李阿勇

（北京科技大學(xué) 東凌經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京 100083）

0 引言

投資組合理論一直是金融領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問(wèn)題，Markowitz投資組合模型理論是解決投資最優(yōu)策略問(wèn)題的奠基性研究成果。Hamid Reza Golmakani在《Constrained Portfolio Selection using Particle Swarm Optimization》一文中對(duì)Markowitz均值方差模型加入了4個(gè)限制條件[1]：持有的資金限制，最小交易批量限制，區(qū)域資金分散限制，證券數(shù)量限制。該論文首次提出了區(qū)域分散對(duì)模型的影響。張莉，唐萬(wàn)生討論了概率準(zhǔn)則下的投資組合模型，并研究了中國(guó)目前證券市場(chǎng)的整手股票交易和限制買(mǎi)空賣(mài)空的要求對(duì)模型解的影響。Markowitz利用方差作為資產(chǎn)組合風(fēng)險(xiǎn)的定量方法，利用方差可以對(duì)投資者的損失程度進(jìn)行度量，但在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，投資者更關(guān)心的是自己在某一置信水平下的最大可能損失。VaR（Value at Risk）就是在這樣一種要求下提出的，VaR作為一種投資風(fēng)險(xiǎn)的測(cè)度方法已成為現(xiàn)在風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的主流方法，通過(guò)設(shè)置不同的置信水平可以體現(xiàn)不同投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的偏好程度。Consigli等學(xué)者基于收益率是正態(tài)分布的假設(shè)，提出了VaR風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的投資組合模型，即均值－VaR模型。本文在Consigli等學(xué)者的研究基礎(chǔ)上，將隨機(jī)波動(dòng)模型納入均值－VaR模型體系中，通過(guò)Copula技術(shù)構(gòu)建基于Copula－SV的投資組合模型，同時(shí)針對(duì)模型設(shè)計(jì)了兩階段求解算法，仿真實(shí)例計(jì)算表明模型及設(shè)計(jì)的算法是可行的。

1 基于Copula－SV的投資組合模型

Markowitz利用方差作為資產(chǎn)組合風(fēng)險(xiǎn)的定量方法，利用方差可以對(duì)投資者的損失程度進(jìn)行度量，但在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，投資者更關(guān)心的是自己在某一置信水平下的最大可能損失，而這種損失被定義為資產(chǎn)處于風(fēng)險(xiǎn)的價(jià)值（Value at Risk VaR）。VaR作為一種投資風(fēng)險(xiǎn)的測(cè)度方法已成為現(xiàn)在風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的主流方法，通過(guò)設(shè)置不同的置信水平可以體現(xiàn)不同投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的偏好程度。Consigli等學(xué)者基于收益率是正態(tài)分布的假設(shè)，提出了VaR風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的投資組合模型，即均值－VaR模型。與均值方差模型不同，由于VaR的定義，均值－VaR模型需要對(duì)資產(chǎn)組合的存在性進(jìn)行討論。

為了對(duì)投資組合的資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)VaR進(jìn)行描述，本文引入Copula函數(shù)。利用Copula技術(shù)構(gòu)建多元分布，首先要構(gòu)建各變量的邊緣分布函數(shù)，同時(shí)，SV模型對(duì)資產(chǎn)收益波動(dòng)率具有較強(qiáng)的刻畫(huà)能力，根據(jù)SV模型可以計(jì)算單個(gè)資產(chǎn)收益率。利用資產(chǎn)組合的VaR對(duì)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行度量，構(gòu)造基于Copula－SV的投資組合模型如下：

式中：μ為期望收益率；wi為第i種證券的投資權(quán)重；a為買(mǎi)入股票時(shí)的交易成本費(fèi)率；ri為第i種證券的期望收益率；pi0為第i種證券在決策時(shí)點(diǎn)的價(jià)格；qi為第i種證券要求的最小交易批量；B為資金總額的限制；xi為投資于第i支股票的批量數(shù)，我國(guó)股市要求最小交易批量單位為 “手”（100股），因此xi為大于0的整數(shù)。

2 求解模型的兩階段算法設(shè)計(jì)

采用兩階段計(jì)算方法對(duì)Copula－SV的投資組合模型進(jìn)行計(jì)算。第一階段利用MCMC技術(shù)對(duì)單個(gè)資產(chǎn)收益率SV模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并利用本文提到的方法構(gòu)造Copula函數(shù)。根據(jù)構(gòu)造出的Copula函數(shù)可以計(jì)算資產(chǎn)組合的VaR值。第二階段利用遺傳算法對(duì)模型進(jìn)行迭代計(jì)算，求解使得VaR最小的投資組合。

2.1 第一階段

SV 模型中要估計(jì)的參數(shù)為（α0，β，ση），記潛在波動(dòng)率序列為｛σt｝，由參數(shù)（α0，β，ση）及｛σt｝構(gòu)成的聯(lián)合先驗(yàn)分布的似然函數(shù)為：

SV模型的貝葉斯后驗(yàn)分布密度為：

利用Griddy－Gibbs抽樣技術(shù)對(duì)樣本進(jìn)行蒙特卡羅模擬。Griddy－Gibbs抽樣的具體過(guò)程如下：

給定 Ω 的初始值 Ω（0）＝（β（0），ση（0），α0（0）），經(jīng)過(guò) t－1 次迭代后 Ω的迭代值為 Ω（t－1）＝（β（t－1），ση（t－1），α0（t－1）），則第 t次迭代過(guò)程如下：

（1）沿著格子（Ωi1，Ωi2，…，ΩiG）計(jì)算條件密度函數(shù) ki（Ωi｜Y，Ω－i（t－1）），i＝1，2，…，8，可以得到向量 Gki＝（ki1，ki2，…，kiG），其中：

（3）由 U（0，ΦiG）產(chǎn)生 μ，對(duì) Φi（Ωi｜Ω（t－1）－Ωi（t－1）；y）進(jìn)行逆變換，通過(guò)數(shù)值插值得到點(diǎn) Ωit～ki（Ωi｜Y，Ω（t－1）-Ωi（t－1））

（4）重復(fù)（1）～（3），則可以得到Ωi＝（Ωi（1），Ωi（2），… ，Ωi（N）），i＝1，2，…，8

通過(guò) Griddy－Gibbs 抽樣得到 Ωi=（Ωi（1），Ωi（2），…，Ωi（N）），據(jù)此估計(jì)模型參數(shù)

2.2 第二階段

本文構(gòu)造的均值－VaR模型是一個(gè)非線性規(guī)劃問(wèn)題，其中目標(biāo)中的VaR通過(guò)第一階段的Copula函數(shù)確定，而Copula函數(shù)的形式往往比較復(fù)雜，這就導(dǎo)致構(gòu)造的均值－VaR模型的形式也比較復(fù)雜，因此，對(duì)本模型只能通過(guò)一些啟發(fā)式算法進(jìn)行求解。遺傳算法（Genetic Algorithms，GA）以達(dá)爾文的進(jìn)化論作為依據(jù)，模擬自然界的生物進(jìn)化過(guò)程，通過(guò)優(yōu)勝劣汰最終獲得最優(yōu)的結(jié)果。最近十幾年遺傳算法得到了很大的發(fā)展和廣泛的應(yīng)用，遺傳算法具有很強(qiáng)的穩(wěn)健性和很高的效率，可以以較大的概率得到全局最優(yōu)解。傳統(tǒng)遺傳算法只能求解無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，為了對(duì)本模型進(jìn)行求解，需要對(duì)遺傳算法進(jìn)行設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)遺傳算法的總體思路是：采用整數(shù)編碼方案進(jìn)行編碼，每個(gè)基因位對(duì)應(yīng)備選股票，同時(shí)，基因位的值表示當(dāng)前方案中投資備選股票的批量數(shù)，在染色體生成過(guò)程中將染色體的基因位數(shù)值限制在約束（1）范圍內(nèi)。對(duì)每一個(gè)染色體，判斷其是否滿(mǎn)足約束（3），如果不滿(mǎn)足則隨機(jī)選擇一個(gè)基因位進(jìn)行調(diào)整，調(diào)整后再進(jìn)行判斷，以此循環(huán)，直到滿(mǎn)足約束條件。遺傳操作中交叉操作和變異操作均采用雙點(diǎn)操作，選擇操作則采用輪盤(pán)賭方法來(lái)進(jìn)行。遺傳算法的具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下：

2.2.1 編碼

采用整數(shù)編碼，每個(gè)染色體含n個(gè)基因位（代表n只證券），基因的數(shù)值代表投資于該證券的投資權(quán)重。

2.2.2 初始化及約束

按照上述編碼方式隨機(jī)生成N個(gè)染色體構(gòu)成初始種群，對(duì)于每個(gè)染色體最后2個(gè)基因位權(quán)重以此為

2.2.3 交叉算子

采用雙點(diǎn)交叉算子，隨機(jī)生成2個(gè)交叉點(diǎn)，交換2個(gè)父體交叉點(diǎn)中間的部分，最后2個(gè)基因位權(quán)重分別為

2.2.4 變異算子

采用雙點(diǎn)變異算子，隨機(jī)生成2個(gè)變異點(diǎn)，對(duì)父體中變異點(diǎn)中間的部分進(jìn)行變異操作，最后2個(gè)染色體為

2.2.5 選擇更新操作

將父代種群，交叉，變異后得到的新個(gè)體混合后得到一個(gè)新的種群，利用選擇操作在這個(gè)新種群中選擇N個(gè)個(gè)體形成新的父代種群。采用輪盤(pán)賭選擇方法，將適應(yīng)度大的以較大的概率選為父體進(jìn)行迭代。由于本模型是求極大值，則當(dāng)目標(biāo)函數(shù)值大于零時(shí)可直接定義適應(yīng)度值為目標(biāo)函數(shù)。

2.2.6 暫存機(jī)制

為了防止最優(yōu)解在搜索過(guò)程中丟失，設(shè)立了暫存機(jī)制。建立了一個(gè)暫存變量用以記錄在搜索過(guò)程中找到的最優(yōu)解，在每次更新操作過(guò)程中計(jì)算種群中所有染色體的適應(yīng)度值，并將適應(yīng)度最大值與暫存變量的適應(yīng)度進(jìn)行比較，若該值大于暫存變量的適應(yīng)度值則更新暫存變量為當(dāng)前值。由于這個(gè)機(jī)制不在遺傳算法內(nèi)，因此該機(jī)制不影響整個(gè)遺傳算法。

3 實(shí)證分析

根據(jù)我國(guó)證券市場(chǎng)的實(shí)際情況，選取“2014年度中國(guó)上市公司100強(qiáng)”中的100家上市公司股票作為研究樣本。2014年度中國(guó)上市公司100強(qiáng)是由中國(guó)上市公司發(fā)展研究院、中國(guó)排行榜與《南方企業(yè)家》雜志聯(lián)合組織評(píng)定，于2014年7月30日在廣州揭曉。在模型計(jì)算過(guò)程中，側(cè)重考慮公司發(fā)展的長(zhǎng)遠(yuǎn)利益，選取2000年1月到2013年3月期間每月的月收益率作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。利用這13年的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，研究受某些上市公司上市時(shí)間較晚、數(shù)據(jù)不全的影響，本文從這100家公司中篩選出2000年-2014年數(shù)據(jù)完整的20家上市公司股票。

假定投資者的資金持有總量為1000000元，對(duì)每只股票投資最小值設(shè)定為0，最高位總額的50%，最小交易單位采用中國(guó)證券市場(chǎng)的要求，為1手（100股），模型中的rf值，即市場(chǎng)中的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率為5年期定期存款的月利率。通過(guò)中國(guó)人民銀行網(wǎng)站獲得“金融機(jī)構(gòu)人民幣存款基準(zhǔn)利率”，5年期定期存款年利率為 5.50%，則可得月利率為 0.4583%，即 rf＝0.004583，買(mǎi)入交易費(fèi)率為0.3%，賣(mài)出交易費(fèi)率為0.5%。

利用SV模型對(duì)這5只股票進(jìn)行擬合，得到模型中參數(shù)如下：

表1 各股票SV模型參數(shù)估計(jì)

表2 最優(yōu)投資組合

在不同置信水平α下，利用遺傳算法對(duì)模型進(jìn)行迭代計(jì)算， 得到最優(yōu)投資組合權(quán)重如下：

4 結(jié)論

本文在Consigli等學(xué)者的研究基礎(chǔ)上，將隨機(jī)波動(dòng)模型納入均值－VaR模型體系中，通過(guò)Copula技術(shù)構(gòu)建基于Copula－SV的投資組合模型。并針對(duì)模型設(shè)計(jì)了兩階段算法，其中第一階段利用MCMC技術(shù)對(duì)單個(gè)資產(chǎn)收益率SV模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并利用本文提到的方法構(gòu)造Copula函數(shù)。第二階段利用遺傳算法對(duì)模型進(jìn)行迭代計(jì)算。由于模型較為復(fù)雜，本文選取4只股票進(jìn)行仿真，實(shí)證結(jié)果表明基于Copula－SV的投資組合模型是可行的。

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