☉江蘇省口岸中學(xué) 高國圣

剪不斷理還亂的條件概率
——引例梳理條件概率思維

☉江蘇省口岸中學(xué) 高國圣

引例：一個家庭中有兩個小孩，假定生男生女是等可能的，已知這個家庭有一個是女孩，問：這時另一個孩子是男孩的概率是多少？

條件概率指的是在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率.教師在講解此題時，學(xué)生普遍認(rèn)為答案是究其原因是沒有理解條件概率的內(nèi)涵，因此可讓學(xué)生回答如下三個問題.

問題1：一個家庭中有兩個小孩，可能有幾種情況？

答：（男，男）（男，女）（女，男）（女，女）.

問題2：其中一個是女孩，有幾種情況？

答：（男，女）（女，男）（女，女）.

問題3：在其中一個是女孩的條件下，另一個是男孩的概率？

至此問題不攻自破.

對于條件概率的理解，筆者結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗，建議從如下幾方面入手，供參考.

一、借助圖示法理解條件概率的本質(zhì)

圖1

如圖1，設(shè)A、B是兩個事件，且P（A）＞0，在事件A已發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率稱為條件概率，記作P（B|A）．從圖示法的角度來看，這個定義可以理解為：

事件的樣本點已落在圖形A中（事件A已發(fā)生），問落在B中（事件B發(fā)生）的概率．由于樣本點已經(jīng)落在A中，且又要求落在B中，故只能落在AB中．在這種觀點下，原來的的樣本空間Ω（即基本事件的范圍）變?yōu)橐阎臈l件事件A所對應(yīng)的空間，原來的事件B對應(yīng)的空間變?yōu)槭录嗀B對應(yīng)的空間．因此，條件概率問題可以看成“樣本空間減少”的條件下的古典概型或幾何概型問題．

例1（2011年高考遼寧卷）從1、2、3、4、5中任取2個不同的數(shù)，事件A＝“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B＝“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P（B|A）＝（）.

評析：在“減少樣本空間”的觀點下，條件概率P（B|A）的計算公式為其中，在古典概型中，n（A）與n（AB）分別表示事件A與事件AB所包含的基本事件的個數(shù).

二、弄清P（B|A）與P（AB）的區(qū)別

P（AB）與P（B|A）是兩個截然不同的事件的概率，P（AB）表示事件A與B同時發(fā)生的概率，而條件概率P（B|A）表示在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率.

例2（2015年高考陜西卷）隨機抽取一個年份，對西安市該年4月份的天氣情況進(jìn)行統(tǒng)計，結(jié)果如下：

?

（Ⅰ）在4月份任取一天，估計西安市在該天不下雨的概率；

（ⅠⅠ）西安市某學(xué)校擬從4月份的一個晴天開始舉行連續(xù)兩天的運動會，估計運動會期間不下雨的概率.

解析：（Ⅰ）在容量為30的樣本中，從表格中得不下雨的天數(shù)是26，以頻率估計概率，從4月份任選一天，西安市不下雨的概率是

（ⅠⅠ）稱相鄰兩個日期為“互鄰日期對”（如1日與2日，2日與3日等），這樣在4月份中，前一天為晴天的互鄰日期對有16對，其中后一天不下雨的有14個，所以晴天的次日不下雨的頻率為，以頻率估計概率，運動會期間不下雨的概率為

評析：在解題中需注意P（B|A）與P（B）的關(guān)系：計算P（B）是在整個樣本空間Ω上考慮事件B發(fā)生的概率，計算P（B|A）是在A發(fā)生的范圍內(nèi)來考慮事件B發(fā)生的概率.樣本空間從Ω減少為A，往往會導(dǎo)致無條件概率P（B）與條件概率P（B|A）并不相等.若事件A與B是相互獨立事件，則P（B）=P（B|A）.

三、幾何概型下的條件概率問題

圖2

例3（2011年高考湖南卷）如圖2，EFGH是以O(shè)為圓心、半徑為1的圓的內(nèi)接正方形．將一顆豆子隨機地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（陰影部分）內(nèi)”，則（1）P（A）＝______；（2）P（B|A）＝______.

四、概率性質(zhì)的應(yīng)用

例4（2013年高考新課標(biāo)Ⅰ卷）一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗，檢驗方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n＝3，再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗；如果n＝4，再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗．假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨立．

（1）求這批產(chǎn)品通過檢驗的概率；

（2）已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為100元，且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗，對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗所需的費用記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解析：（1）設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A1，第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件A2，第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件B1，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件B2，這批產(chǎn)品通過檢驗為事件A，依題意有A＝（A1B1）∪（A2B2），且A1B1與A2B2互斥，所以P（A）＝P（A1B1）＋P（A2B2）＝P（A1）P（B1|A1）＋

（2）X可能的取值為400、500、800，并且P（X＝400）＝所以X的分布列為

?

評析：若事件A發(fā)生了，事件B才有可能發(fā)生；若事件A沒有發(fā)生，事件B就不可能發(fā)生了.反過來，若事件B發(fā)生了，事件A必然發(fā)生了，即事件A、B都發(fā)生了.事件A發(fā)生是事件B發(fā)生的必要不充分條件.也就是說，“事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生”中的條件是“事件B發(fā)生”的條件.此時，P（B）=P（AB）=P（A）P（B|A）.本題是概率的綜合問題，掌握基本概念及條件概率的基本運算是解決問題的關(guān)鍵.

總之，條件概率有著較廣泛的應(yīng)用，而且對于進(jìn)一步加深對概率問題的理解和學(xué)習(xí)概率也有著實際意義.如何把握好難度，使學(xué)生正確地理解條件概率的概念和它的計算方法，對于加深學(xué)生對概率問題的理解和進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率都有著重要的意義.