范陽濤，汪民樂，文苗苗，陳大雷

（1．第二炮兵工程大學(xué)，陜西西安710025；2．第四軍醫(yī)大學(xué)唐都醫(yī)院，陜西西安710038）

基于螢火蟲算法-層次分析法的彈道導(dǎo)彈突防效能分析

范陽濤1，汪民樂1，文苗苗2，陳大雷1

（1．第二炮兵工程大學(xué)，陜西西安710025；2．第四軍醫(yī)大學(xué)唐都醫(yī)院，陜西西安710038）

針對(duì)彈道導(dǎo)彈攻防對(duì)抗復(fù)雜、影響因素多的特點(diǎn)，系統(tǒng)地描述評(píng)估指標(biāo)體系的構(gòu)建方法和原則，建立了導(dǎo)彈突防效能評(píng)估指標(biāo)體系。使用螢火蟲算法-層次分析法（firefly algorithm-analytic hierarchy process，F(xiàn)A-AHP），將判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)問題歸結(jié)為非線性組合優(yōu)化問題，解決了判斷矩陣一致性檢驗(yàn)和計(jì)算AHP中各要素的排序權(quán)值問題。算法性能和算例分析初步證明，F(xiàn)A-AHP直觀、實(shí)用，計(jì)算結(jié)果穩(wěn)定、精度高，在系統(tǒng)工程中具有推廣應(yīng)用價(jià)值。

突防效能；指標(biāo)體系；螢火蟲算法；層次分析法

0 引 言

彈道導(dǎo)彈作為信息化條件下高技術(shù)武器，憑借其飛行速率快、作戰(zhàn)距離遠(yuǎn)、突防能力強(qiáng)等特點(diǎn)，長期以來一直是各軍事強(qiáng)國重點(diǎn)發(fā)展和研制的對(duì)象。然而，隨著反導(dǎo)防御系統(tǒng)的迅速發(fā)展，導(dǎo)彈攻防對(duì)抗矛盾日益加劇，導(dǎo)彈突防過程中的復(fù)雜性、不確定性因素日益增多，也大大增加了導(dǎo)彈突防效能評(píng)估的難度［1-2］。

在研究過程中，影響彈道導(dǎo)彈突防效能因素比較多，實(shí)際上導(dǎo)彈突防效能研究就轉(zhuǎn)化成多屬性決策問題。對(duì)于具有多屬性的導(dǎo)彈作戰(zhàn)決策研究，必須準(zhǔn)確計(jì)算出各影響因素的權(quán)重系數(shù)［3］。層次分析法（analytic hierarchy process，AHP）于20世紀(jì)70年代初提出，是在實(shí)際工程應(yīng)用中將定性和定量分析綜合，幫助人類大腦決策過程被數(shù)學(xué)化、模型化。AHP將系統(tǒng)內(nèi)部要素根據(jù)之間的關(guān)聯(lián)性區(qū)分為層次結(jié)構(gòu)，使研究對(duì)象簡單清楚，比較適用于復(fù)雜系統(tǒng)工程預(yù)測、評(píng)估、控制等任務(wù)的量化研究［4-6］。隨著AHP理論研究的深入，已在經(jīng)濟(jì)、軍事、教育、醫(yī)療建設(shè)等方面得到廣泛應(yīng)用，是解決當(dāng)前復(fù)雜系統(tǒng)工程問題重要的途徑之一。

長期以來，判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)問題是AHP在工程實(shí)踐應(yīng)用研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。文獻(xiàn)［6- 7］提出了加速遺傳層次分析法，將傳統(tǒng)的判斷矩陣一致性檢驗(yàn)轉(zhuǎn)化為優(yōu)化組合問題，但該算法存在早熟的缺點(diǎn)，從而影響了最優(yōu)值的精確性；文獻(xiàn)［8］提出了分布估計(jì)算法，在記錄的協(xié)方差矩陣基礎(chǔ)上，需求取Cholesky分解，求解過程較為繁雜；文獻(xiàn)［9］提出了模擬退火層次分析法（simulated annealing-AHP，SAAHP），SA-AHP是一種基于金屬退火機(jī)理的隨機(jī)尋優(yōu)算法，能通過隨機(jī)搜索技術(shù)從概率意義上找出目標(biāo)函數(shù)的全局最小點(diǎn)，但是算法收斂速度較慢，而且以概率形式容易出現(xiàn)“差”的最優(yōu)解；文獻(xiàn)［10］提出了粒子群層次分析法（particle swarm optimization-AHP，PSO-AHP），但PSO算法易受參數(shù)影響，早熟收斂且收斂速度比較慢，穩(wěn)定性不高?？傮w上說，這些算法存在的主要問題是算法參數(shù)多、求解過程復(fù)雜、收斂速度慢、對(duì)判斷矩陣一致性檢驗(yàn)不能保證是最優(yōu)值。為此，基于文獻(xiàn)［11- 12］闡述的螢火蟲算法（firefly algorithm，F(xiàn)A）的基礎(chǔ)上，提出了螢火蟲算法 層次分析算法（FAAHP），從全局對(duì)判斷矩陣的一致性進(jìn)行檢驗(yàn)，對(duì)AHP中各要素的排序權(quán)值進(jìn)行全局最優(yōu)求解，實(shí)現(xiàn)算法參數(shù)少、求解簡單、收斂速度快的目的。

1 FA-AHP

1.1 算法原理

FA-AHP是在模擬螢火蟲的群體行為基礎(chǔ)上，將判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)問題歸結(jié)為非線性組合優(yōu)化問題，利用FA進(jìn)行求解的一類隨機(jī)優(yōu)化算法。其核心思想是：按照指標(biāo)體系中各要素的關(guān)聯(lián)度，建立層次結(jié)構(gòu)模型。通過對(duì)各要素進(jìn)行兩兩對(duì)比分析，得到各層次的判斷矩陣。根據(jù)判斷矩陣一致性檢驗(yàn)的條件，推導(dǎo)出非線性組合優(yōu)化函數(shù)，然后利用FA對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解及權(quán)重的計(jì)算。

1.2 算法描述

基于層次分析法理論和FA的優(yōu)化流程，給出FAA HP的導(dǎo)彈突防效能評(píng)估步驟。步驟［13-15］如下：

步驟1 把決策問題分成遞進(jìn)層次，建立層次結(jié)構(gòu)模型。找出與決策問題所關(guān)聯(lián)的主要因素，將這些因素按照目標(biāo)層、準(zhǔn)則層、指標(biāo)層進(jìn)行分類。一般而言，目標(biāo)層A為能力評(píng)估的總目標(biāo)，只有一個(gè)要素；準(zhǔn)則層B、指標(biāo)層C分別由不同的n個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)構(gòu)成。

步驟2 要素兩兩對(duì)比，得到各層次判斷矩陣。根據(jù)建立的評(píng)估指標(biāo)體系，通過每一層各因素之間對(duì)上一層因素影響進(jìn)行兩兩比較。為了得到量化后每一層的判斷矩陣，依據(jù)心理學(xué)關(guān)于人們對(duì)于信息等級(jí)的區(qū)分，采用1～9層和其倒數(shù)的判斷尺度對(duì)各評(píng)估要素之間的重要性進(jìn)行量化。例如，準(zhǔn)則層B的判斷矩陣為B＝（bij）n×n，其中元素bij是要素Bi和Bj的重要性比較的結(jié)果。同理，可以得出指標(biāo)層C的判斷矩陣C＝（cij）m×m。

步驟3 建立目標(biāo)函數(shù)。

定義1 設(shè)判斷矩陣A＝（aij）n×n，若矩陣元素滿足以下條件：①aij＞0（i，j＝1，2，3，…，n）；②aii＝1（i＝1，2，3，…，n）；③aij＝1／aji（i，j＝1，2，3，…，n），則稱A＝（aij）n×n為正互反判斷矩陣。

若互反判斷矩陣滿足完全一致性，則

若判斷矩陣A中元素aij由式（1）精確計(jì)算得到，那么判斷矩陣A滿足一致性，于是有

由于實(shí)際問題的復(fù)雜性以及人們對(duì)于事物的認(rèn)識(shí)上存在多樣性和不確定性，所以沒有精確和統(tǒng)一的判斷準(zhǔn)則來量化要素的重要性，也就是對(duì)于wi／wj不能進(jìn)行精確的度量。而判斷矩陣的一致性程度主要取決于決策者對(duì)于每一層要素精確度量的程度，這就證明了在系統(tǒng)工程應(yīng)用中判斷矩陣一致性檢驗(yàn)是關(guān)鍵的環(huán)節(jié)。因此，在實(shí)踐應(yīng)用中，判斷矩陣必須進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，以確保結(jié)果可靠性。

顯然，式（3）左端反映了判斷矩陣的一致性程度。當(dāng)左端的值無限小并且接近0，則判斷矩陣的一致性程度就越高，反之，判斷矩陣的一致性程度越低。因此，可以利用如下組合優(yōu)化問題表達(dá)判斷矩陣一致性檢驗(yàn)問題：

式中，CIF（n）為非線性優(yōu)化函數(shù)，也被稱為一致性指標(biāo)函數(shù)（consistent index function，CIF）；wk（k＝1，2，…，n）為優(yōu)化變量；其余符號(hào)同前。實(shí)際上，判斷矩陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，就是對(duì)一致性指標(biāo)函數(shù)CIF（n）進(jìn)行優(yōu)化，以求得的最小值，使判斷矩陣一致性程度最高。所以，CIF（n）函數(shù)可以作為FA中的目標(biāo)函數(shù)。

步驟4 各判斷矩陣的單排序權(quán)值計(jì)算及一致性檢驗(yàn)。利用FA［16］，根據(jù)建立的評(píng)估指標(biāo)層次體系，分層求解步驟3中建立的目標(biāo)函數(shù)CIF（n），F(xiàn)A具體實(shí)施流程如圖1所示。

圖1 螢火蟲算法流程圖

當(dāng)函數(shù)CIF（n）計(jì)算結(jié)果小于某一值時(shí)，判斷矩陣具有滿意的一致性，據(jù)此計(jì)算的wk是可以接受的。反之，不斷修改判斷矩陣，直到具有滿意的一致性為止，然后重新計(jì)算wk值。

步驟5 評(píng)估要素總排序及其一致性檢驗(yàn)。按照從最高層到最底層順序，逐層確定B、C層對(duì)于A層要素的排序權(quán)值，檢驗(yàn)判斷矩陣的一致性。這里，B層各要素的單排序權(quán)值和一致性指標(biāo)函數(shù)CIF（n）就是B層總排序權(quán)值和總排序一致性指標(biāo)函數(shù)，計(jì)算方法與步驟4描述方法相同，主要區(qū)別在于計(jì)算C層各要素的總排序權(quán) 值為wAi＝總排序一致性指標(biāo)函數(shù)為CIFA（m）

當(dāng)CIFA（m）計(jì)算結(jié)果小于某一值時(shí)，判斷矩陣具有滿意的一致性，C層各要素的總排序權(quán)值wAi是可以接受的；反之，不斷修改相關(guān)判斷矩陣，直到具有滿意的一致性為止，然后計(jì)算wAi值。

步驟6 確定評(píng)價(jià)要素的權(quán)重值，計(jì)算效能評(píng)估值。把C層各要素的總排序權(quán)值作為指標(biāo)最終權(quán)值，通過加權(quán)乘積法計(jì)算出效能評(píng)估數(shù)值，為作戰(zhàn)決策提供依據(jù)。

2 彈道導(dǎo)彈突防效能指標(biāo)體系構(gòu)建

2.1 指標(biāo)體系構(gòu)建原則

構(gòu)建彈道導(dǎo)彈突防效能評(píng)估指標(biāo)體系關(guān)鍵在于指標(biāo)對(duì)突防效能所起的影響，即指標(biāo)的靈敏性變化。立足于彈道導(dǎo)彈突防效能一體化綜合評(píng)估思想，運(yùn)用定性、定量相結(jié)合的方法，從系統(tǒng)分析角度出發(fā)，建立科學(xué)的彈道導(dǎo)彈突防效能多屬性評(píng)估指標(biāo)體系。同時(shí)，指標(biāo)體系構(gòu)建也是一個(gè)動(dòng)態(tài)的、不斷完善的過程，需要經(jīng)過多次反饋確定［17］。其構(gòu)建過程如圖2所示。

圖2 指標(biāo)體系構(gòu)建過程

2.2 突防效能指標(biāo)體系

從彈道導(dǎo)彈突防過程的物理描述中可以看出，彈道導(dǎo)彈的突防過程實(shí)際上是進(jìn)攻導(dǎo)彈與反導(dǎo)系統(tǒng)相互對(duì)抗的過程［3，18］。這種對(duì)抗又可以進(jìn)一步分解成3種對(duì)抗：隱身與發(fā)現(xiàn)的對(duì)抗、識(shí)別與反識(shí)別的對(duì)抗、摧毀與反摧毀的對(duì)抗。因此，彈道導(dǎo)彈突防效能評(píng)價(jià)指標(biāo)體系如表1所示。

表1 彈道導(dǎo)彈突防效能評(píng)估指標(biāo)體系

3 算例分析

3.1 數(shù)值計(jì)算

以表1所示突防效能指標(biāo)體系為基礎(chǔ)，邀請(qǐng)本專業(yè)專家對(duì)彈道導(dǎo)彈突防效能評(píng)價(jià)指標(biāo)兩兩相對(duì)性進(jìn)行判斷，分別得出相應(yīng)的判斷矩陣。根據(jù)FA-A HP，利用Matlab編寫計(jì)算機(jī)程序，對(duì)判斷矩陣一致性進(jìn)行檢驗(yàn)和權(quán)重系數(shù)計(jì)算。

這里，螢火蟲算法參數(shù)初始化設(shè)置為：螢火蟲算法中螢火蟲數(shù)m＝1 000，光強(qiáng)吸收系數(shù)γ＝1．0，最大吸引度β＝1．0，步長因子α＝0．02，迭代次數(shù)為500。計(jì)算結(jié)果如表2和表3所示。

表2 FA-AHP計(jì)算判斷矩陣元素權(quán)重的結(jié)果

表3 FA-AHP計(jì)算各指標(biāo)總排序權(quán)值

在文獻(xiàn)［3，19］中，關(guān)于評(píng)估指標(biāo)C1～C12的數(shù)值計(jì)算和量化都做了具體講解，這里不做過多闡述。因此，在得到指標(biāo)排序權(quán)重值和指標(biāo)效用值的基礎(chǔ)上，最終通過加權(quán)乘積法計(jì)算出導(dǎo)彈突防效能評(píng)估數(shù)值。

3.2 仿真分析

為了檢驗(yàn)FA-AHP算法的有效性，分別使用特征值法（eigenvalue method，EM）、粒子群算法-層次分析法（PSO- AHP）、SA-AHP算法對(duì)判斷矩陣A、B1進(jìn)行一致性檢驗(yàn)和權(quán)重計(jì)算，分析算法的收斂性和穩(wěn)定性，計(jì)算結(jié)果和仿真結(jié)果分別如表4、圖3及圖4所示。分析表4、圖3及圖4數(shù)據(jù)，可以得出如下結(jié)果：

（1）對(duì)于判斷矩陣A、B1一致性檢驗(yàn)CIF，F(xiàn)A-AHP計(jì)算結(jié)果均小于0．01，PSO-A HP、SA-AHP、EM計(jì)算結(jié)果均大于0．01，前者計(jì)算結(jié)果明顯優(yōu)于后三者計(jì)算結(jié)果，并且結(jié)果之間差距較大；

（2）FA-AHP計(jì)算各要素排序權(quán)值是在（0，1）內(nèi)進(jìn)行快速、準(zhǔn)確的優(yōu)化求解，與PSO-AHP、SA-AHP、EM相比，求解精度高、計(jì)算結(jié)果穩(wěn)定、收斂速度快，具有滿意的一致性。

表4 判斷矩陣（A、B1）元素權(quán)重計(jì)算結(jié)果

圖3 判斷矩陣A的CIF仿真圖

4 算法性能分析

4.1 靈敏度分析

FA-AHP把排序權(quán)值和判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)結(jié)合起來，在搜索求解wk的基礎(chǔ)上，計(jì)算出目標(biāo)函數(shù)CIF（n）最小值，結(jié)果穩(wěn)定可靠。以FA-AHP算法優(yōu)化求解判斷矩陣B2權(quán)重值和CIF（n）值，證明FA-AHP算法的穩(wěn)定性。

圖4 判斷矩陣B1的CIF仿真圖

定義2 設(shè)擾動(dòng)參數(shù)為a，bij為判斷矩陣B2上三角元素值，在［bij－abij，bij＋abij］∩［1／9，9］范圍內(nèi)隨機(jī)生成n個(gè)新bij，bji＝1／bij為判斷矩陣B2下三角元素值，產(chǎn)生n個(gè)B2的擾動(dòng)判斷矩陣。其中，a是［0，1］上服從均勻分布的隨機(jī)因子。

隨后，用FA-AHP算法分別對(duì)原判斷矩陣B2和n個(gè)擾動(dòng)判斷矩陣進(jìn)行優(yōu)化求解，數(shù)值進(jìn)行比較分析，結(jié)果如表5所示。

在表5中，當(dāng)擾動(dòng)參數(shù)a分別取值為0.3，0.5，n取值為50時(shí)，50個(gè)擾動(dòng)判斷矩陣的CIF值均小于0.01，這些矩陣都具有滿意一致性。從表5中分析，擾動(dòng)參數(shù)a取值為0.3，0.5的條件下，由FA-AHP算法計(jì)算擾動(dòng)判斷矩陣與原來判斷矩陣B2排序值得到的結(jié)果比較接近，證明了FAAHP算法具有穩(wěn)定性，計(jì)算結(jié)果可靠。

4.2 計(jì)算精度分析

測試條件：利用Matlab編程模擬出1～7階的正互反判斷矩陣，各構(gòu)造100個(gè)判斷矩陣，分別計(jì)算各階判斷矩陣的CIF（n）值。

測試工具：分別使用FA-AHP、PSO-AHP、SA-AHP算法進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如表6、圖5所示。

表5 _判斷矩陣B2的FA-AHP計(jì)算結(jié)果靈敏度分析

表6 計(jì)算結(jié)果對(duì)比

圖5 2～7階數(shù)判斷矩陣CIF結(jié)果對(duì)比

（1）分析表6中的數(shù)據(jù)，從宏觀角度上可以看出，使用PSO-AHP、SA-AHP計(jì)算1～7階判斷矩陣CIF結(jié)果的區(qū)間精度（約0．05～0．07）大于使用FA-A HP計(jì)算的結(jié)果區(qū)間精度（約0．03～0．04），F(xiàn)A-AHP計(jì)算的結(jié)果約為42%～57%，數(shù)值小于前兩者計(jì)算的結(jié)果，表明FA-A HP算法精算精度更高。

（2）分析圖5中的數(shù)據(jù)，從微觀角度可以看出，當(dāng)矩陣為2～3階矩陣時(shí)，PSO-AHP、SA-AHP與FA-AHP計(jì)算結(jié)果的絕對(duì)誤差為0～0．03之間，當(dāng)矩陣為4～7階矩陣時(shí)，PSO-AHP、SA-AHP與FA-AHP計(jì)算結(jié)果的絕對(duì)誤差逐漸增大，為0～0．055之間。這也表明，使用FA-AHP計(jì)算n（n＞4）階判斷矩陣CIF結(jié)果精度高、穩(wěn)定性強(qiáng)。

5 結(jié)束語

本文從導(dǎo)彈攻防對(duì)抗角度出發(fā)，系統(tǒng)地研究彈道導(dǎo)彈突防效能評(píng)估指標(biāo)體系構(gòu)建原則，描述出評(píng)估指標(biāo)體系建立過程，準(zhǔn)確反映了體系與指標(biāo)之間靈敏度關(guān)系。基于FA-AHP算法，將判斷矩陣一致性檢驗(yàn)過程轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化求解問題，并精準(zhǔn)地計(jì)算出評(píng)估體系中各評(píng)估要素權(quán)重系數(shù)。通過算例分析表明，F(xiàn)A-AHP算法計(jì)算簡便、結(jié)果穩(wěn)定、精度較高，在彈道導(dǎo)彈突防效能評(píng)估中具有可行性和適用性。

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Analysis of ballistic missile penetration effectiveness based on FA-AHP

FAN Yang-tao1，WANG Min-le1，WEN Miao-miao2，CHEN Da-lei1
（1.The Second Artillery Engineering University，Xi’an 710025，China；2.Tangdu Hospital，The Fourth Military Medical University，Xi’an 710038，China）

For the complex relation and lots of influences of ballistic missile offense-defense，this paper systematically describes the construction of the evaluation index system method and principle，and scientifically constructs a missile penetration effectiveness evaluation index system．In view of the analytic hierarchy process（AHP）existing problem in the application，the firefly algorithm（FA）is used to optimize AHP and the FAAHP is put forward．The judgment matrix consistency check problem comes down to a non-liner combination optimization problem，and the judgment matrix consistency check and sort weighting of each element are solved．Algorithm performance and example analysis preliminarily prove that FA-AHP is intuitive and practical，and the result is stable and highly precise，with popularization and application value in system engineering．

penetration effectiveness；index system；firefly algorithm（FA）；analytic hierarchy process（AHP）

TJ 76

A

10．3969／j．issn．1001-506X．2015．04．19

范陽濤（1985-），男，博士研究生，主要研究方向?yàn)閷?dǎo)彈武器系統(tǒng)作戰(zhàn)效能評(píng)估建模與仿真、人工智能。E-mail：fanwenmiaomiao＠163．com

汪民樂（1964 ），男，教授，博士研究生導(dǎo)師，博士，主要研究方向?yàn)橛?jì)算智能、決策理論、航空武器效能分析、導(dǎo)彈武器作戰(zhàn)運(yùn)籌。E-mail：wangminle866＠sohu．com

文苗苗（1984-），女，碩士，主要研究方向?yàn)樯锬M。E-mail：wenmiao963＠sina．com

陳大雷（1985-），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)閷?dǎo)彈武器作戰(zhàn)運(yùn)籌。E-mail：4933892＠qq．com

1001-506X（2015）04-0845-06

2014- 04- 03；

2014- 06- 28；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2014- 08- 20。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http：／／w ww．cnki．net／kcms／detail／11．2422．TN．20140820．1731．004．html

國家社會(huì)科學(xué)基金（12GJ003- 155）資助課題