包圖雅，張 陸

（內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙 古通遼 028043）

曲線上的Frenet標(biāo)架

包圖雅，張 陸

（內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙 古通遼 028043）

利用施密特正交化方法求出了曲線上一點(diǎn)處的Frenet標(biāo)架，并討論了Frenet標(biāo)架中三個(gè)基本向量的方向.

曲線；Frenet標(biāo)架；基本向量；施密特正交化方法

曲線上的Frenet標(biāo)架場(chǎng)對(duì)研究曲線一點(diǎn)鄰近結(jié)構(gòu)以及建立曲線論基本定理有著重要意義.例如，文獻(xiàn)［1］中利用Frenet標(biāo)架考慮了曲線的生成以及曲面間的保長(zhǎng)變換的軟件實(shí)現(xiàn).通過Frenet標(biāo)架場(chǎng)，E3中的一條正則曲線變成正交標(biāo)架空間中的一條曲線［2］．

定義1［3］設(shè)曲線C：r＝r（t），a＜t＜b為C2類曲線，若對(duì)于曲線C上一點(diǎn)P（t＝t0）有r′（t0）≠0，則稱該點(diǎn)為曲線C的正常點(diǎn)，當(dāng)曲線C上每一點(diǎn)都是正常點(diǎn)時(shí)稱曲線C為正則曲線．若對(duì)于曲線C上一點(diǎn)P（t＝t0）有r′（t0）×r″（t0）≠0，則稱該點(diǎn)P（t＝t0）為曲線C的非逗留點(diǎn)．

本文中約定所討論的曲線上的任意一點(diǎn)都既是正常點(diǎn)，又是非逗留點(diǎn)．

文獻(xiàn)［2－4］中給出了弧長(zhǎng)參數(shù)下曲線上一點(diǎn)的Frenet標(biāo)架的定義，如下：

定義2［2－4］給定C2類曲線C上一點(diǎn)P（s），設(shè)曲線C的向量式參數(shù)方程為C：r＝r( s)，0＜s＜L（C），其中s為弧長(zhǎng)參數(shù)．稱為曲線上點(diǎn)P（s）處的單位切向量；稱為曲線上點(diǎn)P( s)處的主法向量；稱γ＝α×β為曲線上點(diǎn)P（s）處的副法向量；稱兩兩正交的單位向量組α，β，γ為曲線上點(diǎn)P（s）處的Frenet標(biāo)架.

文獻(xiàn)［2－4］又給出了關(guān)于一般參數(shù)下曲線的Frenet標(biāo)架.如下：

命題1［2－4］給定C2類曲線C上一點(diǎn)P（t），設(shè)曲線C的向量式參數(shù)方程為r＝r（t），a＜t＜b，其中t為一般參數(shù)，則Frenet標(biāo)架中三個(gè)基本向量分別為：

雖然文獻(xiàn)［2－4］中并沒有給出該命題的證明過程，但從Frenet標(biāo)架中基本向量的表示順序可知命題1的結(jié)論是利用了副法向量其垂直于密切平面的性質(zhì)得出的.文獻(xiàn)［5］以一般參數(shù)t為中間變量并利用基本向量的定義以及向量函數(shù)求導(dǎo)法則給出了基本向量的表示.

命題2［6－7］（Gram－schmidt正交化方法） 設(shè)α1，α2，…，αr（r≤n）是歐式空間Rn中線性無關(guān)的向量組，則由如下方法：

本文將利用施密特正交化方法推導(dǎo)一般參數(shù)下曲線在一點(diǎn)處的Frenet標(biāo)架中三個(gè)基本向量，并討論基本向量α，β，γ的方向．

2 主要結(jié)果

定理1 給定C2類正則曲線C，設(shè)P（t）是曲線C上任意一點(diǎn)，而曲線C的向量式參數(shù)方程為：r＝r（t），a＜t＜b，其中t為一般參數(shù)，則Frenet標(biāo)架中三個(gè)基本向量分別為：

證明 由于曲線C是正則曲線，因此r′（t）≠0．又因?yàn)榍€沒有停留點(diǎn)且是C2類的，從而r″（t）存在且r′（t）×r″（t）≠0成立，所以向量組是線性無關(guān)的向量組．由施密特正交化方法取′，再把ε1，ε2單位化，就可以表示出基本向量α，β，再利用向量積的性質(zhì)可表示出γ．

接下來討論三個(gè)基本向量的方向．由Frenet標(biāo)架的定義以及向量積知識(shí)［8］可知三個(gè)基本向量中只要確定其中兩個(gè)向量的方向剩下一個(gè)向量的方向可隨之而定．文獻(xiàn)［1］中定義切向量的方向與曲線的正向一致，因此本文中著重討論了主法向量的方向．

定理2 給定C2類正則曲線C，設(shè)P（t）是曲線C上任意一點(diǎn)，而曲線C的向量式參數(shù)方程為r＝r（t），a＜t＜b，其中t為一般參數(shù)．則曲線上每一點(diǎn)處Frenet標(biāo)架中主法向量β與曲線的向量函數(shù)的二階微商r″（t）總是在切線的同一側(cè)，并且主法向量總是指向曲線凹入的一側(cè)．

例1可以作為定理1和定理2的應(yīng)用．

例1 求螺旋線x＝cost，y＝sint，z＝t在點(diǎn)（1，0，0）處的基本向量α，β，γ．

解 由所給曲線得r＝｛cost，sint，t｝，在點(diǎn)（1，0，0）處參數(shù)t＝0，可計(jì)算出：

在上述例子計(jì)算過程中可觀察到向量r″（t）與向量β相等，又由于r″（t）的方向指向曲線凹入的一側(cè)，從而β的方向也指向曲線凹入的一側(cè)．

［1］范榮輝，岳崇山.Frenet標(biāo)架運(yùn)動(dòng)生成曲線與曲面間的保長(zhǎng)變換的軟件實(shí)現(xiàn)及思考［J］.唐山師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，30（2）：26－29.

［2］陳維桓.微分幾何初步［M］.北京：北京大學(xué)出版社，1990：10－24.

［3］梅向明，黃敬之.微分幾何［M］.4版.北京：高等教育出版社，2008：13－36.

［4］吳大任.微分幾何講義［M］.北京：人民教育出版社，1959：13－52.

［5］岳崇山，劉建斌.關(guān)于曲線在一點(diǎn)的基本三棱形的探討［J］.河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2007，23（4）：15－18.

［6］華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)［M］.3版.北京：高等教育出版社，2008：102－105.

［7］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)［M］.2版.北京：高等教育出版社，1988：367－370.

［8］呂林根，許子道.解析幾何［M］.4版.北京：北京大學(xué)出版社，2006：47－51.

責(zé)任編輯：時(shí) 凌

Frenet Frame on a Curve

BAO Tuya，ZHANG Lu

（College of Mathematics，Inner Mongolia University for the Nationalities，Tongliao 028043，China）

In this paper we obtain Frenet frame by schmidt orthogonalization method and discuss the di?rection of three fundamental vectors in Frenet frame.

curve；Frenet frame；fundamental vector；schmidt orthogonalization method

0186.1

A

1008－8423（2015）03－0245－03

10.13501／j.cnki.42－1569／n.2015.09.002

2015－06－12.

內(nèi)蒙古自然科學(xué)基金項(xiàng)目（2013MS0112）；內(nèi)蒙古民族大學(xué)科學(xué)研究基金項(xiàng)目（NMDGP1416）.

包圖雅（1980－），女（蒙古族），博士，副教授，主要從事微分幾何研究.