羅天洪，黃世福，陳 才，劉 淼，董紹江

(重慶交通大學(xué) 機(jī)電與車輛工程學(xué)院，重慶400074)

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基于空間變形梁的柔性機(jī)械臂剛-柔耦合動(dòng)力學(xué)模型研究

羅天洪，黃世福，陳 才，劉 淼，董紹江

(重慶交通大學(xué) 機(jī)電與車輛工程學(xué)院，重慶400074)

針對作大范圍空間運(yùn)動(dòng)的機(jī)械臂，提出了基于變形旋量理論的工業(yè)機(jī)器人機(jī)械臂剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)建模方法；研究了機(jī)械臂空間變形耦合和扭轉(zhuǎn)變形對動(dòng)力學(xué)特性的影響；建立了作大范圍空間運(yùn)動(dòng)柔性機(jī)械臂的剛-柔耦合動(dòng)力學(xué)理論模型，該模型將機(jī)械臂應(yīng)用到空間范圍，并考慮扭轉(zhuǎn)變形的影響。對模型做計(jì)算仿真分析，將分析結(jié)果與傳統(tǒng)零次模型進(jìn)行比較。結(jié)果表明：作大范圍運(yùn)動(dòng)機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程的建立，旋量理論的應(yīng)用解決了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方法只限于平面運(yùn)動(dòng)的局限性；大范圍運(yùn)動(dòng)與機(jī)械臂變形之間的耦合，對于機(jī)械臂桿件和終端有一定的影響；計(jì)及變形耦合影響的機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)特性將發(fā)生變化，機(jī)械臂振動(dòng)頻率會提高。

機(jī)電工程；旋量理論；柔性機(jī)械臂；剛?cè)狁詈?；?dòng)力學(xué)模型

0 引 言

近年來，隨著世界工業(yè)技術(shù)的發(fā)展，工業(yè)機(jī)器人向著輕質(zhì)、重載、高精密方向快速發(fā)展，柔性機(jī)械臂也得到廣泛的應(yīng)用。柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型屬于剛-柔耦合動(dòng)力學(xué)模型，傳統(tǒng)的零次建模理論[1-3]是將柔性臂簡化為Euler-Bernoulli梁的方式進(jìn)行建模，沒有考慮作大范圍運(yùn)動(dòng)與機(jī)械臂柔性變形之間的耦合作用，因此動(dòng)力剛化現(xiàn)象的基礎(chǔ)上，圍繞作大范圍運(yùn)動(dòng)機(jī)械臂的剛-柔耦合動(dòng)力學(xué)模型，許多學(xué)者又進(jìn)行了研究。韓清鵬等[4]建立了剛-柔混合兩桿機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程，分別討論了在大范圍運(yùn)動(dòng)已知條件和未知條件下的機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)響應(yīng)；劉錦陽等[5-6]考慮縱向變形與軸向伸長量關(guān)系式中的二次耦合項(xiàng)，研究了柔性梁的剛-柔耦合問題，并對快速展開的空間機(jī)械臂進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模；J.Martins等[7]對單一柔性關(guān)節(jié)的機(jī)械臂建立了數(shù)學(xué)模型，通過考慮離心力剛化問題減少了非線性動(dòng)力的影響?？紫驏|等[8]從彈性變形的幾何非線性關(guān)系出發(fā)，考慮了柔體系統(tǒng)中機(jī)械臂在剛彈耦合作用下橫向彎曲變形產(chǎn)生的附加拉壓應(yīng)變引起的幾何非線性問題；鄧峰巖等[9]在柔性梁的縱向、橫向變形中均考慮了橫向彎曲變形的二次耦合項(xiàng)，對一雙連桿柔性機(jī)械臂建立了耦合動(dòng)力學(xué)方程。這些方法為一次耦合動(dòng)力學(xué)建模方法以及考慮了變形耦合對縱向和橫向同時(shí)影響，但均是將機(jī)械臂簡化為平面柔性梁的模型進(jìn)行建模分析，而將柔性機(jī)械臂置于空間范圍的耦合模型鮮有研究。

筆者將變形旋量理論運(yùn)用于機(jī)械臂剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)的分析中，將機(jī)械臂簡化為空間柔性梁，考慮其作大范圍的空間運(yùn)動(dòng)，采用一致質(zhì)量有限元法對梁進(jìn)行離散，在此基礎(chǔ)上，考慮機(jī)械臂大范圍運(yùn)動(dòng)與變形的相互耦合作用，建立耦合動(dòng)力學(xué)方程，并進(jìn)行數(shù)值仿真，分析了與傳統(tǒng)方法的差異。該分析方法可拓展到多連桿的機(jī)械臂，更好的揭示了作大范圍空間運(yùn)動(dòng)柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)特性。

1 作大范圍空間運(yùn)動(dòng)柔性梁的變形及運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

圖1 作大范圍空間運(yùn)動(dòng)的柔性梁

根據(jù)變形旋量理論[10],柔性梁在任意點(diǎn)k處的變形旋量可以表示為：

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：υx，υy，υz為與k對應(yīng)的梁中心軸上任意一點(diǎn)在局部坐標(biāo)系x，y，z方向的變形位移。

利用一致質(zhì)量有限元法對柔性梁進(jìn)行離散，設(shè)N1，N2，N3為形函數(shù)陣，q為獨(dú)立的總體變形位移陣，得：

υx=N1q，υy=N2q，υz=N3q

(5)

將式(5)代入式(2)～式(4)，可得到：

(6)

式中：

(7)

(8)

設(shè)A為局部坐標(biāo)系相對于慣性坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣，由圖1可得：

(9)

式(9)對時(shí)間t求導(dǎo)，得任意一點(diǎn)k在慣性坐標(biāo)系下的速度為：

(10)

式中：θ為局部坐標(biāo)系相對慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)角。

對于作大范圍空間運(yùn)動(dòng)的柔性梁，在考慮彎曲變形的同時(shí)，還需要考慮扭轉(zhuǎn)變形對空間梁的影響，即可用式(1)中的φ來表示，扭轉(zhuǎn)變形可利用Rayleigh-Ritz近似函數(shù)的形式表達(dá)[9]：

(11)

2 作大范圍空間運(yùn)動(dòng)柔性機(jī)械臂剛-柔耦合動(dòng)力學(xué)分析

2.1 系統(tǒng)模型的描述

作大范圍空間運(yùn)動(dòng)柔性機(jī)械臂的模型如圖2，機(jī)械臂由C1，C2，C3三部分組成，桿件C1的局部坐標(biāo)系與慣性坐標(biāo)系重合，三連桿的長度分別為L1，L2，L3，機(jī)械臂在空間范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)過程中，3根柔性臂產(chǎn)生柔性變形，與3個(gè)剛性關(guān)節(jié)產(chǎn)生剛?cè)狁詈系淖饔?，三連桿所擺動(dòng)的角度分別為θ1，θ2，θ3，質(zhì)量為M1，M2，M3，連接柔性臂的3個(gè)關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力矩分別為τ1，τ2，τ3。

圖2 作大范圍空間運(yùn)動(dòng)柔性機(jī)械臂模型

2.2 機(jī)械臂剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)方程的建立

根據(jù)式(9)和式(10)，機(jī)械臂第i桿上任一點(diǎn)的矢量以及速度在慣性坐標(biāo)系中可以有式(12)、式(13)表示：

(12)

(13)

因此該柔性機(jī)械臂的動(dòng)能可以表示為:

(14)

式中：Mi是無限小的梁單元的質(zhì)量矩陣。

根據(jù)圖2機(jī)械臂系統(tǒng)模型，分別分析桿件C1，C2，C3所產(chǎn)生的動(dòng)能，由于C1桿的局部坐標(biāo)系與慣性坐標(biāo)系重合，因此r01=0，旋轉(zhuǎn)矩陣A1為：

(15)

(16)

(17)

根據(jù)式(1)和式(11)，柔性機(jī)械臂的勢能可以表示為：

(18)

因此，Lagrange函數(shù)為：

(19)

根據(jù)Lagrange方程

(20)

將式(19)代入式(20)中，可得到該柔性機(jī)械臂剛-柔耦合動(dòng)力學(xué)方程

(21)

式中：M是系統(tǒng)慣性矩陣；B是系統(tǒng)廣義速度耦合項(xiàng)；K是系統(tǒng)廣義剛度矩陣；Q是廣義力矩陣。

式中：τi是關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩；Wi為廣義外力。

3 仿真分析

取柔性機(jī)械臂的各參數(shù)為：機(jī)械臂臂長L1=L2=L3=3m，密度ρ=2.7×103kg/m3，彈性模量E=6.895×1010Pa，截面面積為S=8×10-4m2，慣量矩陣Iyy=3.2×10-7m4，Izz=3.2×10-7m4，3個(gè)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩為：

τ1=215sin3(2πt)+62

τ2=125sin3(2πt)+40

τ3=75sin3(2πt)+15

柔性機(jī)械臂初始狀態(tài)為圖2所示的位置，分別用此耦合動(dòng)力學(xué)模型和傳統(tǒng)的零次模型，采用懸臂梁形式的邊界條件，根據(jù)前兩節(jié)所得理論結(jié)果及模型，編制VB語言程序，進(jìn)行數(shù)值仿真，比較了其剛性轉(zhuǎn)角，C1，C2機(jī)械臂一階振動(dòng)模態(tài)隨時(shí)間的變化，以及終端機(jī)械臂的y，z方向的變形位移，如圖3～圖5，其中虛線表示傳統(tǒng)的零次模型，實(shí)線表示該耦合動(dòng)力學(xué)模型。

由圖3可見，本文的模型對機(jī)械臂兩根連桿有一定的影響，而對于末端桿件影響更大，因此該模型說明多連桿機(jī)械臂的動(dòng)力分析有必要考慮大范圍運(yùn)動(dòng)和桿件變形之間的耦合作用。

圖3 轉(zhuǎn)角θ1，θ2，θ3隨時(shí)間的變化曲線

圖4 機(jī)械臂C1，C2的第1階模態(tài)隨時(shí)間的變化曲線

圖4可以看出，大范圍運(yùn)動(dòng)與變形產(chǎn)生的變形耦合對機(jī)械臂兩桿件振動(dòng)特性的影響，運(yùn)動(dòng)和變形的耦合使得機(jī)械臂的頻率提高。對于末端機(jī)械臂A3，圖5描述了其端點(diǎn)的變形位移，可以看出此模型相比于傳統(tǒng)模型有了誤差，在柔性機(jī)械臂考慮空間運(yùn)動(dòng)的影響下，扭轉(zhuǎn)變形也會對系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性產(chǎn)生較大影響。

圖5 機(jī)械臂C3端點(diǎn)y，z方向的變形位移

通過以上分析，柔性機(jī)械臂作大范圍運(yùn)動(dòng)和桿件變形之間的耦合效應(yīng)，對機(jī)械臂末端及頻率有著更大的影響。對于機(jī)械臂振動(dòng)的抑制，空間位置控制以及軌跡規(guī)劃方面的研究，該模型都具有很大的理論指導(dǎo)意義。

4 結(jié) 論

旋量理論主要用于集中參數(shù)模型的剛體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析以及動(dòng)力學(xué)，筆者將旋量理論擴(kuò)展應(yīng)用到作大范圍空間運(yùn)動(dòng)的柔性機(jī)械臂剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型分析中，結(jié)合變形旋量，計(jì)及大范圍運(yùn)動(dòng)和桿件變形之間耦合效應(yīng)以及變形耦合，并考慮了扭轉(zhuǎn)變形的影響，在對機(jī)械臂系統(tǒng)動(dòng)能和勢能分析的基礎(chǔ)上，建立了剛-柔耦合動(dòng)力學(xué)方程，最后進(jìn)行了數(shù)值仿真分析，得到以下結(jié)論：

1)旋量以及變形旋量的應(yīng)用，拓展了機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)研究的空間應(yīng)用范圍，此方法考慮了機(jī)械臂空間各方位的變化以及扭轉(zhuǎn)變形的影響，體現(xiàn)了剛-柔耦合效應(yīng)，更有利于研究作大范圍運(yùn)動(dòng)的機(jī)械臂。

2)機(jī)械臂大范圍運(yùn)動(dòng)與變形的耦合效應(yīng)，會影響機(jī)械臂的振動(dòng)特性，提高機(jī)械臂的頻率，對于末端執(zhí)行構(gòu)件的影響更大。傳統(tǒng)模型不能準(zhǔn)確反映其特性，該模型豐富了作大范圍運(yùn)動(dòng)的柔性機(jī)械臂的建模理論。

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Flexible Manipulator Rigid-Flexible Coupling Dynamic Model Based on Spatial Deformation Beam

Luo Tianhong, Huang Shifu, Chen Cai, Liu Miao, Dong Shaojiang

(School of Mechanical-Electrical & Automotive Engineering, Chongqing Jiaotong University, Chongqing 400074)

Aiming at the manipulator which did spatial motion in a large range, a rigid-flexible coupling dynamic modeling approach of the industrial robot manipulator based on deformation screw theory was proposed, and the influence of robotic spatial deformation coupling and torsional deformation on the dynamic characteristics was researched. The rigid-flexible coupling dynamic theory model of flexible manipulator in a wide range of spatial motion was established, and the model applied manipulator to the spatial extent. Considering the influence of torsional deformation, the calculation simulation analysis on the model was carried out and the analysis results were compared with those of the traditional zero order model. The results indicate that the establishment of large range motion manipulator dynamics equation and the application of screw theory solve the limitations that traditional mathematical methods are limited to planar motion; the coupling between large range motion and manipulator deformation has an impact on the manipulator rod and terminal; considering deformation coupling, the manipulator dynamics characteristics will change and the manipulator vibration frequency will increase.

electromechanical engineering; screw theory; flexible manipulator; rigid-flexible coupling; dynamics model

10.3969/j.issn.1674-0696.2015.04.35

2014-05-03；

2015-04-02

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51375519)

羅天洪(1975—)，男，四川資陽人，教授，博士后，主要從事機(jī)電液多領(lǐng)域仿真、數(shù)字化設(shè)計(jì)與分析方面的研究。E-mail：tianhong.luo@163.com。

TH113

A

1674-0696(2015)04-176-05