蔣建新，李艷艷

(文山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，云南文山663000)

M-矩陣Hadamard積的新下界

蔣建新，李艷艷

(文山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，云南文山663000)

利用r次Hadamard冪與柯西-施瓦茨不等式，給出了M-矩陣A與非奇異M矩陣B的逆矩陣B-1的Hadamard積的最小特征值q(A°B-1)的新下界。數(shù)值算例說(shuō)明新的估計(jì)式提高了現(xiàn)有的結(jié)果。

M-矩陣；Hadamard積；最小特征值；Hadamard冪；下界

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)A=(aij)∈Rn×n，1)如果aij≥0，稱(chēng)A為非負(fù)矩陣(A≥0)；2)如果aij≤0，i≠j，稱(chēng)A為Z矩陣，進(jìn)一步若A-1≥0，就稱(chēng)A為非奇異M矩陣，用Mn表示該類(lèi)矩陣的集合。q(A)表示非奇異M矩陣A的最小特征值。

若A，B∈Mn，F(xiàn)iedler M[1]1991年證明了A°B-1∈Mn。

引理1[2]設(shè)a=(a1，a2，…，an)r≥0，b=(b1,b2,…,bn)T≥0，則有

引理2[3]設(shè)A=(aij)∈Rn×n是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的M-矩陣，則

下面給出迭代矩陣的定義[4]：

2 主要結(jié)果

這部分給出q(A°B-1)新的下界。

證明：下面分別證明A°B-1不可約與可約

設(shè)U=diag(u1，u2，…，un)，V=diag(v1,v2，…，vn)，W=UV=diag(u1v1,u2v2，…，unvn)，則

對(duì)ri(G)應(yīng)用引理1得

上式對(duì)k=1，2成立。

2.若A°B-1可約，這種情況的證明與文獻(xiàn)[5]的證明類(lèi)似。

當(dāng)定理1中的B-1=A-1時(shí)，可得下面的推論：

推論1A=(aij)∈Rn×n是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的M-矩陣，則A-1=(αij)∈Rn×n≥0，且

3 數(shù)值算例

應(yīng)用2004年陳省生[7]的結(jié)果

應(yīng)用本文結(jié)果當(dāng)k=2時(shí)，q(A°B-1)≥2.6515；當(dāng)k=1時(shí)，q(A°B-1)≥-0.1478。

對(duì)于q(A°A-1)的估計(jì)，當(dāng)k=2時(shí)，q(A°A-1)≥0.3025，事實(shí)上q(A°A-1)=0.3367。

[1]Shivakumar P N,Williams J J,Ye Q,et al.On two-sided bounds related to weakly diagonally dominantM-matrices with application to digital circuit dynamics[J]. SIAMJ Matrix Anal Appl.,1996,17(2):298-312.

[2]杜琨.矩陣Hadamard積和Fan積的特征值的界[J].華東師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2008,24(5)：45-50.

[3]Fiedler M and Markham T.An inequality for the Hadamard product of anM-matrix and inverseM-matrix[J]. Linear Algebra Appl,1988,101:1-8.

[4]陳景良，陳向暉. 特殊矩陣[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，2000：239-276.

[5]HUANG Rong. Some inequalities for the Hadamard product and the Fan product of matrices[J]. Linear Algebra and its Applications,2008,428:1551-1559.

[6]Horn R A,Johnson C R. Topics in Matrix Analysis[M].New York:Cambridge University Press,1991.

[7]CHENG Xing-sheng. A Lower bound for the minimum eigenvalue of the Hadamard product of matrix[J]. Linear Algebra Appl,2004,378:159-166.

[責(zé)任編輯 畢 偉]

2014-12-22

云南省教育廳科學(xué)研究基金項(xiàng)目(No.2013Y585)；文山學(xué)院重點(diǎn)學(xué)科數(shù)學(xué)建設(shè)項(xiàng)目(No.12WSXK01)

蔣建新(1981—)，男，甘肅天水人，文山學(xué)院講師。

O151.21

A

1004-602X(2015)02-0054-02