下對(duì)部分線性模型主要的研究成果，其他的很多研究工作大家可以參考相關(guān)文獻(xiàn)。

四、總結(jié)

本文按時(shí)間順序羅列了對(duì)部分線性模型在設(shè)計(jì)點(diǎn)列為隨機(jī)的時(shí)候的相關(guān)文獻(xiàn)，給出了各文獻(xiàn)研究的主要內(nèi)容，主要是對(duì)模型的參數(shù)部分和非參數(shù)部分運(yùn)用各種方法進(jìn)行估計(jì)，并驗(yàn)證了這些估計(jì)的一些大樣本性質(zhì)。（作者單位：云南大學(xué)）

參考文獻(xiàn)：

[1] Robinson P M. 1998. Root-n-consistent semiparametric regression. Econometrika，56：931～954

[2] Speckman P.1988. Kernel smoothing in partial linear models. Journal of the Royal Statistical Society， Series B， 50：413～436

[3] Heckman N.1986. Spline smoothing in a partly linear model. Journal of the Royal Statistical Society，Series B， 48：244～248

[4] Cuzick J.1992. Semiparametric additive regression. Journal of the Royal Statistical Society，Series B，54（3）：831～843

[5] Hamilton S A，Truong Y K.1997. Local linear estimation in party linear models. Journal of Multivariate Analysis，60：1～19

[6] Mammen E，van de Geer S. 1997. Penalized quasi-likelihood estimation in partial linear models. The Annals of Statisticals，25：1014～1035

[7] Xue H Q， Lam K F， Li G Y.2004. Sieve maximum likelihood estimator for semiparametric regression models with current status data. Journal of the American Statistical Association，99（466）：346～356

[8] Ma Y Y，Chiou J M，Wang N.2006. Efficient semiparametric estimator for heteroscedastic partially linear models. Biometrika，93（1）：75～84

[9] Dabo-Niang S， Guillas S.2010. Functional semiparametric partially linear model with autoregressive errors. Journal of Multivariate Analysis，101（2）：307～315

[10] Severini T A，Staniswalis J G. 1994. Quasilikelihood estimation in semiparametric models. Journal of the American Statistical Association，89：501～511

[11] Boente G， He X M，Zhou J H.2006. Robust estimates in generalized partially linear models. The Annals of Statisticals，34（6）：2856～2878

[12] Shi P D.1992. Mstimation for partly Linear Models. Ph D Thesis， Institute of Systems Science， Chinese Academy of Sciences，Beijing，P R China

[13] 洪圣巖.1991.一類半?yún)?shù)回歸模型的估計(jì)理論.中國(guó)科學(xué)，A輯，21（21）：1258～1271

[14] 洪圣巖，趙忠柏.1993.偏線性模型的核～-最小二乘估計(jì)法的漸近性質(zhì).數(shù)學(xué)年刊，14A（6）：717～731

[15] 柴根象，徐克軍.1999.半?yún)?shù)回歸的線性小波光滑.應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，15（1）：97～105

[16] 錢偉民，柴根象.1999.半?yún)?shù)回歸模型小波估計(jì)的強(qiáng)逼近.中國(guó)科學(xué)，29（3）：233～240