雷騰飛 ，尹勁松 ，陳 恒 ，任林政

（1.西京學院 控制工程學院，陜西 西安 710123；2.山東泰開自動化有限公司，山東 泰安 271000）

1 引言

1963年，美國科學家lorenz在天氣預(yù)報的模型中發(fā)現(xiàn)了“蝴蝶效應(yīng)”，從此許多科研工作者走進了有關(guān)混沌領(lǐng)域的研究[1].隨著人們對混沌的深入研究探索，混沌理論在圖像數(shù)據(jù)加密[2]、信號檢測與處理[3]、機電控制系統(tǒng)[4]等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用.

地磁場長期變化中的極性反轉(zhuǎn)是地磁理論中需要且最難說明的問題之一.對此地磁學家們提出了反轉(zhuǎn)電機、統(tǒng)計、圓盤發(fā)電機等模型描述，其中雙盤發(fā)電機模型為地磁學家們解釋地磁起源提供了理論依據(jù).該模型在1958年被地磁學家Rikitake提出[5]，文[5]驗證了該模型含有豐富的混沌現(xiàn)象；文[6]對該系統(tǒng)采用比例微分方法對雙盤發(fā)電機進行了控制，文[7]采用了自適應(yīng)方法對系統(tǒng)進行了控制，但由于每個狀態(tài)量都含有控制器，則很難在工程與實際系統(tǒng)中實現(xiàn).張濟仕等研究了此模型的分數(shù)階模型并進行了控制[8]，但在工程中分數(shù)階模型用的較少.自從Ott、Grbogi及Yorker提出混沌控制方法與理論以來，運用于永磁同步電機的控制方法已有很多文獻研究[9-11]，雷騰飛等對非均勻氣隙的電機進行了分析與控制[12]，但對于雙盤發(fā)電機混沌系統(tǒng)有效的控制方法報道卻不多.因此在眾多的控制方法中采用一種有效的控制方法，使系統(tǒng)避免混沌產(chǎn)生顯得極其重要且具有現(xiàn)實意義.

本文針對雙盤發(fā)電機混沌系統(tǒng)，利用相位圖、分岔圖，Lyapunov指數(shù)等分析了雙盤耦合發(fā)電機系統(tǒng)的動力學行為，研究了耦合發(fā)電機系統(tǒng)對參數(shù)的敏感性；在考慮控制方法能夠有效的應(yīng)用到工程及實際背景下，采用線性狀態(tài)反饋控制方法對Rikitak發(fā)電機混沌行為進行了控制，使得系統(tǒng)快速準確的達到了控制的目標.

2 雙盤發(fā)電機的數(shù)學模型與混沌特性

20世紀50年代，日本地磁學家Rikitake年提出了發(fā)電機的模型，雙盤發(fā)電機由兩個圓盤與兩個相互耦合在一起的線圈組成.經(jīng)過時間尺度變化與映射得到模型的無量綱方程如下[6]

其中x1,x2表示無量綱的發(fā)電機電流，x3表示兩兩個圓盤的角速度，μ和σ表示正的控制參數(shù).

2.1 耗散性

雙盤耦合發(fā)電機系統(tǒng)的耗散性可由（1）導出：

這就意味著系統(tǒng)（1）具有耗散性，且以指數(shù)速率e-2t收斂，當t→∝時，包含系統(tǒng)軌線的每個體積元以指數(shù)速率收縮到零.則雙盤耦合發(fā)電機系統(tǒng)漸近固定在一個吸引子上，即說明混沌吸收引子存在性.

2.2 雙盤耦合發(fā)電機系統(tǒng)平衡點的分析

設(shè)系統(tǒng)（1）的平衡點為 E0=(x10,x20,x30)，可以得到：x10=±σ,x20=±σ-1,x30=μσ2.

為了分析平衡點的穩(wěn)定性，得到平衡點E0的Jacobian矩陣：

將平衡點E0=(x10,x20,x30)代入式（3），求出在此平衡點處的Jacobian矩陣的特征方程：

圖1 系統(tǒng)的相位圖

2.3 參數(shù) μ對系統(tǒng)的影響

雙盤發(fā)電機正參數(shù) μ受工作環(huán)境，噪聲等因素影響比較大，隨著參數(shù) μ的變化，可以看出系統(tǒng)出現(xiàn)了極為豐富的混沌現(xiàn)象，當 μ∈[0.5,2.5]時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；當μ∈[1,0.5]?[2.5,4]時，系統(tǒng)處于周期狀態(tài).如圖2所示.

當系統(tǒng)處于混沌運動時，發(fā)電機發(fā)出的電流與電壓忽高忽低，電流與電壓的這種突變很容易引起系統(tǒng)的崩潰，因此須找出一種合適有效的方法消除或抑制系統(tǒng)中的混沌行為.

3 狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計

3.1 非線性系統(tǒng)控制理論

考慮如下不受控的非線性自治系統(tǒng)

其中X為系統(tǒng)狀態(tài)變量，α為系統(tǒng)參數(shù)；在平衡點附近E0處對系統(tǒng)線性化，則系統(tǒng)（5）近似為：

其中可取B為對角矩陣，u為控制器，且

式中，K為反饋增益矩陣.

本文利用控制論中極點配置的方法來確定反饋增益矩陣K，從而使系統(tǒng)迅速達到穩(wěn)定狀態(tài).

圖2 系統(tǒng)的分岔圖

3.2 控制器設(shè)計

根據(jù)上述理論，考慮系統(tǒng)（1）加入反饋控制器，u=K(X-E0)，則系統(tǒng)（1）的受控系統(tǒng)為：

根據(jù)（7）可以簡化B，取 B=diag(1,1,1).

則系統(tǒng)（9）在系統(tǒng)（1）平衡點E0下的Jacbian矩陣為：

則受控系統(tǒng)的特征方程：

其中，A1、A2,、A0都是與 k1、k2、k3有關(guān)的系數(shù).

取希望配置的極點(-1,-1,-10)，則極點構(gòu)成的特征多項式為：

極點的特征多項式（12）與受控系統(tǒng)的特征多項式（11）相同，求出k1=9,k2=0,k3=1.當系統(tǒng)運行到20 s時，加入狀態(tài)反饋控制器，運用Matlab仿真，仿真系統(tǒng)結(jié)果見圖3.從圖3可以發(fā)現(xiàn)，在接入控制器后，系統(tǒng)迅速達到穩(wěn)定狀態(tài)，且響應(yīng)速度快魯棒性好.

圖3 受控系統(tǒng)的運動狀態(tài)

4 結(jié)論

本文研究了Rikitake雙盤發(fā)電機模型，研究表明模型具有混沌運動，此外，還進行了Rikitake雙盤發(fā)電機模型混沌機理研究.針對該發(fā)電機非線性特性，設(shè)計狀態(tài)反饋控制器并應(yīng)用于本系統(tǒng).仿真結(jié)果表明系統(tǒng)在控制器的作用下能夠迅速達到穩(wěn)定狀態(tài)，理論分析與數(shù)值仿真結(jié)果相一致.仿真結(jié)果進一步驗證了所用控制方法的有效性，對機電與電機系統(tǒng)控制提供了理論參考價值.

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