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作圖問題

2015-05-30 10:48:04張景中
關(guān)鍵詞:干的事尺規(guī)圓規(guī)

張景中

同學(xué)們 對(duì)尺規(guī)作圖問題了解多嗎?

經(jīng)過多年的艱苦探索,數(shù)學(xué)家證明了所謂“三大作圖難題”實(shí)際上是三個(gè)“不可能用尺規(guī)完成的作圖題”。

舊的問題解決了,數(shù)學(xué)家又提出了改變作圖規(guī)則之后的作圖問題。

一個(gè)方向是放寬限制,比如:直尺上有了刻度,又能干些什么?又如:設(shè)計(jì)出能畫別的曲線的儀器,能把任意角三等分的儀器,使作圖法變得更加豐富而實(shí)用,

相反的方向是加強(qiáng)限制,比如:幾何里講的直尺理論上可以任意長(zhǎng),圓規(guī)的半徑也可以任意大,你可以從北京到上海連一條線段,也可以以蘭州為圓心,畫一條穿過南京的圓弧,可實(shí)際上,我們用的圓規(guī)和直尺都很小,小圓規(guī)和短直尺能不能干大圓規(guī)和長(zhǎng)直尺所干的事呢?

經(jīng)過研究,答案是肯定的,長(zhǎng)直尺和大圓規(guī)能干的事,短直尺和小圓規(guī)也能干,

當(dāng)然,小圓規(guī)畫不出大半徑的圓弧來(lái),不過,數(shù)學(xué)家看的是關(guān)鍵之點(diǎn),幾何作圖的關(guān)鍵之點(diǎn)是定點(diǎn),凡是用大圓規(guī)和長(zhǎng)直尺確定的某些點(diǎn),用小圓規(guī)和短直尺也能把它確定出來(lái),這就表明小圓規(guī)和短直尺并不遜色!

更有趣的是,1797年意大利數(shù)學(xué)家馬斯羅尼發(fā)現(xiàn):只要用一把小圓規(guī),就能完成一切由直尺和圓規(guī)聯(lián)合起來(lái)所能干的事,這個(gè)發(fā)現(xiàn)引起了數(shù)學(xué)家的很大興趣,后來(lái)又知道,丹麥人摩爾在1697年已發(fā)現(xiàn)了這回事,不過沒引起當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家的注意罷了。

那么,只用一把直尺行不行呢?數(shù)學(xué)家很快證明了:只用一把直尺能作的圖,少得可憐,但是,只要在平面上預(yù)先畫好一個(gè)圓和它的圓心,便可以用直尺完成一切能由圓規(guī)和直尺完成的任務(wù)。

限制尺規(guī)作圖的故事,似乎是到此為止了,已經(jīng)限制到這種程度了,再加限制,還能干些什么呢?

意料之外的事發(fā)生了,沉寂了多年的尺規(guī)作圖的舞臺(tái)上,演出了精彩的一幕,

這一幕的主角是幾位中國(guó)人,揭幕人卻是一位著名的美國(guó)幾何學(xué)家,年逾七旬的老教授佩多,

佩多敏銳地看出,固定半徑的圓規(guī)的作圖問題,可能隱藏著有趣的奧秘,他把這種固定半徑的圓規(guī)形象地叫作“生銹圓規(guī)”。為了方便,不妨設(shè)這種“生銹圓規(guī)”只能畫半徑為1的圓。

佩多精心選擇了兩個(gè)問題,在加拿大的一份雜志上征求解答。

問題之一:已知兩點(diǎn)A、B,只用一把“生銹圓規(guī)”。能不能找出一點(diǎn)C,使AC=BC=AB?

問題之二:已知兩點(diǎn)A、B,只用一把“生銹圓規(guī)”,能不能找出線段AB的中點(diǎn)C?(要知道,線段AB是沒有畫出來(lái)的,因?yàn)闆]有直尺?。?/p>

后來(lái)的事態(tài)發(fā)展表明,正是這兩個(gè)問題的解決,使“生銹圓規(guī)”作圖的園地繁花怒放。

責(zé)任編輯:胡云志

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