楊愛萍,田玉針,何宇清,董翠翠

(天津大學電子信息工程學院,天津300072)

基于改進K-SVD和非局部正則化的圖像去噪

楊愛萍,田玉針,何宇清,董翠翠

(天津大學電子信息工程學院,天津300072)

K-奇異值分解(K-SVD)算法在強噪聲下的去噪性能較差。為此,提出一種新的圖像去噪算法。使用相關系數(shù)匹配準則和噪聲原子裁剪方法改進傳統(tǒng)K-SVD算法,提高原算法的去噪性能,將非局部正則項融入圖像去噪模型,并采用非局部自相似性進一步改善圖像的去噪效果。實驗結果表明,與傳統(tǒng)K-SVD算法相比,該算法在提高同質區(qū)域平滑性的同時,能保留更多的紋理、邊緣等細節(jié)特征。

圖像去噪;稀疏表示;奇異值分解;正交匹配追蹤算法;字典優(yōu)化;非局部自相似性

1 概述

基于稀疏表示的圖像去噪成為近年來該領域的前沿研究課題。其主要利用過完備字典［1-3］的冗余性對圖像進行稀疏表示,能夠有效地捕捉圖像的結構特征,在去除噪聲的同時更好地保持圖像信息。其中,文獻［4］提出K-奇異值分解(K-Singular Value Decomposition,K-SVD)原子庫訓練和稀疏表示方法,在去除輕度圖像噪聲方面表現(xiàn)出較好的去噪性能。但在噪聲污染較嚴重的情況下,其圖像恢復效果并不理想,當用帶噪圖像本身作為訓練樣本時,面臨信號特征提取和噪聲抑制之間的矛盾,得到的字典中往往含有大量噪聲原子。

另一方面,基于字典學習的K-SVD去噪算法,只是利用待處理圖像塊內(nèi)部的信息進行獨立稀疏編碼,沒有充分考慮與其他樣本圖像的相關信息,如塊與塊之間的重疊性、相似性等,對先驗信息的表達能力不足。另一方面在過完備字典上的稀疏分解是潛在不穩(wěn)定問題,容易產(chǎn)生視覺偽像。

針對上述問題,在研究基于K-SVD字典學習的圖像去噪算法基礎上,本文將相關系數(shù)匹配準則［5］和字典裁剪方法相結合,考慮到圖像一般存在大量的重復模塊,位于不用位置的圖像塊往往表現(xiàn)出很強的非局部自相似性［6-7］。為了充分利用圖像的非局部自相似性信息,提出將非局部自相似性作為一個約束正則項融入到圖像去噪模型,得到基于改進K-SVD字典學習和非局部正則化的圖像去噪算法。

2 基于稀疏表示的圖像去噪

設數(shù)字圖像用矩陣Y∈?N表示,大小為N×N,字典矩陣D由L個N維向量的dij組成,dij稱為字典原子。當D給定時,圖像Y可表示為字典原子的線性組合:

其中,αij為 Y在字典 D上的稀疏表示系數(shù);矩陣R(M)是經(jīng)過 M項逼近后的殘差項。本文采用 KSVD方法進行字典訓練得到的字典D,并將其用于圖像去噪。用矩陣X表示原始圖像,則圖像的去噪模型為:

去噪過程為:初始化字典D和圖像X,利用正交匹配追蹤(Orthonormal Matching Pursuit,OMP)［8-9］算法求得稀疏表示系數(shù)αij;其次,根據(jù)得到的稀疏系數(shù)αij,利用K-SVD算法更新字典D;最后,當D和系數(shù)αij均達到要求時,根據(jù)下式求得去噪圖像:

其中,I為單位矩陣;X^表示去噪后的圖像矩陣。

3 K-SVD算法優(yōu)化

K-SVD算法得到的是全局過完備字典。但是在強噪聲的情況下,字典中含有大量與噪聲匹配的噪聲原子,導致在字典學習訓練過程中,無法達到有效去除噪聲的目的。本文對基于K-SVD的字典學習方法進行改進。一方面,在稀疏編碼環(huán)節(jié),引入相關系數(shù)匹配準則,提取更多有意義的結構訓練得到更優(yōu)的字典,實現(xiàn)對圖像信號更準確的逼近;另一方面,基于噪聲原子剪裁對訓練字典進一步優(yōu)化。將上述2種方法相結合得到改進K-SVD算法,形成一種有效的字典訓練方法。

3.1 基于相關系數(shù)匹配準則的稀疏編碼

稀疏編碼在字典學習中計算信號在給定字典下的稀疏表示系數(shù)。為了得到自適應性強的字典,通常選擇含噪圖像本身作為訓練樣本,由此就會導致信號提取和噪聲抑制相矛盾的問題。

目前,字典學習方法的迭代停止準則多采用基于殘差信號能量的迭代停止標準［10-11］。但是,當噪聲強度和信號維數(shù) n變大時,該準則將過早終止OMP迭代,導致遺漏了有用信號。文獻［5］研究了相關函數(shù)局部最大值與信號特征之間關系,在此基礎上提出了一種新的基于相關系數(shù)匹配的停止準則。定義匹配因子為第j次迭代時殘差信號矩陣Rj-1f和字典原子gγ之間的相關系數(shù):

匹配因子的最大值會隨著信號的不斷提取而降低,當信號的有用信息已被全部提取完畢,即殘差信號中基本上沒有有用信息時,匹配因子的最大值也就降到了理想值,此時,停止OMP迭代。假設Tm為設定的閾值,則停止準則如下:

3.2 基于噪聲原子剪裁的字典優(yōu)化

當訓練樣本采用含噪圖像塊時,基于K-SVD方法訓練得到的字典中含有與噪聲匹配的噪聲原子,噪聲原子的存在將嚴重影響圖像的去噪質量。因此,需要盡可能地從字典中刪除這些噪聲原子對字典進行優(yōu)化,其核心問題是如何對噪聲原子進行檢測。文獻［12］提出利用假設檢驗來檢測噪聲原子,其利用信號原子至少在一個方向上相關性很強,而純噪聲原子在各個方向上的相關性都幾乎沒有。存在相關性的方向上特征向量的方差會很小,即各個方向的特征向量的方差會有所差別。

本文采用Bartlett檢驗法［12］,設vi是特征向量的方差。用Bartlett檢驗測試原子在4個方向上的特征向量的方差vi是否相等或者至少有2個原子的方差不等,定義Bartlett檢驗統(tǒng)計量為:

對原子庫中的原子進行判斷,若某原子滿足Q＜χ2(α;3),則認為該原子只含有噪聲成分,并從原子庫中刪除,其中,χ2(α;3)表示自由度為3的chi-平方分布的上α百分點位置。與傳統(tǒng)的字典優(yōu)化方法不同［13］,上述方法只是從字典中刪除噪聲原子,不會影響字典的信息原子,提高了去噪后的圖像質量。

3.3 改進的K-SVD字典訓練方法

將基于相關系數(shù)匹配準則的稀疏編碼方法以及噪聲原子剪裁方法相結合,用于K-SVD字典訓,得到一種改進的K-SVD字典訓練方法。

字典的學習是通過稀疏編碼和字典更新2個步驟交替進行來完成。整個學習過程分為2個階段:階段1得到一個初始字典;階段2對字典進行優(yōu)化。在階段1,運用傳統(tǒng)的K-SVD的方法進行字典訓練,用OMP算法進行稀疏編碼,以殘差能量值小于n(Cσ2)作為終止條件。階段2運用相關系數(shù)匹配準則進行稀疏編碼,并對階段1的字典進行優(yōu)化。算法步驟如下:

(1)得到一個初始字典

設定初值:如果σ＜5,則令maxiter=5;否則,令maxiter=10。

當j＜maxiter時,循環(huán)執(zhí)行以下步驟:

2)字典更新:對每個原子進行SVD分解。

(2)對字典進行優(yōu)化設定初值:令maxiter=6, Tm=0.06,α=0.01。

當j＜maxiter時,循環(huán)執(zhí)行以下步驟:

2)字典更新:對每個原子進行SVD分解。

3)字典優(yōu)化:進行噪聲檢測并刪除噪聲原子。

4 圖像的非局部自相似性

如前所述,K-SVD字典學習去噪方法,只是利用圖像塊內(nèi)部信息進行獨立稀疏編碼,并沒有充分考慮其他樣本圖像的相關信息,對先驗信息的表達能力不足;同時,過完備字典下的稀疏分解是潛在不穩(wěn)定問題。因此,有必要在去噪模型中引入正則化項。考慮到圖像一般存在大量的重復模塊,不同位置的圖像塊往往表現(xiàn)出很強的自相似性。為了充分利用圖像的非局部自相似性信息,本文提出將其作為一個正則化先驗約束項融入到圖像去噪模型。

文獻［14-15］提出非局部均值濾波(Nonlocal Means Filtering,NLF)去噪方法。設矩陣Y為含噪圖像,給定像素 i,其 NLF濾波強度值定義為NLF(i),它由像素點周圍搜索窗內(nèi)像素點的權重構成。像素i相對于像素j的權重記為w(i,j),權重值由這些像素之間的相似性決定,相似性的計算是通過以這些像素為中心的塊之間的高斯l2距離。例如,設i和j分別為大小為b×b的圖像塊矩陣Ni,Nj的中心像素,并假設j位于像素i的大小為L×L的搜索窗內(nèi)。w(i,j)的計算公式為:

其中,S(i)表示歸一化系數(shù);h=0.5σ2是高斯核的控制因子;σ高斯核的標準差。對圖像矩陣Y的各個像素計算器權重w(i,j),得到權重矩陣W,根據(jù)上述定義建立一個非局部正則化項(Nonlocal Regularization,NR)［7,16］:

5 本文算法

本文提出基于改進的K-SVD字典學習,將圖像的非局部自相似性作為圖像先驗信息融入到基于稀疏表示的圖像去噪模型中,即將式(8)添加到式(2)中,得到新的去噪模型:

為解決第一個子問題,先初始化原始圖像的估計,即令X=Y。采用塊協(xié)調最小化方法求解這個子問題,可分為2個步驟:(1)初始化字典D∈?n×K(K＞n)為超完備的DCT字典,根據(jù)已知的X和D,采用基于相關系數(shù)匹配準則的OMP算法進行稀疏編碼得到稀疏表示系數(shù)αij;(2)在已知X,D和αij的情況下,采用改進K-SVD的字典學習算法更新過完備稀疏表示字典和稀疏表示系數(shù)ij,此步驟迭代J次。

為解決第2個子問題,先利用式(7)的方法計算自相似性權重矩陣W。然后將更新后的過完備稀疏表示字典矩陣、稀疏表示系數(shù)ij以及權重矩陣W代入下式,得到原始圖像的估計矩陣X^:

6 實驗結果及分析

為了驗證本文算法的有效性,本節(jié)將其與同類方法K-SVD［11］、改進K-SVD(K-SVD_N)、NLM［6］進行比較。測試圖像為512×512像素的灰度圖像Lena、Barbara、Boat和256×256像素的灰度圖像Cameraman、Peppers。添加均值為0、標準差為σ的高斯白噪聲。字典矩陣D的原子數(shù)目K=256,訓練圖像塊大小取值范圍是6～16,這里取6×6, K-SVD算法迭代次數(shù)J取10。Langrage乘子和殘差因子的取值均與高斯噪聲方差有關,根據(jù)文獻［1］,分別設為λ=30/σ,Tm=(1.15σ)2。根據(jù)實驗經(jīng)驗,令非局部正則項參數(shù)b=7,L=21。

圖1給出了4種算法對Boat圖像去噪后的峰值信噪比(Peak Signal to Noise,PSNR)曲線。表1給出了4種算法在不同噪聲強度下的去噪結果,其中,加粗的數(shù)據(jù)為在相同情況下,PSNR值最高的數(shù)據(jù)。由表1和圖1可知,本文算法明顯優(yōu)于其他3種算法。同一噪聲強度下,本文提出的K-SVD-N-NL算法比改進的K-SVD算法(New K-SVD,K-SVD-N)、非局部均值算法(Non-local Mean,NLM)去噪后PSNR值大。隨著噪聲強度σ的增大,本文算法優(yōu)勢更加突出,當噪聲強度很高時,優(yōu)勢可達3 dB～4 dB。

圖1 去噪圖像PSNR曲線

表1 去噪圖像的PSNR值比較dB

圖2為σ=30時,4種算法對Lena圖像去噪后的效果圖,圖3為局部放大效果。在噪聲強度一定時,K-SVD-N算法雖然保持了紋理邊緣結構,但是容易在平滑區(qū)造成褶皺現(xiàn)象;NLM算法去除了大部分噪聲,但造成圖像的過平滑,紋理結構不清晰,如頭發(fā)紋理變得不清晰;本文算法不但去除了平滑區(qū)的噪聲,減輕了平滑區(qū)的褶皺現(xiàn)象,并較好地保持了邊緣紋理等細節(jié)信息。

圖2 σ=30時4種算法的去噪效果

圖3 去噪圖像局部放大結果

需要說明的是,本文算法是在改進K-SVD算法的基礎上添加了非局部自相似約束,即式(9)中最后一項,因此,本文算法的復雜度略有增加。

7 結束語

為了對噪聲強度較大的圖像進行去噪,本文提出一種基于稀疏表示和非局部正則項的去噪算法。該算法不僅考慮了圖像特征提取和噪聲原子抑制,在字典訓練中引入基于相關系數(shù)匹配的稀疏編碼和基于原子庫裁剪的字典優(yōu)化,同時還考慮了圖像的非局部自相似性,在去噪模型中引入非局部正則化項。實驗結果表明,與同類去噪算法相比,該算法不但去除了平滑區(qū)的噪聲,減輕了平滑區(qū)的褶皺現(xiàn)象,而且能較好地保持邊緣紋理等細節(jié)信息。今后將研究如何在保證去噪效果的同時,加快算法的運行速度。

［1］Elad M.Sparse and Redundant Representations:From Theory to Applications in Signal and Image Processing［M］.Berlin,Germany:Springer,2010.

［2］Candes E J,Donoho D L.Recovering Edges in Ill-posed Inverse Problems:Optimality of Curvelet Frames［J］. Annals of Statistics,2002,30(3):784-842.

［3］孫林慧,楊 震.基于數(shù)據(jù)驅動字典和稀疏表示的語音增強［J］.信號處理,2011,27(12):1793-1800.

［4］Aharon M,Elad M,Bruckstein A M.K-SVD and Its Non-negative Variant for Dictionary Design［C］// Proceedings of International Society for Optics and Photonics.San Diego,USA:Society of Photo-optical Instrumentation Engineers,2005.

［5］Lee R J,Nicewander W A.Thirteen Ways to Look at the Correlation Coefficient［J］.The American Statistician, 1988,42(1):59-66.

［6］Chen Lixia,Liu Xujiao.NonlocalSimilarity Based Coupled Dictionary Learning for Image Denoising［J］. Journal of Computational Information Systems,2013, 9(11):4451-4458.

［7］Zhang Jian,Liu Shaohui,Xiong Ruiqin,et al.Improved TotalVariation Based Image Compressive Sensing Recovery by Nonlocal Regularization［C］//Proceedings of IEEE InternationalSymposium on Circuitsand Systems.Washington D.C.,USA:IEEE Press,2013: 2836-2839.

［8］Donoho D L,Tsaig Y,Drori I,et al.Sparse Solution of Underdetermined Systems ofLinearEquations by StagewiseOrthogonalMatching Pursuit［J］.IEEE Transactions on Information Theory,2012,58(2): 1094-1121.

［9］趙海峰,魯毓苗,陸 明,等.基于快速稀疏表示的醫(yī)學圖像壓縮［J］.計算機工程,2014,40(4):233-236.

［10］Protter M,Elad M.ImageSequenceDenoising via Sparse and RedundantRepresentations［J］.IEEE Transactions on Image Processing,2009,18(1):27-35.

［11］Elad M,Aharon M.Image Denoising via Sparse and Redundant Representation over Learned Dictionaries［J］.IEEE Transactions on Image Processing,2006, 15(12):3736-3745.

［12］Bartlett M S.Properties of Sufficiency and Statistical Tests［J］.Proceedings of the Royal Society of London. Series A,Mathematical and Physical Sciences,1937, 160(901):268-282.

［13］Mazhar R,Gader P D.EK-SVD:Optimized Dictionary Design for Sparse Representations［C］//Proceedings of the 19th IEEE International Conference on Pattern Recognition.Washington D.C.,USA:IEEE Press,2008:1-4.

［14］Buades A,Coll B,Morel J M.A Review of Image Denoising Algorithms,with a New One［J］.Multiscale Modeling&Simulation,2005,4(2):490-530.

［15］劉曉明,田 雨,何 徽,等.一種改進的非局部均值圖像去噪算法［J］.計算機工程,2012,38(4):199-201.

［16］Dong Weisheng,Zhang Lei,Shi Guangming,et al. Nonlocally Centralized Sparse Representation for Image Restoration［J］.IEEE Transactions on Image Processing,2013,22(4):1620-1630.

編輯 劉 冰

Image Denoising Based on Improved K-SVD and Non-local Regularization

YANG Aiping,TIAN Yuzhen,HE Yuqing,DONG Cuicui
(School of Electronic Information Engineering,Tianjin University,Tianjin 300072,China)

In view of the poor performance of the K-Singular Value Decomposition(K-SVD)denoising method,a new algorithm is proposed.The denoising performance is improved by the refined K-SVD method with the help of the correlation coefficient matching criterion and dictionary cutting method.By combining the non-local self-similarity as a constrained regularization into the image denoising model,the performance is further enhanced.Experimental results show that compared with traditional K-SVD method,this algorithm can effectively improve the smoothness of homogeneous regions with preserving more texture and edge details.

image denoising;sparse representation;Singular Value Decomposition(SVD);Orthonomal Matching Pursuit(OMP)algorithm;dictionary optimization;non-local self-similarity

1000-3428(2015)05-0249-05

A

TP391

10.3969/j.issn.1000-3428.2015.05.046

國家自然科學基金資助項目(61372145)。

楊愛萍(1977-),女,副教授、博士,主研方向:圖像處理;田玉針,碩士;何宇清,講師、博士;董翠翠,碩士。

2014-04-30

2014-07-07E-mail:yangaiping@tju.edu.cn

中文引用格式:楊愛萍,田玉針,何宇清,等.基于改進K-SVD和非局部正則化的圖像去噪［J］.計算機工程,2015, 41(5):249-253.

英文引用格式:Yang Aiping,Tian Yuzhen,He Yuqing,et al.Image Denoising Based on Improved K-SVD and Non-local Regularization［J］.Computer Engineering,2015,41(5):249-253.