范巧成 姜文娟 鄭磊

(1.山東電力研究院，濟(jì)南 250003；2.國網(wǎng)技術(shù)學(xué)院，濟(jì)南 250002)

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擴(kuò)展不確定度評(píng)定中包含因子的確定探討

范巧成1姜文娟2鄭磊1

(1.山東電力研究院，濟(jì)南 250003；2.國網(wǎng)技術(shù)學(xué)院，濟(jì)南 250002)

指出了擴(kuò)展不確定度評(píng)定中包含因子的確定存在的問題，探討根據(jù)輸入量的分布如何確定輸出量的分布，進(jìn)而給出擴(kuò)展不確定度評(píng)定中包含因子的確定原則，達(dá)到一般應(yīng)用時(shí)簡化評(píng)定的目的，這種確定原則既適合于校準(zhǔn)也適合于檢測工作的測量不確定度評(píng)定。

不確定度評(píng)定；擴(kuò)展不確定度；分布估計(jì)；包含因子

0 引言

在JJF 1059—1999實(shí)施初期，中國計(jì)量出版社出版了一些有關(guān)測量不確定度評(píng)定的專著[1～3]，在雜志中也發(fā)表了一些論文，這些評(píng)定實(shí)例幾乎一律采用計(jì)算有效自由度的方法來確定計(jì)算擴(kuò)展不確定度的包含因子k95或k99，這無疑增加了許多計(jì)算工作量。這里有兩個(gè)問題，一是只有當(dāng)輸出量的分布接近正態(tài)分布即t分布時(shí)，才可以通過計(jì)算有效自由度來獲取k95；二是當(dāng)輸出量的分布為其它已知的分布時(shí)，不存在計(jì)算自由度的問題。例如輸出量的分布為均勻分布，則k95=1.65，k99=1.71，這在文獻(xiàn)[4-5]中都有明確規(guī)定。還有一種處理方式是不管輸出量的分布如何，直接取k=2，這在輸出量為均勻分布時(shí)也是不妥的。文獻(xiàn)[5-6]中有對(duì)自由度弱化處理的規(guī)定，即當(dāng)輸出量的分布接近正態(tài)分布時(shí)，可以不必計(jì)算有效自由度，在估計(jì)其值不算小的情況下可以直接取k=2，此時(shí)對(duì)應(yīng)的包含概率約為95%。這里就梳理一下，對(duì)于一般應(yīng)用，計(jì)算擴(kuò)展不確定度的包含因子應(yīng)如何選取比較合理。

1 輸出量與輸入量分布的估計(jì)

1.1 輸入量分布的估計(jì)

在B類評(píng)定中，分布的估計(jì)確實(shí)是一個(gè)不好確定的問題，尤其是對(duì)于初學(xué)者。但是，這一問題又不能回避，它將影響到輸出量分布的估計(jì)，進(jìn)而影響到評(píng)定擴(kuò)展不確定度時(shí)包含因子的確定。分布估計(jì)的大致原則為，在缺乏任何其它信息的情況下，一般估計(jì)為矩形分布是較合理的。但如果已知被研究的量Xi的可能值出現(xiàn)在a-～a+中心附近的概率，大于接近區(qū)間的邊界時(shí)，則最好估計(jì)為三角分布；如果已知被研究的量Xi的可能值出現(xiàn)在a-～a+中心附近的概率，小于接近區(qū)間的邊界時(shí)，則最好估計(jì)為反正弦分布。在實(shí)際工作中，可根據(jù)同行專家的研究結(jié)果或經(jīng)驗(yàn)來假設(shè)概率分布[5]。

估計(jì)為均勻分布和正態(tài)分布是最多的。估計(jì)為均勻分布的有：按級(jí)使用的測量儀器最大允許誤差、數(shù)據(jù)修約、數(shù)字式測量儀器對(duì)示值量化、度盤或齒輪的回差、平衡指示器調(diào)零不準(zhǔn)、測量儀器的滯后或摩擦效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度。估計(jì)為正態(tài)分布的有：部分按級(jí)使用的測量儀器、已知級(jí)別的裝置，其最大允許誤差導(dǎo)致的不確定度，如標(biāo)準(zhǔn)電能表、電能表檢定裝置；校準(zhǔn)證書中給出的U或Up未指明分布時(shí)按正態(tài)分布。

按級(jí)使用的測量儀器最大允許誤差導(dǎo)致的不確定度，很多人通常都是估計(jì)為均勻分布，其實(shí)不然，具體估計(jì)為何種分布，需要對(duì)該類儀器的示值誤差做大量的統(tǒng)計(jì)工作才能得到。例如標(biāo)準(zhǔn)電能表的誤差分布規(guī)律，通過大量檢定數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，認(rèn)為其示值誤差接近正態(tài)分布[7-8]，如圖1(0.1級(jí)表、400只、7254個(gè)數(shù)據(jù))和圖2(0.05級(jí)表、200只、5978個(gè)數(shù)據(jù))。

圖1 0.1級(jí)表誤差分布圖

圖2 0.05級(jí)表誤差分布圖

筆者還做過直流電阻箱、直流標(biāo)準(zhǔn)電阻、直流高壓高阻箱、0.01級(jí)電流互感器比差和角差、0.05級(jí)電流互感器比差和角差的實(shí)測誤差分布特征，由于統(tǒng)計(jì)樣本較少，其分布曲線沒有像圖1那樣接近正態(tài)分布，但大致接近，表現(xiàn)為中間多兩邊少，呈現(xiàn)凸型，兩邊接近最大允許誤差的很少。其它測量儀器的誤差分布規(guī)律，感興趣并有條件的讀者可作一下統(tǒng)計(jì)，其結(jié)論可與大家分享。

按級(jí)使用的測量儀器其最大允許誤差導(dǎo)致的不確定度，在沒有足夠的證據(jù)表明其接近何種分布時(shí)，從保守的角度考慮估計(jì)為均勻分布是比較合理的。

1.2 輸出量分布的估計(jì)

文獻(xiàn)[9]提出了被測量可能值的分布及其判定方法，提供的實(shí)例在評(píng)定擴(kuò)展不確定度前，首先根據(jù)輸入量標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量的分布來確定輸出量的分布，文獻(xiàn)[10]也參照文獻(xiàn)[9]做了類似的處理。輸出量的分布大致有如下幾種情況。

1.2.1 輸出量的分布為均勻分布

出現(xiàn)這種情況的原因是只有一個(gè)分量是占絕對(duì)優(yōu)勢(其它分量為該分量的1/3以下)的分量，其它分量可以忽略不計(jì)，該分量被估計(jì)為均勻分布，則輸出量的分布估計(jì)為均勻分布。

1.2.2 輸出量的分布為梯形分布

出現(xiàn)這種情況的原因是只有一個(gè)分量是占絕對(duì)優(yōu)勢(其它分量為該分量的1/3以下)的分量，其它分量可以忽略不計(jì)，該分量被估計(jì)為梯形分布，則輸出量的分布估計(jì)為梯形分布?；蛘叽嬖趦蓚€(gè)主要分量為不等寬的均勻分布，則輸出量的分布估計(jì)為梯形分布。

1.2.3 輸出量的分布為三角分布

出現(xiàn)這種情況的原因是只有一個(gè)分量是占絕對(duì)優(yōu)勢(其它分量為該分量的1/3以下)的分量，其它分量可以忽略不計(jì)，該分量被估計(jì)為三角分布，則輸出量的分布估計(jì)為三角分布。或者存在兩個(gè)主要分量為等寬的均勻分布，則輸出量的分布估計(jì)為三角分布。

1.2.4 輸出量的分布接近正態(tài)分布

出現(xiàn)上述三種情況以外的情況時(shí)，輸出量的分布可估計(jì)為接近正態(tài)分布[11]，主要表現(xiàn)為：

1)被測量Y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)中，相互獨(dú)立的分量ui(y)較多，它們之間的大小也比較接近時(shí)；

2)被測量Y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)中相互獨(dú)立的分量ui(y)中，存在兩個(gè)界限值接近的三角分布，或四個(gè)界限值接近的均勻分布時(shí)；

3)被測量Y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)相互獨(dú)立的分量ui(y)中，量值較大的分量(起決定作用的分量)接近正態(tài)分布時(shí)。

2 擴(kuò)展不確定度評(píng)定中包含因子的確定

2.1 輸出量不同分布對(duì)應(yīng)包含因子的確定

有了上述對(duì)輸出量的分布估計(jì)，根據(jù)給定的包含概率來確定評(píng)定擴(kuò)展不確定度的包含因子。根據(jù)輸出量的分布大致有如下幾種情況。

2.1.1 輸出量的分布為均勻分布

取k95=1.65，k99=1.71，k100=1.73[5]。此時(shí)如果取k=2會(huì)使擴(kuò)展不確定度U95明顯增大，而且超出了均勻分布的半寬a，因?yàn)閡=a/1.73，則U=2×u=2×a/1.73=1.16a，這就有點(diǎn)不合理了。

2.1.2 輸出量的分布為梯形分布

根據(jù)角參數(shù)β值(β為兩均勻分布半寬的差與其和的比值，若β=0，則梯形分布成為三角分布；若β=1，梯形分布成為矩形分布)來確定包含因子k，如表1。分析這些β值，當(dāng)β=0.5時(shí)，一個(gè)均勻分布的半寬正好是另一個(gè)的1/3，當(dāng)β>0.5時(shí)，一個(gè)均勻分布的半寬小于另一個(gè)的1/3，這符合1.2.1的情況，輸出量的分布可近似看作均勻分布。當(dāng)β<0.5時(shí)，k95=1.81～1.90，k99=2.07～2.20，此時(shí)取包含因子k=2會(huì)使擴(kuò)展不確定度U95增大約10%，但從保守的角度是可以接受的，此時(shí)取k=2，對(duì)應(yīng)的包含概率應(yīng)在95%～99%之間。

表1 被測量接近于矩形分布、三角分布和梯形分布時(shí)的包含因子

2.1.3 輸出量的分布為三角分布

三角分布是β=0的梯形分布，k95=1.9，k99=2.2，此時(shí)取包含因子k=2會(huì)使擴(kuò)展不確定度U95增大約5%，這從保守的角度是完全可以接受的。取k=2，對(duì)應(yīng)的包含概率在95%～99%之間。

2.1.4 輸出量的分布接近正態(tài)分布

在此情況下可不必計(jì)算有效自由度，直接取包含因子k=2，其對(duì)應(yīng)的包含概率約為95%。實(shí)際上，對(duì)于校準(zhǔn)來說，往往已把主要分量的自由度估計(jì)為50，這樣計(jì)算得到的有效自由度也將為50左右，查t分布表得k95≈2。文獻(xiàn)[1-3]提供的許多實(shí)例就是這樣。

2.2 包含因子的確定

綜上所述，根據(jù)輸出量的分布情況，可歸納為：

輸出量的分布為均勻分布，則k95=1.65，k99=1.71。

輸出量的分布為梯形分布，當(dāng)β≥0.5時(shí)，輸出量的分布可近似看作均勻分布；當(dāng)β<0.5時(shí)(含三角分布)，取k=2，對(duì)應(yīng)的包含概率在95%～99%之間。

輸出量的分布接近正態(tài)分布，直接取包含因子k=2，其對(duì)應(yīng)的包含概率約為95%。對(duì)于檢測領(lǐng)域，一般直接取包含因子k=2[12-13]。

更為簡約的處理：輸出量的分布為均分布，則k95=1.65，k99=1.71；其它情況直接取包含因子k=2。這對(duì)于一般的應(yīng)用是可以接受的，對(duì)于輸出量的分布為梯形分布的，可省去了角參數(shù)β值的計(jì)算，對(duì)于輸出量的分布為接近正態(tài)分布的，可省去了自由度的計(jì)算。

3 結(jié)束語

通過對(duì)部分專著[1-3]和一些論文的不確定度評(píng)定分析，結(jié)合文獻(xiàn)[5-6]中有關(guān)對(duì)自由度弱化處理的規(guī)定，參考文獻(xiàn)[9]提出的被測量可能值的分布及其判定方法，根據(jù)輸入量標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量的分布來確定輸出量的分布大致可分為四種：均勻分布、梯形分布、三角分布和接近正態(tài)分布。根據(jù)這四種分布情況，總結(jié)得出擴(kuò)展不確定度評(píng)定中包含因子的確定：輸出量的分布為均分布，則k95=1.65，k99=1.71；其它情況可直接取包含因子k=2。這對(duì)于一般的應(yīng)用是可以接受的，對(duì)于輸出量的分布為梯形分布的，可省去了角參數(shù)β值的計(jì)算；對(duì)于輸出量的分布為接近正態(tài)分布的，可省去了自由度的計(jì)算。這種處理簡化了評(píng)定過程，將有利于測量不確定度的評(píng)定與應(yīng)用。

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10.3969/j.issn.1000-0771.2015.08.22